Esercizi: Limite di una successione per n → +∞

Calcola il limite delle seguenti successioni per $n \to +\infty$:

1. a) $a_n = 3n - 7$

1. b) $b_n = \dfrac{1}{n+2}$

1. c) $c_n = 5 - \dfrac{2}{n}$

Data la successione aritmetica con primo termine $a_1 = 4$ e ragione $d = 3$:

1. a) scrivi il termine generale $a_n$;

1. b) calcola $\lim_{n \to +\infty} a_n$;

1. c) cosa cambierebbe nel limite se la ragione fosse $d = -3$?

Calcola il limite per $n \to +\infty$ delle successioni geometriche:

1. a) $a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

1. b) $b_n = 3^n$

1. c) $c_n = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$

Calcola i seguenti limiti:

1. a) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 - 5n}$

1. b) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n + 1}{n^3 + 4}$

1. c) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^3 - 2n}{4n^2 + 1}$

Un conto di risparmio di Bologna offre un interesse composto annuo del 2%. Si depositano 5.000 € e si indica con $C_n$ il capitale dopo $n$ anni.

1. a) Scrivi $C_n$ in funzione di $n$.

1. b) Calcola $\lim_{n \to +\infty} C_n$ e interpreta il risultato.

1. c) Calcola dopo quanti anni il capitale supera per la prima volta 6.000 €.

Calcola i limiti per $n \to +\infty$:

1. a) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

1. b) $\dfrac{2^n + 3^n}{3^n}$

1. c) $\dfrac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2}$

Utilizza la definizione di limite di una successione per dimostrare che:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = 2$$

Dato $\epsilon > 0$, determina un'espressione di $\nu$ in funzione di $\epsilon$ tale che per ogni $n > \nu$ valga $|a_n - 2| < \epsilon$. Calcola poi $\nu$ per $\epsilon = 0{,}01$.

Si consideri la successione $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.

1. a) Calcola $a_1$, $a_2$, $a_10$ con tre cifre decimali.

1. b) Ricorda il valore del limite per $n \to +\infty$ e spiega perché la forma $1^\infty$ è indeterminata.

1. c) Calcola $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^{n}$ e $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{n}$.

Sia $a_n = \dfrac{q^n}{1+q^n}$ con $q > 0$.

1. a) Calcola $\lim_{n \to +\infty} a_n$ al variare di $q$ nei casi $01$.

1. b) Per $q = 2$ dimostra che $a_n$ è strettamente crescente.

1. c) Determina il più piccolo $n$ tale che $1 - a_n < 0{,}001$ per $q = 2$.