Esercizi: Asintoti e rami infiniti nelle funzioni razionali

Calcola i seguenti limiti analizzando il termine di grado maggiore di ciascun polinomio:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$

Dato il seguente grafico della funzione $f(x)$, determina il valore dei limiti all'infinito e indica l'equazione del suo asintoto orizzontale:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Calcola i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$ delle seguenti funzioni razionali confrontando i gradi del numeratore e del denominatore:

1. a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$

1. c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$

Trova l'equazione dell'asintoto orizzontale delle seguenti funzioni. Se non ce l'hanno, indicalo motivando la risposta:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$

1. c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$

Calcola i seguenti limiti di funzioni con radici:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^3 + 1}}$

Associa ciascuna delle seguenti funzioni al suo comportamento in $+\infty$:

1. $f(x) = \frac{10}{x-2}$

2. $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$

3. $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$

Comportamenti:

1. a) Tende a $+\infty$ (ramo parabolico).
2. b) Ha un asintoto orizzontale in $y = 0$.
3. c) Ha un asintoto orizzontale in $y = 5$.

Per la funzione $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la seguente tabella di valori per indagare il suo comportamento quando $x$ si avvicina a $0$.

Dalla tabella, deduci il valore dei limiti laterali $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Esiste il limite complessivo in $x=0$?

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:

1. a) Indica qual è il suo dominio di definizione.
2. b) Calcola i limiti laterali nel punto in cui la funzione non è definita: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
3. c) Che tipo di ramo infinito presenta la funzione in $x = 4$?

Sofia sta studiando gli asintoti verticali della funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$. Per farlo, imposta l'equazione $x^2 - 1 = 0$, ottiene le soluzioni $x = 1$ e $x = -1$, e afferma nel suo compito: «La funzione ha due asintoti verticali, le cui equazioni sono $x = 1$ e $x = -1$, perché sono i due valori reali che annullano il denominatore».

1. a) Spiega in dettaglio quale errore concettuale ha commesso Sofia nel trarre questa conclusione senza analizzare prima il numeratore.
2. b) Correggi il suo ragionamento calcolando i limiti necessari per determinare quali sono i veri asintoti verticali di $f(x)$ e che cosa succede esattamente nel grafico nel punto che Sofia ha interpretato in modo errato.

Considera la funzione $g(x) = \frac{6x^2 - 5}{2x^2 + 3}$, che descrive l'evoluzione temporale di un indicatore finanziario in funzione del tempo $x$ (con $x > 0$).

1. a) Stima: senza applicare regole formali sui limiti, osserva soltanto i termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore per valori molto grandi di $x$ e prevedi quale sarà il valore numerico a cui si stabilizza l'indicatore a lungo termine. Ragiona in modo intuitivo se il grafico si avvicinerà a quel valore dall'alto o dal basso confrontando mentalmente il numeratore con il denominatore moltiplicato per la tua stima.
2. b) Verifica: calcola con rigore $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ per confermare l'equazione dell'asintoto orizzontale e determina la posizione relativa della curva rispetto a tale retta studiando il segno della differenza $g(x) - y_{\text{asintoto}}$. Confronta la tua conclusione matematica con la stima che avevi formulato.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ mostrato di seguito, individua le equazioni dei suoi asintoti (verticali e orizzontali) e descrivi il comportamento della funzione mediante limiti quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Determina il suo dominio di definizione.

2. Calcola i limiti laterali nei punti in cui la funzione non è definita.

3. Specifica quali di questi punti corrispondono a un asintoto verticale e quali a una discontinuità eliminabile (punto spostato).

Determina il valore dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $g(x) = \frac{ax + 5}{bx - 4}$ abbia un asintoto verticale nella retta $x = 2$ e un asintoto orizzontale nella retta $y = 3$. Una volta trovati, verifica se la funzione è crescente o decrescente nel suo dominio.

Studia il comportamento all'infinito della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calcolando:

1. a) L'esistenza di un asintoto obliquo della forma $y = mx + n$.

