Intervalli di crescenza e decrescenza

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^3 - 3x + 5$, esegui i seguenti passaggi per studiarne la monotonia:

1. Trova la funzione derivata $f'(x)$.

2. Determina i punti in cui la derivata è uguale a zero (punti critici).

3. Colloca quei punti sulla retta reale e analizza il segno di $f'(x)$ in ciascun intervallo per indicare dove la funzione è crescente e dove è decrescente.

Data la funzione $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, completa la seguente tabella dei segni per la derivata e determina gli intervalli di crescenza e decrescenza.

Indica qual è il valore del coefficiente angolare della retta tangente nel punto $x = 4$.

L'ufficio urbanistica di una città studia il livello di rumore, $N(t)$ in decibel, in una via del centro dalle 8:00 ($t=0$) alle 12:00 ($t=4$), secondo la funzione:

$N(t) = t^2 - 4t + 70$

Utilizza la derivata prima per giustificare se il rumore aumenta o diminuisce alle 9:00 ($t=1$) e alle 11:00 ($t=3$). In quale momento esatto il rumore smette di diminuire per iniziare a salire?

Il seguente grafico rappresenta l'evoluzione del numero di spettatori (in migliaia) di una serie in prima visione su una piattaforma di streaming durante le sue prime 8 settimane. Individua visivamente gli intervalli di tempo in cui l'audience è cresciuta e quelli in cui è diminuita.

Basandoti sulla relazione tra derivata e crescenza, quale segno pensi che avrebbe la derivata di questa funzione nell'intervallo che va dall'inizio al punto $A$ (settimana 3)?

Il grafico mostrato qui sotto NON è la funzione $f(x)$, ma il grafico della sua derivata $f'(x)$. Osservandolo con attenzione, indica in modo motivato gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$.

Ricorda: la crescenza di $f(x)$ dipende dal segno di $f'(x)$.

Qui sotto trovi il grafico della funzione derivata $f'(x)$ di una funzione $f(x)$ continua su tutto $\mathbb{R}$. Il grafico di $f'(x)$ è una parabola che interseca l'asse $X$ in $x=-2$ e in $x=3$.

Individua gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$. Giustifica la tua risposta basandoti sulla relazione tra il segno della derivata e la monotonia della funzione.

Il grafico allegato mostra la funzione derivata $f'(x)$ di una funzione continua $f(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$. Osservando il grafico di $f'(x)$, rispondi in modo motivato:

1. a) Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$.
2. b) Individua le ascisse dei massimi e dei minimi relativi di $f(x)$.
3. c) Sapendo che $f(0) = 0$, disegna uno schizzo del grafico della funzione originale $f(x)$ prestando particolare attenzione alla sua monotonia.

Una piccola azienda di design di cover per smartphone ha determinato che i suoi profitti giornalieri, in euro, sono dati dalla funzione $B(x) = -x^2 + 12x - 20$, dove $x$ è il numero di cover vendute al giorno.

Calcola la funzione derivata $B'(x)$ e studia per quali valori di $x$ la funzione è crescente e per quali è decrescente. A partire da quante cover vendute il profitto comincia a diminuire?

Una bancarella di orzata artigianale a Napoli apre al pubblico nel pomeriggio, tra le 11:00 e le 20:00 ($t \in [11, 20]$). Il numero di clienti serviti all'ora è modellizzato dalla funzione quadratica $C(t) = -t^2 + 32t - 216$.

1. a) Senza calcolare ancora la derivata, stima in modo ragionato in quale momento approssimativo della giornata (inizio, metà o fine) ti aspetti che l'affluenza di clienti stia aumentando e quando diminuendo, tenendo conto della forma della parabola.
2. b) Calcola la funzione derivata $C'(t)$, determina il punto critico e trova formalmente gli intervalli di crescita e decrescita nel dominio $[11, 20]$.
3. c) Confronta il risultato analitico con la tua stima iniziale e valuta se il comportamento del modello matematico è coerente con il consueto andamento dell'affluenza a un negozio nel corso del pomeriggio.

