Dominio, simmetria, intersezioni e monotonia

Trova il dominio di ciascuna di queste funzioni, motivando la risposta:

• a) $f(x) = \sqrt{x - 3}$

• b) $g(x) = \ln(x + 2)$

• c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$

Luca deve determinare il dominio e i punti di intersezione con gli assi della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. Sul suo quaderno scrive la seguente risoluzione:

«Poiché il numeratore si scompone come $(x - 2)(x + 2)$, semplifico la frazione dividendo per $(x - 2)$ e ottengo $f(x) = x + 2$. Da qui concludo:

1. Il dominio è $\mathbb{R}$, perché una funzione polinomiale di primo grado è definita per qualsiasi numero reale.

2. Con l'asse $Y$, intersecco in $(0, 2)$ calcolando $f(0)$. Con l'asse $X$, risolvo $x^2 - 4 = 0$, che dà $x = 2$ e $x = -2$, quindi ci sono due punti di intersezione: $(2, 0)$ e $(-2, 0)$.»

Individua i due errori concettuali commessi da Luca, spiega con precisione matematica perché il suo ragionamento è sbagliato e scrivi la soluzione corretta di entrambi i punti (dominio e punti di intersezione).

Un gruppo di studenti dell'ultimo anno di liceo ha progettato un'applicazione per organizzare eventi. Il guadagno atteso, in euro, dipende dal numero di utenti registrati $x$ (in centinaia) secondo la funzione:

$B(x) = x^2 - 10x + 8$

Si chiede:

1. a) Determina il dominio della funzione tenendo conto che $x$ rappresenta una quantità di utenti (non può essere negativa).

1. b) Calcola i punti di intersezione del grafico con gli assi coordinati.

Secondo i rapporti di esercizio di Terna, in una giornata primaverile serena la potenza fotovoltaica nazionale $P(t)$, misurata in gigawatt (GW), si può approssimare tra le $06:00\text{ h}$ ($t = 6$) e le $20:00\text{ h}$ ($t = 20$) mediante la funzione quadratica:

$P(t) = -0,1 \cdot t^2 + 2,6 \cdot t - 12$.

1. a) Giustifica quale sia il dominio contestuale della funzione e verifica se agli estremi di quella fascia oraria la potenza stimata ha senso fisico.
2. b) Trova i punti di intersezione di $P(t)$ con l'asse orizzontale delle ascisse e interpreta il loro significato rispetto all'inizio e alla fine effettivi della generazione solare.
3. c) Utilizzando la derivata prima $P'(t)$, calcola a quale ora solare esatta si registra la massima produzione di energia e determina quale sia tale potenza di picco in GW.
4. d) Determina gli intervalli di tempo in cui la generazione elettrica è crescente e quelli in cui è decrescente. Giustifica inoltre se la curva di generazione presenta simmetria rispetto alla retta verticale $t = 13$ verificando se vale $P(13 - h) = P(13 + h)$ per qualsiasi scostamento orario $h$.

Determina i valori del parametro $a$ per i quali il dominio della funzione $f(x) = \frac{1}{x^2 + ax + 4}$ è tutto $\mathbb{R}$. Motiva la tua risposta usando il discriminante del denominatore.

Studia la simmetria delle seguenti funzioni, indicando in ciascun caso se sono pari, dispari o non presentano simmetria:

1. $f(x) = x^4 - 5x^2 + 2$

2. $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

Considera la funzione polinomiale $f(x) = -x^3 + 12x$.

1. a) Prima di calcolare alcuna derivata o risolvere equazioni:

1. Osservando gli esponenti dei suoi termini, stima quale simmetria presenterà il suo grafico e quale conseguenza immediata ha tale simmetria sul punto di intersezione con l'asse $Y$.

2. Ragiona quanti punti di intersezione con l'asse $X$ ti aspetti di trovare al massimo.

3. Per valori di $x$ positivi e molto grandi (per esempio, $x = 100$), stima il segno che avrà $f(x)$ e che cosa suggerisce questo sul fatto che la funzione finirà per crescere o decrescere verso destra.

1. b) Esegui i calcoli analitici: dimostra formalmente la simmetria verificando $f(-x)$, trova tutti i punti di intersezione con gli assi e determina gli intervalli di crescita e decrescita mediante il segno di $f'(x)$.
2. c) Confronta i risultati ottenuti con le tue stime del punto a) e argomenta se la stima preliminare era corretta.

Stabilisci se ciascuna affermazione è vera o falsa, motivando la risposta:

• a) «Se $f$ è una funzione dispari definita in $x = 0$, necessariamente $f(0) = 0$».

• b) «Se una funzione è pari, il suo grafico non può intersecare l'asse $X$».

• c) «La somma di due funzioni dispari è sempre una funzione dispari».

Sia la funzione $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

• a) Determina il suo dominio.

• b) Trova i punti di intersezione con gli assi.

