Esercizi: Limiti laterali

Data la funzione $f(x) = x^2 - 3$, vogliamo indagare che cosa accade quando i valori di $x$ si avvicinano molto a $2$. Completa la seguente tabella di valori e, alla luce dei risultati, indica quale ritieni sia il valore di $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Osserva il seguente grafico della funzione $g(x)$ e determina il valore dei limiti laterali nel punto di rottura $x = 1$. Indica anche se esiste il limite globale $\lim_{x \to 1} g(x)$.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$

Spiega con parole tue che cosa significa l'espressione $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$. Fai un esempio di vita quotidiana in cui ci si avvicina a un valore "da sinistra" (per esempio, il tempo che manca all'inizio di un compito in classe o i soldi che ti restano sulla tessera dei trasporti).

Calcola i seguenti limiti semplici per sostituzione diretta:

1. a) $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 5}{x + 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4}$

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 3 \\ 7 - x & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Calcola i limiti laterali nel punto $x = 3$:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Che cosa puoi dire sull'esistenza del limite $\lim_{x \to 3} f(x)$?

Il livello di carica di un monopattino elettrico (in percentuale) dopo $t$ ore di utilizzo segue la funzione $C(t) = 100 - 15t$. Se un utente vuole sapere quanta batteria gli resterà quando sta per compiersi la quarta ora di viaggio, calcola il limite:

$\lim_{t \to 4^-} (100 - 15t)$

Osserva il grafico di questa funzione $h(x)$, che presenta un asintoto verticale in $x = 2$ (la retta tratteggiata), e determina il valore dei limiti laterali indicati.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} h(x)$

Considera la funzione $f(x)$ rappresentata nel seguente grafico. Il cerchio vuoto indica un punto che non appartiene al grafico e il punto pieno indica il valore che la funzione assume in $x = 2$.

A partire dal grafico:

1. a) Individua il valore di $f(2)$.

1. b) Individua $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

1. c) Individua $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.

1. d) Esiste il limite di $f(x)$ per $x \to 2$? Giustifica la tua risposta.

Per determinare se esiste $\lim_{x \to 3} f(x)$ nella funzione definita a tratti

Marco afferma in classe: «Poiché per $x = 3$ la funzione vale $8$, il limite globale $\lim_{x \to 3} f(x)$ è uguale a $8$ direttamente, senza bisogno di calcolare i limiti laterali». Rispondi alle seguenti domande:

1. a) Individua e spiega in modo motivato l'errore concettuale che commette Marco riguardo al concetto di limite e alla sua relazione con il valore puntuale $f(3)$.
2. b) Calcola in modo rigoroso i limiti laterali $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 3^+} f(x)$.
3. c) A partire dai tuoi risultati, determina se esiste $\lim_{x \to 3} f(x)$, indica il suo valore in caso affermativo e confrontalo con il valore della funzione in quel punto.

Considera la funzione $f(x) = \frac{2x - 4}{|x - 2|}$, definita per ogni $x \neq 2$.

1. a) Prima di operare analiticamente, stima il comportamento di $f(x)$ vicino a $2$: calcola mentalmente il segno e il valore che ti aspetti di ottenere sostituendo valori molto vicini a $2$ da sinistra (come $x = 1,99$) e da destra (come $x = 2,01$). Scrivi la tua previsione per $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
2. b) Riscrivi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto in base al segno di $x - 2$ e calcola formalmente entrambi i limiti laterali.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale coincideva con i calcoli e concludi in modo motivato se esiste il limite globale $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito, analizza il comportamento della funzione in prossimità dei punti critici. Determina in modo motivato i limiti laterali e il limite globale (se esiste) per:

1. a) $x \to -2$
2. b) $x \to 1$
3. c) $x \to 3$

Un gestore di investimenti osserva che il rendimento di un fondo ad alto rischio, $R(x)$, espresso in migliaia di euro in funzione del capitale investito $x$ (in decine di migliaia), segue il modello:

$R(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Indaga, completando una tabella di valori con l'aiuto della calcolatrice, che cosa accade al rendimento quando l'investimento si avvicina a $30.000$ € ($x \to 3$). Usa i valori $2,9; 2,99; 2,999$ da sinistra e $3,1; 3,01; 3,001$ da destra. Il gestore potrebbe affermare che il limite esiste anche se la funzione non è definita in $x = 3$? Giustifica la tua risposta.

Determina il valore del parametro $k$ affinché esista il limite della seguente funzione nel suo punto di rottura $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Perché il limite esista, ricorda che i limiti laterali devono essere uguali. Una volta trovato $k$, indica il valore del limite.

Un'azienda di logistica fa pagare le spedizioni urgenti con una tariffa a scaglioni in base al peso $p$ in chilogrammi. Il costo $C(p)$ in euro è dato da:

$C(p) = \begin{cases} 5 + 2p & \text{si } 0 < p \leq 5 \\ 10 + 1,5p & \text{si } p > 5 \end{cases}$

Calcola e interpreta nel contesto del problema:

1. a) $\lim_{p \to 5^-} C(p)$
2. b) $\lim_{p \to 5^+} C(p)$
3. c) Esiste un costo definito in modo continuo per un pacco che pesa esattamente $5$ kg?