Un'azienda che sviluppa app per smartphone ha verificato che i suoi profitti mensili, in migliaia di euro, seguono la funzione $B(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 20$, dove $x$ rappresenta il tempo in mesi dal lancio del suo ultimo aggiornamento ($0 \le x \le 12$). Determina gli intervalli di tempo in cui i profitti dell'azienda sono crescenti e quelli in cui sono decrescenti.

Uno streamer sta analizzando l'andamento dei suoi spettatori in diretta durante una trasmissione di 6 ore. La funzione che modella il numero di spettatori (in migliaia) è $E(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 10$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore ($0 \le t \le 6$). Calcola in quali periodi della trasmissione il numero di spettatori è in aumento e in quali è in diminuzione.

Un gruppo di studenti dell'ultimo anno di liceo analizza la quantità di argomenti che ricordano di un compito di Storia con il passare dei giorni. La funzione che modella la materia ricordata è $M(d) = \frac{100}{d+1}$, dove $d \ge 0$ sono i giorni trascorsi dopo il compito.

Calcola la derivata $M'(d)$ e dimostra, mediante il suo segno, che la funzione è decrescente per qualsiasi valore di $d$. Questo risultato ha senso nel contesto reale?

Lucia deve studiare la crescenza e decrescenza della funzione razionale $f(x) = \frac{2x-1}{x-2}$. Dopo aver derivato correttamente, ottiene $f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}$. Poiché l'equazione $f'(x) = 0$ non ha soluzioni reali, Lucia conclude nel suo compito: «Dato che la derivata non vale mai zero e il suo numeratore è sempre negativo mentre il denominatore è sempre positivo, la funzione non ha tratti di monotonia distinti ed è strettamente decrescente su tutto $\mathbb{R}$».

1. a) Individua l'errore concettuale che commette Lucia nel determinare i tratti di monotonia e spiega perché la sua affermazione su tutto $\mathbb{R}$ è falsa.
2. b) Correggi la sua risoluzione: indica il dominio della funzione, dividi opportunamente la retta reale e scrivi gli intervalli di decrescenza corretti.
3. c) Se la funzione decresce in ciascuno dei suoi tratti, come spieghi che $f(1) = -1$ sia minore di $f(3) = 5$? Giustifica perché ciò non contraddice la decrescenza della funzione nei suoi intervalli.

Il costo medio di produzione di una serie limitata di felpe di design è dato dalla funzione $C(x) = \frac{x^2 + 25}{x}$, dove $x$ è il numero di felpe prodotte in centinaia di unità e $C(x)$ è il costo in euro per unità. Sapendo che la produzione deve essere compresa tra 100 e 1000 felpe ($1 \le x \le 10$), studia gli intervalli di crescenza e decrescenza del costo medio per aiutare lo stilista a decidere quante felpe produrre.

Si vuole modellare la diffusione di una nuova sfida virale su un social network. La funzione che descrive il numero di persone che conoscono la sfida in funzione del tempo $t$ (in giorni) è $P(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Analizza la monotonia di questa funzione per valori di $t \ge 0$ e spiega che cosa accade alla crescita della sfida a lungo termine.

Si considera la funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 4}$, dove $a$ è un parametro reale.

1. a) Determina il valore di $a$ affinché la funzione abbia un punto critico in $x = 2$.
2. b) Per il valore di $a$ trovato in precedenza, studia gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione, tenendo conto del suo dominio.
3. c) Esiste qualche valore di $a$ per il quale la funzione sia sempre crescente negli intervalli $(-\infty, 4)$ e $(4, +\infty)$? Giustifica analiticamente la tua risposta.

La quantità di monossido di carbonio presente nell'aria vicino a una zona industriale dopo l'installazione di un nuovo filtro è misurata dalla funzione $G(t) = t^2 - 12\ln(t+1)$, dove $t$ è il tempo in giorni ($0 \le t \le 10$). Determina gli intervalli di tempo in cui l'inquinamento diminuisce e quando comincia a risalire.

