Integrale indefinito e definito elementare
Un'automobile procede lungo un'autostrada e il tachimetro segna la velocità istante per istante. Conoscendo solo la velocità, come si può sapere quanta strada è stata percorsa? Con la derivata sai passare dalla posizione alla velocità: qui dobbiamo fare il percorso inverso. Ci serve un nuovo strumento: l'integrale.
L'integrale indefinito
Se $F'(x) = f(x)$, diciamo che $F$ è una primitiva di $f$. Se $F$ è una primitiva, lo è anche $F + c$ per ogni costante $c$, perché la derivata di una costante è $0$.
Per trovarle basta leggere al contrario la tabella delle derivate.
| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $k$ (costante) | $kx + c$ |
| $x^n$, $n \neq -1$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert + c$ |
| $e^x$ | $e^x + c$ |
Il perché della regola della potenza: derivando $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ si ottiene $x^n$. Per $n = -1$ il denominatore sarebbe $0$: serve il logaritmo, perché $D(\ln x) = \frac1x$.
Calcola i seguenti integrali indefiniti: a) $\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx$ b) $\int \dfrac{1}{x}\,dx$ c) $\int e^x\,dx$
Calcola i seguenti integrali indefiniti:
- a) $\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx$
- b) $\int \dfrac{1}{x}\,dx$
- c) $\int e^x\,dx$
L'integrale definito e il teorema fondamentale
Prendiamo una funzione continua $f(x) \ge 0$ su $[a; b]$. Per misurare l'area del trapezoide (la regione sotto il grafico, sopra l'asse $x$, tra $x=a$ e $x=b$) la si approssima con tanti rettangolini sottili: la somma delle loro aree, al crescere del numero di rettangoli, tende a un numero. Questo numero è l'integrale definito.
Il perché: $F(b)-F(a)$ è la variazione totale di $F$, e $f = F'$ ne è la rapidità di variazione, esattamente come lo spazio percorso è la somma delle variazioni dovute alla velocità. Nel calcolo la costante $c$ si semplifica, quindi non serve.
Calcola gli integrali definiti: a) $\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$ b) $\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ c) $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$
Calcola gli integrali definiti:
- a) $\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$
- b) $\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$
- c) $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$
Calcola l'area della regione delimitata dalla retta $y = 2x$, dall'asse $x$ e dalla retta $x = 4$.
Calcola l'area della regione delimitata dalla retta $y = 2x$, dall'asse $x$ e dalla retta $x = 4$.
Aree di regioni piane
L'integrale definito dà un'area con segno: positiva sopra l'asse $x$, negativa sotto. Per ottenere l'area vera bisogna rispettare il segno.
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Se $f \ge 0$ su $[a; b]$: $A = \int_a^b f(x)\,dx$.
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Se $f \le 0$: $A = -\int_a^b f(x)\,dx$.
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Se $f$ cambia segno: si trovano gli zeri, si divide l'intervallo e si sommano i valori assoluti dei singoli integrali.
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Regione tra due grafici con $f(x)\ge g(x)$ su $[a; b]$: $A = \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$.
Calcola l'area della regione finita di piano delimitata dalla parabola $y = -x^2 + 4$ e dall'asse $x$.
Calcola l'area della regione finita di piano delimitata dalla parabola $y = -x^2 + 4$ e dall'asse $x$.
Calcola l'area della regione delimitata dai grafici di $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2x + 3$. a) Trova le ascisse dei punti di intersezione. b) Calcola l'area.
Calcola l'area della regione delimitata dai grafici di $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2x + 3$.
- a) Trova le ascisse dei punti di intersezione.
- b) Calcola l'area.
Sia $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. a) Trova gli zeri di $f$. b) Calcola $\int_0^2 f(x)\,dx$ e spiega perché non coincide con l'area della regione compresa tra il grafico e…
Sia $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
- a) Trova gli zeri di $f$.
- b) Calcola $\int_0^2 f(x)\,dx$ e spiega perché non coincide con l'area della regione compresa tra il grafico e l'asse $x$ nell'intervallo $[0,2]$.