1. b) La posizione relativa della curva rispetto a tale asintoto quando $x \to +\infty$ (indica se la funzione sta sopra o sotto la retta).

Il numero di utenti di un social network educativo, misurato in migliaia, segue l'evoluzione temporale $t$ (in mesi) secondo la funzione:

1. Calcola il numero di utenti iniziali (in $t=0$).

2. Determina a quanto tenderà il numero di utenti a lungo termine (quando $t \to +\infty$).

3. Esiste qualche valore di $t$ per il quale la funzione non sia continua? Spiega se tale valore ha senso nel contesto del problema.

Calcola i seguenti limiti e determina, a partire da essi, gli asintoti orizzontali di ciascuna funzione:

1. $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$

2. $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x + 2}{3^x - 1}$

Considera la funzione $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.

1. Se sappiamo che la funzione passa per il punto $(0, -1)$, trova il valore di $k$.

2. Con il valore di $k$ ottenuto, esegui uno studio completo degli asintoti della funzione e colloca i rami infiniti della stessa rispetto ai suoi asintoti verticali.

Studia i rami infiniti della funzione $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Non avendo asintoti orizzontali né verticali, determina l'equazione del suo asintoto obliquo e rappresenta schematicamente il suo comportamento all'infinito mediante il seguente grafico di riferimento:

Costruisci l'espressione analitica di una funzione razionale $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Il suo grafico ha un asintoto orizzontale nella retta $y = -3$.

2. Ha un unico asintoto verticale nella retta $x = 2$.

3. Passa per l'origine degli assi $(0, 0)$.

4. Non presenta alcuna discontinuità eliminabile (cioè $P(x)$ e $Q(x)$ non hanno radici in comune nell'insieme dei numeri reali).

Una volta proposta la funzione:

1. a) Giustifica passo dopo passo come hai dedotto i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ e verifica il rispetto delle condizioni calcolando i limiti opportuni.
2. b) Spiega in modo motivato perché questa funzione non può avere un asintoto obliquo in nessuno dei due versi dell'infinito ($+\infty$ o $-\infty$).

Il servizio comunale di noleggio biciclette di un capoluogo di provincia italiano registra i propri costi di gestione. Un rapporto economico modellizza il costo medio mensile per utente abbonato, $C(x)$ (espresso in euro), in funzione del numero totale di abbonati attivi, $x$ (con $x \ge 1$), mediante la funzione razionale:

1. a) Se la campagna di acquisizione ha grande successo e il numero di abbonati cresce indefinitamente ($x \to +\infty$), verso quale valore tende il costo medio mensile per utente? Interpreta matematicamente questo valore come asintoto orizzontale e spiega il suo significato per la sostenibilità economica del servizio comunale.
2. b) Determina se la funzione si avvicina al suo asintoto orizzontale dall'alto o dal basso quando $x \to +\infty$. Quale implicazione economica ha questo comportamento per il comune man mano che aumenta il numero di abbonati?
3. c) L'espressione algebrica possiede un asintoto verticale in $x = -50$. Giustifica perché tale asintoto è del tutto privo di senso nel contesto del problema reale.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ sapendo che la funzione ha un asintoto obliquo la cui equazione è $y = 2x + 5$. Una volta trovati i parametri, studia se il grafico della funzione si trova al di sopra o al di sotto di tale asintoto quando $x \to +\infty$.

Un analista di marketing digitale studia l'evoluzione dei follower di un nuovo account sui social network. Il numero di follower (in migliaia) segue la funzione $S(t) = \frac{120t^2 + 500}{3t^2 + 4t + 10}$, dove $t \geq 0$ è il tempo in mesi dal lancio.

1. a) Determina se esiste un limite di crescita per il numero di follower a lungo termine. In caso affermativo, indica l'equazione dell'asintoto orizzontale.

1. b) Rappresenta graficamente il comportamento della funzione all'infinito mediante uno schema dei suoi rami asintotici (disegna gli assi, l'asintoto e la curva che si avvicina ad esso quando $t \to +\infty$).