Un drone per la sorveglianza forestale segue una traiettoria la cui altezza in metri rispetto al suolo è data da $H(t) = t \cdot e^{-0,2t}$, dove $t$ è il tempo di volo in minuti ($0 \le t \le 20$). La figura mostra il grafico di $H(t)$. Studia, mediante la derivata, gli intervalli di tempo in cui il drone sta guadagnando quota e quando inizia a scendere.

Per studiare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione $f(x) = \frac{e^x}{x+2}$, due studenti propongono strategie diverse dopo aver ottenuto la derivata $f'(x) = \frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}$:

• Matteo propone di sostituire dei valori numerici di prova nella derivata (come $x = -3$, $x = -1,5$ e $x = 0$) per dedurre il segno di $f'$ in ciascuna zona mediante la calcolatrice.

• Sara propone di studiare il segno analizzando algebricamente ogni fattore di $f'(x)$: sostiene che, all'interno del dominio, sia $e^x$ sia $(x+2)^2$ sono strettamente positivi per ogni $x$, per cui il segno di $f'(x)$ dipende esclusivamente dal fattore $(x+1)$.

1. a) Confronta i due metodi: valuta la rapidità, la precisione matematica e i rischi di commettere errori associati a ciascuno.
2. b) Applica il metodo di Sara per ottenere in modo rigoroso i punti che dividono la retta reale e gli intervalli di crescenza e decrescenza di $f$.
3. c) Spiega quale grave errore avrebbe commesso Matteo se, per distrazione, avesse considerato come punto di separazione solo il valore in cui $f'(x) = 0$ e avesse omesso la discontinuità in $x = -2$.

Un analista finanziario ha stabilito che il profitto netto di un'azienda tecnologica (in milioni di euro) segue la funzione $B(t) = (t^2 - 8t + 15) \cdot e^{0,5t}$, dove $t$ rappresenta il tempo in anni dalla sua fondazione ($0 \le t \le 10$).

1. a) Calcola la funzione di profitto marginale, $B'(t)$.
2. b) Studia gli intervalli di tempo in cui il profitto dell'azienda è in aumento e quelli in cui è in diminuzione.
3. c) In quale anno esatto l'azienda passa da perdite crescenti a perdite decrescenti? Interpreta il risultato basandoti sulla monotonia.

Considera la funzione $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$.

1. a) Determina il suo dominio e studia il segno della funzione.
2. b) Calcola gli intervalli di crescenza e decrescenza. Presta particolare attenzione al comportamento della funzione vicino a $x = 0$.
3. c) Determina l'equazione della retta tangente alla curva nel punto in cui la funzione passa da decrescente a crescente.

Trova il valore del parametro $a$ affinché la funzione $f(x) = x^3 + ax^2 + 24x + 1$ sia sempre crescente in tutto il suo dominio. Per il valore di $a = 9$, determina in modo specifico gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione risultante.

Il reparto finanziario di un'azienda di trasporti analizza il costo operativo medio per tragitto in funzione del carico $x$ (in tonnellate), mediante la funzione $R(x) = \frac{x^2 + k}{x - 1}$, definita per $x \neq 1$.

1. a) Determina in modo motivato il valore del parametro reale $k$ affinché la funzione sia strettamente crescente in $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ e strettamente decrescente in $(-1, 1) \cup (1, 3)$.
2. b) Un analista del team afferma: «Per garantire quegli intervalli di monotonia, basta imporre che la derivata si annulli in $x = -1$». Giustifica analiticamente che tale condizione è necessaria e studia se, per questa famiglia di funzioni, è anche sufficiente.
3. c) Analizza se esiste qualche valore del parametro $k$ per il quale la funzione non possieda alcun intervallo di decrescenza in tutto il suo dominio. Giustifica la tua risposta studiando il segno del numeratore di $R'(x)$.

