Monotonia di una funzione

Osserva il seguente grafico che rappresenta l'evoluzione del numero di utenti di una nuova app per smartphone nelle prime 8 ore dal lancio. Individua, semplicemente osservando il disegno, gli intervalli di tempo in cui il numero di utenti è crescente e quelli in cui è decrescente.

Data la funzione $f(x) = 2x^3 - 6x$, vogliamo sapere come si comporta vicino all'origine. Calcola il coefficiente angolare della retta tangente (la derivata) nei punti $x = -2$, $x = 0$ e $x = 2$. Basandoti unicamente sul segno di questi risultati, indica se la funzione è crescente o decrescente in ciascuno di quei punti.

Sappiamo che una funzione $g(x)$ ha come derivata $g'(x) = x - 4$. Senza bisogno di conoscere l'espressione di $g(x)$, determina per quali valori di $x$ la funzione originale $g(x)$ è crescente e per quali è decrescente. Giustifica la tua risposta utilizzando il concetto di derivata.

Verifica se la funzione lineare $f(x) = 5x - 3$ è sempre crescente in tutto il suo dominio. Per farlo, calcola la sua derivata e spiega che relazione ha il risultato ottenuto con il coefficiente angolare della retta.

L'altezza di un pallone da basket (in metri) quando viene lanciato è modellata dalla funzione $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, dove $t$ è il tempo in secondi.

1. Calcola la velocità istantanea del pallone derivando la funzione altezza.

2. Determina l'intervallo di tempo in cui il pallone sta salendo (crescenza della funzione altezza).

Un servizio meteorologico registra la temperatura $T(t)$, in gradi Celsius, in una stazione della provincia di Belluno durante le ore diurne di una giornata invernale serena ($t$ rappresenta l'ora solare, con $t \in [8, 18]$). La registrazione è descritta dalla funzione:

a) [STIMA E VERIFICA] Prima di fare qualsiasi calcolo matematico, effettua una stima ragionata basata sull'esperienza quotidiana: ti aspetti che la temperatura stia aumentando o diminuendo alle $10:00$ del mattino ($t = 10$)? E alle $17:00$ del pomeriggio ($t = 17$)? Giustifica brevemente la tua intuizione fisica.

b) Verifica analiticamente la tua previsione: calcola la funzione derivata $T'(t)$, valuta il suo segno in $t = 10$ e in $t = 17$, e interpreta il significato ambientale dei segni ottenuti indicando se confermano la tua stima iniziale.

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^2 - 6x + 8$, esegui i seguenti passaggi per studiarne la monotonia:

1. Calcola la sua funzione derivata $f'(x)$.

2. Trova il valore di $x$ per il quale la derivata è uguale a zero.

3. Determina il segno della derivata negli intervalli individuati da quel punto e indica in quale di essi la funzione è crescente e in quale è decrescente.

Uno studio di mercato indica che il profitto giornaliero di una piccola azienda tessile (in centinaia di euro) è dato dalla funzione $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, dove $t$ è il tempo in ore dall'apertura. Utilizza la derivata per trovare in quale intervallo di tempo il profitto dell'azienda è in aumento.

Considera la funzione $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 5$.

1. Calcola $f'(x)$.

2. Risolvi l'equazione $f'(x) = 0$ per trovare i punti critici.

3. Rappresenta i punti sulla retta reale e studia il segno della derivata per scrivere gli intervalli di crescenza e decrescenza.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di servizi di streaming ha rilevato che il numero di nuovi abbonati giornalieri, in migliaia, segue la funzione $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi dall'inizio di una campagna pubblicitaria ($0 \leq t \leq 15$).

a) Determina gli intervalli di tempo in cui la crescita dei nuovi abbonati è positiva (la funzione è crescente).

b) A partire da quale mese la tendenza cambia e il numero di nuovi abbonati giornalieri inizia a diminuire? Giustifica la risposta mediante lo studio della derivata prima.

Studia la monotonia della funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Questo tipo di funzioni modella spesso il costo medio di produzione nelle scienze sociali. Indica in modo motivato gli intervalli in cui il costo medio sta diminuendo e quelli in cui sta aumentando, tenendo conto che in questo contesto hanno senso solo i valori di $x > 0$.

In figura vedi il grafico di $f$ per $x > 0$; puoi usarlo per verificare il tuo risultato.

L'utile di una startup tecnologica, in centinaia di migliaia di euro, è modellizzato dalla funzione $B(x) = (x-2) \cdot e^{0,5x}$, dove $x$ è il numero di anni dalla sua fondazione ($x \geq 0$).

Studia gli intervalli di crescenza e decrescenza dell'utile. Per quanto tempo l'azienda ha ottenuto utili decrescenti (o perdite crescenti) prima di iniziare a migliorare la propria situazione finanziaria in modo duraturo? Se tale fase non c'è stata, giustificalo.

Il numero di utenti attivi di un social network giovanile nelle prime 24 ore dopo il lancio di una challenge virale è dato dalla funzione $U(t) = \frac{100t^2}{t^3 + 16}$, dove $t$ è il tempo in ore.

1. a) Determina gli intervalli di tempo in cui la challenge sta guadagnando popolarità e quelli in cui sta perdendo interesse.
2. b) Trova l'istante esatto in cui la crescita di utenti è massima (cioè quando la velocità di crescita $U'(t)$ raggiunge il suo valore massimo). Suggerimento: studia la monotonia della funzione derivata.

Data la funzione $f(x) = x^3 + kx^2 + 15x + 2$, calcola i valori del parametro $k$ affinché la funzione sia strettamente crescente in tutto il dominio dei numeri reali.

Di seguito è mostrato il grafico della funzione derivata $f'(x)$ di una funzione polinomiale $f(x)$. A partire dall'osservazione del grafico della derivata, indica gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$.

Il grafico seguente rappresenta la funzione derivata $f'(x)$ di una funzione continua $f(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$. A partire dall'osservazione del grafico della derivata, svolgi uno studio completo della monotonia della funzione originale $f(x)$, indicando i suoi intervalli di crescenza, decrescenza e le ascisse in cui si raggiungono i suoi massimi e minimi relativi. Giustifica se è possibile che la funzione $f(x)$ sia un polinomio di terzo grado basandoti sul numero di cambi di monotonia.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.