Calcola tutti gli asintoti della seguente funzione definita a tratti e studia il comportamento dei suoi rami infiniti:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Indica in modo specifico i limiti laterali nei punti in cui esistono asintoti verticali.

Considera la famiglia di funzioni $f(x) = \frac{x^2 - k}{x^2 + k^2 - 2}$. Trova i valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ per i quali la funzione:

1. Non ha asintoti verticali.

2. Ha esattamente un asintoto verticale.

3. Ha due asintoti verticali.

In tutti i casi, indica qual è l'asintoto orizzontale della funzione.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, il cui dominio è $(-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$, studia il suo comportamento quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

1. a) Calcola $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e, se esiste, l'equazione dell'asintoto corrispondente.

1. b) Calcola $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ e, se c'è un asintoto, trova la sua equazione (può essere orizzontale o obliquo).

1. c) Presenta lo stesso asintoto orizzontale in entrambi i versi? Giustifica la tua risposta calcolando in dettaglio entrambi i limiti e disegna uno schema dei rami risultanti, indicando gli asintoti e i punti $(-4, 4)$ e $(0, 0)$.

Sia la funzione $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$.

1. a) Ridefinisci la funzione come funzione a tratti eliminando il valore assoluto.

1. b) Calcola i limiti laterali in $x = 1$. Esiste un asintoto verticale in quel punto o si tratta di una discontinuità eliminabile?

1. c) Studia l'esistenza di asintoti orizzontali calcolando $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Spiega la differenza tra i due risultati.

Costruisci una funzione razionale $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Ha un asintoto verticale in $x = -4$.

2. Ha una discontinuità eliminabile in $x = 1$.

3. Ha un asintoto orizzontale in $y = 5$.

4. Passa per l'origine degli assi $(0,0)$.

Fornisci l'espressione analitica finale della funzione in forma semplificata.

Trova l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione $f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 1}{x^2 + x}$. Una volta ottenuta:

1. a) Calcola il punto in cui il grafico della funzione interseca tale asintoto obliquo.
2. b) Determina, mediante lo studio del limite della differenza $[f(x) - (mx+n)]$, se la funzione si avvicina all'asintoto dall'alto o dal basso quando $x \to +\infty$.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$:

Per ottenere l'equazione del suo asintoto obliquo $y = mx + n$ e determinare la posizione relativa della curva rispetto ad esso all'infinito, si possono seguire due strade:

• Metodo A (Divisione di polinomi): eseguire la divisione euclidea per scrivere $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• Metodo B (Calcolo diretto mediante limiti): trovare $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$, poi $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$ e, infine, analizzare il segno del limite della differenza per la posizione.

1. a) Confronta criticamente i due metodi: analizza i vantaggi e gli svantaggi di ciascuno in questo caso e giustifica quale sia più efficiente e sicuro se l'obiettivo è rispondere contemporaneamente all'equazione e alla posizione della curva rispetto alla retta in entrambi gli estremi ($+\infty$ e $-\infty$).
2. b) Risolvi il problema applicando il metodo che hai scelto: deduci l'equazione dell'asintoto obliquo e determina in modo motivato se il grafico si trova al di sopra o al di sotto di esso quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Si vogliono determinare i parametri reali $a$, $b$, $c$ e $k$ per definire una funzione razionale della famiglia:

in modo che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. La retta $y = 3$ è un asintoto orizzontale del grafico.

2. Il grafico possiede esattamente un unico asintoto verticale, situato sulla retta $x = 2$.

3. La funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto $(-1, 0)$.

1. a) Deduci passo dopo passo i valori numerici di $a$, $b$, $c$ e $k$. Giustifica con particolare rigore perché il denominatore si annulla in due valori reali distinti ma la funzione ammette un solo asintoto verticale, spiegando cosa succede geometricamente nell'altro valore.
2. b) Basandoti sulla teoria dei gradi e sulla definizione di rami infiniti, dimostra che è impossibile che una funzione di questo tipo (quoziente di due polinomi di secondo grado) possieda un asintoto obliquo, indipendentemente dai valori numerici dei suoi coefficienti.