- c) Calcola l'area effettiva di tale regione.
Volumi dei solidi di rotazione
Facendo ruotare di un giro completo attorno all'asse $x$ la regione sotto il grafico di $y=f(x)$ tra $a$ e $b$, si ottiene un solido. Ogni sezione perpendicolare all'asse $x$ è un cerchio di raggio $f(x)$, quindi di area $\pi f(x)^2$. Sommando queste sezioni sottili:
Per la rotazione attorno all'asse $y$ si può usare un altro metodo: si scrive la regione come differenza di cilindri o si cambia la variabile. Nell'ultimo esercizio, con la regione sotto $y=\frac{x^2}{4}$ per $0\le x\le4$, il solido attorno all'asse $y$ è il cilindro di raggio $4$ e altezza $4$ privato della parte interna ottenuta ruotando la regione $x\le 2\sqrt y$ (cioè $x = 2\sqrt{y}$, con $0\le y\le 4$): $V=\pi\cdot 16\cdot 4-\pi\int_0^4 4y\,dy$.
Integrali impropri: un'area infinita?
Per $f(x)=\frac1{x^2}$: $\int_1^t \frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_1^t = 1-\frac1t\to 1$. L'area è finita. Per $\frac1x$ invece $\int_1^t\frac{dx}{x}=\ln t\to+\infty$: l'area è infinita, anche se $\frac1x$ tende a $0$.
La regione delimitata dalla curva $y = \sqrt{x}$, dall'asse $x$ e dalla retta $x = 4$ ruota di un giro completo attorno all'asse $x$. a) Scrivi l'integrale che fornisce…
La regione delimitata dalla curva $y = \sqrt{x}$, dall'asse $x$ e dalla retta $x = 4$ ruota di un giro completo attorno all'asse $x$.
- a) Scrivi l'integrale che fornisce il volume del solido ottenuto.
- b) Calcola il volume.
Sia $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ per $x > 0$. a) Calcola $I(t) = \int_1^t \dfrac{1}{x^2}\,dx$ per $t > 1$. b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} I(t)$ e interpreta il risultato…
Sia $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ per $x > 0$.
- a) Calcola $I(t) = \int_1^t \dfrac{1}{x^2}\,dx$ per $t > 1$.
- b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} I(t)$ e interpreta il risultato come area.
- c) Calcola $\lim_{t \to +\infty} \int_1^t \dfrac{1}{x}\,dx$ e confronta il comportamento con quello del punto b).
Una vasca ha la forma del solido ottenuto facendo ruotare attorno all'asse $x$ l'arco della parabola $y = \dfrac{x^2}{4}$ con $0 \le x \le 4$ (unità in decimetri). a)…
Una vasca ha la forma del solido ottenuto facendo ruotare attorno all'asse $x$ l'arco della parabola $y = \dfrac{x^2}{4}$ con $0 \le x \le 4$ (unità in decimetri).
- a) Calcola il volume del solido in dm³.
- b) Esprimi la capacità in litri.
- c) Determina il volume del solido ottenuto ruotando la stessa regione (compresa tra la parabola, l'asse $x$ e $x=4$) attorno all'asse $y$, e confrontalo con il precedente.
Torniamo all'inizio: se $v(t)$ è la velocità, la strada percorsa tra $t_1$ e $t_2$ è $\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$, cioè l'area sotto il grafico della velocità.
In sintesi
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Una primitiva di $f$ è una $F$ con $F'=f$; l'integrale indefinito è $F(x)+c$ ed è lineare.
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$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ ($n\ne-1$), $\int\frac1x dx=\ln|x|+c$, $\int e^x dx=e^x+c$.
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Teorema fondamentale: $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$; è un'area con segno.
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Area tra grafici: $\int_a^b [f-g]\,dx$ con $f\ge g$; se la funzione cambia segno, si divide negli zeri.
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Volume di rotazione attorno all'asse $x$: $V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$.