Data la funzione $f(x) = \ln(x^2 - kx + 9)$, studia la sua monotonia al variare del parametro $k$. In particolare:

1. a) Determina il dominio della funzione per $k = 0$ e studia i suoi intervalli di crescenza e decrescenza.
2. b) Trova i valori di $k$ per i quali la funzione ha un unico punto critico.
3. c) Se $k = 10$, spiega perché non ha senso studiare la crescenza su tutto l'asse reale $\mathbb{R}$.

Sia la funzione definita a tratti:

1. a) Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile in $x = 0$.
2. b) Per i valori ottenuti, determina gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione in tutto il suo dominio.
3. c) Determina se esiste qualche punto in cui la funzione passa da crescente a decrescente senza essere un punto in cui la derivata si annulla.

Il numero di utenti attivi di un nuovo social network (in migliaia) evolve secondo la funzione $N(t) = \frac{100t}{t^2 + 2t + 1}$, dove $t \ge 0$ è il tempo in mesi.

1. a) Analizza il ritmo di crescita del social network durante il primo anno. In quale momento esatto il numero di utenti smette di crescere?

1. b) Dimostra che, a partire da un certo mese, il social network entrerà in un declino irreversibile per quanto riguarda il numero di utenti. Indica da quale mese avviene ciò.

1. c) Come si comporta la monotonia della funzione quando $t$ tende a infinito? Collega questo fatto all'esistenza di un asintoto orizzontale.

Un'azienda di energia rinnovabile stima che il costo marginale di produzione di $x$ megawattora sia dato dalla funzione $C'(x) = \frac{x-5}{\sqrt{x^2+11}}$.

1. a) Senza bisogno di calcolare la funzione di costo totale $C(x)$, spiega in quali intervalli di produzione il costo totale è una funzione crescente e in quali è decrescente.
2. b) Per quale quantità di produzione si raggiunge il costo minimo? Giustifica la tua risposta utilizzando lo studio della monotonia della funzione di costo.
3. c) Se l'azienda decide che conviene produrre solo nell'intervallo in cui il costo è crescente, qual è la produzione minima che deve considerare?

Un istituto finanziario italiano commercializza un prodotto di risparmio il cui rendimento annualizzato effettivo $R(t)$ (espresso in percentuale) dipende dal tempo di permanenza $t$ (misurato in anni, con $t > 0$), secondo il modello:

$R(t) = \frac{2 + \ln(t)}{t}$.

1. a) Determina il dominio di validità matematica della funzione e spiega la ragione per cui il contesto finanziario reale impedisce di valutare il rendimento in $t = 0$.
2. b) Calcola la derivata $R'(t)$, determina i suoi punti critici e deduci gli intervalli di crescenza e decrescenza del rendimento, giustificando il segno della derivata in ogni tratto. Esprimi gli estremi degli intervalli sia in valore esatto sia con un'approssimazione a due cifre decimali.
3. c) Consiglia un investitore giustificando le tue risposte: per quale periodo di tempo gli conviene mantenere il denaro se desidera che il suo tasso annualizzato continui ad aumentare? Se un cliente lascia i fondi depositati a lunghissimo termine ($t \to +\infty$), verso quale valore tende il rendimento?

Si considera la famiglia di funzioni $f(x) = (x^2 + ax + b)e^{-x}$, dove $a$ e $b$ sono parametri reali.

1. a) Trova i valori di $a$ e $b$ sapendo che la funzione presenta punti critici in $x = 0$ e in $x = 3$.
2. b) Per i valori di $a$ e $b$ trovati nel punto precedente, determina in dettaglio gli intervalli di crescenza e decrescenza di $f$. Giustifica il segno di $f'(x)$ in ogni tratto basandoti sul segno del polinomio risultante e sulle proprietà della funzione esponenziale.
3. c) Mantenendo fisso il valore di $a$ ottenuto nel punto a), indaga se è possibile scegliere il parametro $b$ in modo che la funzione sia monotona decrescente su tutto $\mathbb{R}$. Se è possibile, determina per quali valori di $b$ ciò avviene analizzando il discriminante dell'equazione associata alla derivata; se non lo è, dimostra l'impossibilità.