Esercizi: Integrale indefinito e definito elementare

Calcola i seguenti integrali indefiniti:

1. a) $\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx$

1. b) $\int \dfrac{1}{x}\,dx$

1. c) $\int e^x\,dx$

Calcola gli integrali definiti:

1. a) $\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$

1. b) $\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$

1. c) $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$

Calcola l'area della regione delimitata dalla retta $y = 2x$, dall'asse $x$ e dalla retta $x = 4$.

Calcola l'area della regione finita di piano delimitata dalla parabola $y = -x^2 + 4$ e dall'asse $x$.

Calcola l'area della regione delimitata dai grafici di $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2x + 3$.

1. a) Trova le ascisse dei punti di intersezione.

1. b) Calcola l'area.

La regione delimitata dalla curva $y = \sqrt{x}$, dall'asse $x$ e dalla retta $x = 4$ ruota di un giro completo attorno all'asse $x$.

1. a) Scrivi l'integrale che fornisce il volume del solido ottenuto.

1. b) Calcola il volume.

Sia $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$.

1. a) Trova gli zeri di $f$.

1. b) Calcola $\int_0^2 f(x)\,dx$ e spiega perché non coincide con l'area della regione compresa tra il grafico e l'asse $x$ nell'intervallo $[0,2]$.

1. c) Calcola l'area effettiva di tale regione.

Sia $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ per $x > 0$.

1. a) Calcola $I(t) = \int_1^t \dfrac{1}{x^2}\,dx$ per $t > 1$.

1. b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} I(t)$ e interpreta il risultato come area.

1. c) Calcola $\lim_{t \to +\infty} \int_1^t \dfrac{1}{x}\,dx$ e confronta il comportamento con quello del punto b).

Una vasca ha la forma del solido ottenuto facendo ruotare attorno all'asse $x$ l'arco della parabola $y = \dfrac{x^2}{4}$ con $0 \le x \le 4$ (unità in decimetri).

1. a) Calcola il volume del solido in dm³.

1. b) Esprimi la capacità in litri.

1. c) Determina il volume del solido ottenuto ruotando la stessa regione (compresa tra la parabola, l'asse $x$ e $x=4$) attorno all'asse $y$, e confrontalo con il precedente.