• c) Studia la sua simmetria e, con le informazioni precedenti, disegna il suo grafico. Quale figura nota forma?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una società di consulenza di marketing digitale deve progettare un modello per il tasso di conversione $f(x)$ di un sito web in funzione del tempo di permanenza $x$ (in minuti). Il modello ha la struttura razionale $f(x) = \dfrac{a \cdot x}{x^2 + b}$.

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ in modo che siano soddisfatte contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il dominio della funzione è tutto $\mathbb{R}$ (il denominatore non si annulla per nessun valore reale).

2. La curva passa per il punto $(2, 1)$.

3. La funzione presenta un estremo relativo nell'ascissa $x = 2$.

Una volta fissati i valori di $a$ e $b$:

1. a) Dimostra analiticamente la simmetria della funzione (pari, dispari o nessuna) e interpreta che cosa riflette geometricamente sul grafico.
2. b) Trova tutti i punti di intersezione con gli assi coordinati.
3. c) Mediante lo studio del segno della derivata $f'(x)$ nell'intorno di $x = 2$, giustifica formalmente se in tale punto c'è un massimo o un minimo relativo.

Studia gli intervalli di crescita e decrescita (monotonia) della funzione polinomiale:

$f(x) = -x^2 + 8x - 12$

1. a) Indica le coordinate del vertice e specifica se si tratta di un massimo o di un minimo relativo.

1. b) Determina gli intervalli di crescita e di decrescita di $f$.

Il numero di iscritti a un club di lettura durante i suoi primi anni è descritto da $N(t) = t^3 - 12t + 60$, con $t$ in anni e $0 \leq t \leq 4$.

• a) Studia in quali intervalli di tempo il club ha guadagnato e perso iscritti.

• b) Trova gli estremi relativi e interpretali nel contesto.

• c) Qual è stato il numero minimo di iscritti in quel periodo?

Due studenti dell'ultimo anno di liceo discutono su come studiare il dominio, la monotonia e gli estremi relativi della funzione logaritmica $f(x) = \ln(x^2 + 2x + 5)$:

• Metodo di Marta: Calcolare $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$, risolvere l'equazione $f'(x) = 0$, collocare le radici sulla retta reale e valutare il segno della derivata in ciascun tratto.

• Metodo di Sergio: Analizzare prima le proprietà della parabola interna $u(x) = x^2 + 2x + 5$ (concavità e coordinate del vertice) e utilizzare la proprietà per cui la funzione logaritmo naturale $y = \ln(u)$ è strettamente crescente in tutto il suo dominio $(0, +\infty)$ per trasferire il comportamento di $u(x)$ a $f(x)$ senza derivare il logaritmo.

1. a) Confronta con ragionamento i due metodi: indica se entrambi richiedono di verificare in precedenza il dominio di $f(x)$, argomenta quale delle due strategie richiede meno sforzo algebrico e quale presenta minor rischio di errori di segno o di derivazione.
2. b) Applica il metodo di Sergio (o quello di Marta, giustificando la tua scelta) per:

1. Determinare il dominio di definizione di $f(x)$.

2. Ottenere gli intervalli di crescenza, decrescenza e le coordinate esatte $(x, y)$ dei suoi estremi relativi.

3. Stabilire con ragionamento se la funzione $f(x)$ possiede simmetria pari o dispari rispetto agli assi.

Un'azienda di trasporto merci tra Roma e Bologna modellizza il costo di carburante e manutenzione per viaggio, $C(v)$ in euro, in funzione della velocità media $v$ (in $\text{km/h}$), mediante la funzione:

$C(v) = \dfrac{k}{v} + c \cdot v$, definita per $v > 0$.

1. a) Spiega la differenza tra il dominio matematico di $C(v)$ e il dominio con significato fisico e normativo su un'autostrada italiana (tenendo conto dei limiti di velocità minimi e massimi previsti dalla legge: $60\text{ km/h}$ e $120\text{ km/h}$).
2. b) I dati di telemetria indicano che a una velocità media di $100\text{ km/h}$ il costo è esattamente di $65$ euro per tragitto e che a quella velocità il costo di esercizio è minimo. Imposta un sistema e calcola i valori esatti delle costanti $k$ e $c$.
3. c) A partire dalla derivata prima $C'(v)$, determina gli intervalli di crescita e decrescita della funzione nel dominio legale $[60, 120]$.
4. d) Ragiona se ha senso studiare la simmetria pari o dispari di $C(v)$ sia dal punto di vista analitico sia nel contesto della guida.
5. e) A causa di alcuni lavori, il gestore della rete limita provvisoriamente la velocità massima su tutto il tratto a $90\text{ km/h}$. Basandoti esclusivamente sulla monotonia che hai dedotto al punto c), giustifica se viaggiare alla velocità massima consentita nei lavori renderà il costo del tragitto più basso o più alto rispetto all'ottimo di $100\text{ km/h}$, senza bisogno di calcolare il valore numerico di $C(90)$.