Esercizi: Distribuzione binomiale

Si lancia 5 volte una moneta equilibrata. Calcola la probabilità di ottenere:

1. a) esattamente 2 teste;

1. b) nessuna testa;

1. c) almeno una testa.

Una variabile $X$ segue una distribuzione binomiale con $n = 10$ e $p = 0{,}3$.

1. a) Calcola il valore atteso $E(X)$.

1. b) Calcola la varianza e la deviazione standard.

1. c) Scrivi l'espressione di $P(X = 4)$.

Si lancia 4 volte un dado equilibrato. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due volte il numero 6.

In una fabbrica di Torino il 4% dei pezzi prodotti è difettoso. Si estraggono 8 pezzi in modo indipendente.

1. a) Calcola la probabilità che nessun pezzo sia difettoso.

1. b) Calcola la probabilità che ci sia al massimo un pezzo difettoso.

1. c) Calcola il numero atteso di pezzi difettosi.

Un quiz di 10 domande a risposta multipla ha 4 opzioni per domanda, di cui una sola corretta. Uno studente risponde a caso.

1. a) Calcola la probabilità di rispondere correttamente ad almeno 8 domande.

1. b) Calcola il numero atteso di risposte corrette e la deviazione standard.

1. c) Qual è il numero più probabile di risposte corrette?

Il 60% degli studenti di un liceo di Napoli usa i mezzi pubblici per andare a scuola. Se ne scelgono 6 a caso.

1. a) Calcola la probabilità che esattamente 4 usino i mezzi pubblici.

1. b) Calcola la probabilità che la maggioranza (più di 3) li usi.

1. c) Calcola la probabilità che nessuno li usi.

Un test clinico prevede che un farmaco abbia efficacia $p = 0{,}7$. Viene somministrato a $n$ pazienti indipendenti.

1. a) Determina il minimo $n$ tale che la probabilità che almeno un paziente guarisca sia superiore a 0,999.

1. b) Per $n = 20$ calcola $P(X = 14)$ con tre cifre decimali.

1. c) Dimostra che per $X \sim B(n,p)$ vale $E(X) = np$ nel caso $n = 2$, calcolando direttamente la somma $\sum k\,P(X=k)$.

Sia $X \sim B(n, p)$.

1. a) Dimostra che $\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \dfrac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}$.

1. b) Usa il rapporto per determinare per quali $k$ la probabilità cresce e individua la moda per $n = 12$, $p = 0{,}35$.

1. c) Calcola $P(X = \text{moda})$ con tre cifre decimali.

Una compagnia aerea vende 52 biglietti per un volo con 50 posti. Ogni passeggero si presenta indipendentemente con probabilità 0,94.

1. a) Scrivi l'espressione della probabilità che ci siano più passeggeri presenti che posti disponibili.

1. b) Calcola tale probabilità.

1. c) Calcola il numero atteso di passeggeri presenti e commenta se la politica di overbooking sia ragionevole.