Considera la funzione $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$.

1. a) Studia i limiti laterali di $g(x)$ per $x \to 4$.

1. b) Indica se la funzione presenta un asintoto verticale in quel punto.

1. c) Disegna un piccolo schema grafico (a mano, con la retta $x = 4$ segnata) che mostri verso dove tendono i rami della funzione (se verso $+\infty$ o verso $-\infty$) a seconda che ti avvicini a $x = 4$ da sinistra o da destra.

Data la funzione con valore assoluto $h(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, si chiede di:

1. a) Ridefinire la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.
2. b) Calcolare $\lim_{x \to 1^-} h(x)$ e $\lim_{x \to 1^+} h(x)$.
3. c) Esiste il limite globale $\lim_{x \to 1} h(x)$? Argomenta la risposta basandoti sulla teoria dei limiti laterali.

In uno studio sociologico, il livello di alienazione $A(t)$ di una comunità dopo $t$ mesi da un cambiamento normativo è definito da:

$A(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{4} & \text{si } 0 \leq t < 6 \\ 12 - \frac{t}{2} & \text{si } t \geq 6 \end{cases}$

Studia se il livello di alienazione cambia in modo brusco o graduale al sesto mese. Per farlo, calcola i limiti laterali in $t = 6$ e verifica se il limite esiste.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcola i limiti laterali nel punto in cui si annulla il denominatore.

1. a) Che cosa accade ai valori della funzione quando ci avviciniamo a $x = 1$ da sinistra?

1. b) E da destra?

1. c) In base ai tuoi risultati, possiamo dire che esiste il limite globale in $x = 1$?

Suggerimento. Scomponi in fattori numeratore e denominatore e semplifica la frazione prima di studiare il segno da ciascun lato.

Un'azienda di spedizioni urgenti in Italia applica una tariffa che dipende dal peso $p$ del pacco (in chilogrammi, con $0 < p \le 5$). Il costo in euro, $C(p)$, è dato da:

dove $k$ è un parametro che la direzione commerciale deve fissare.

1. a) Spiega il significato economico dei limiti laterali $\lim_{p \to 2^-} C(p)$ e $\lim_{p \to 2^+} C(p)$ per un utente che prepara una spedizione di circa $2\text{ kg}$.
2. b) Calcola il valore che deve assumere $k$ affinché non ci sia una variazione brusca (un salto) nella tariffa intorno a $2\text{ kg}$; cioè, affinché esista $\lim_{p \to 2} C(p)$. Qual è in tal caso il costo limite del pacco?
3. c) Se l'azienda fissasse per errore $k = 0,2$, calcola i nuovi limiti laterali in $p = 2$ e interpreta quale problema commerciale o paradosso si produrrebbe tra la spedizione di un pacco di $1,99\text{ kg}$ e uno di $2,01\text{ kg}$.

Costruisci l'espressione analitica di una funzione definita a tratti $g(x)$, con dominio tutto $\mathbb{R}$, che soddisfi contemporaneamente queste quattro condizioni:

1. $\lim_{x \to -1^-} g(x) = 4$ e $\lim_{x \to -1^+} g(x) = 4$.

2. $g(-1) = 1$.

3. $\lim_{x \to 3^-} g(x) = 2$ e $\lim_{x \to 3^+} g(x) = -1$.

4. In ciascun intervallo aperto $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ e $(3, +\infty)$, la funzione deve essere una retta (polinomio di grado minore o uguale a 1).

Una volta proposta la formula della tua funzione:

1. a) Dimostra, calcolando i limiti laterali, che la tua funzione soddisfa esattamente tutte le condizioni richieste.
2. b) Spiega in modo motivato in quale dei due punti ($x = -1$ o $x = 3$) esiste il limite globale e perché nell'altro non può esistere.

Si sta studiando l'evoluzione dei profitti di una startup tecnologica (in migliaia di euro) in base al tempo $t$ in mesi. La funzione che descrive il profitto è data da:

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ sapendo che esiste il limite globale della funzione quando $t \to 2$. Una volta trovati, calcola e interpreta i limiti laterali in $t = 2$.

Calcola i limiti laterali nei punti di rottura della seguente funzione che combina un valore assoluto con una funzione razionale:

A partire dai risultati ottenuti, stabilisci se esiste il $\lim_{x \to 3} g(x)$ e descrivi il comportamento della funzione in prossimità di $x=3$ e $x=1$.

Un'azienda di spedizioni stabilisce il costo di spedizione $C(x)$ (in euro) per pacchi di peso $x$ (in kg) mediante la seguente funzione che utilizza la funzione "parte intera" $E[x]$ (il più grande intero minore o uguale a $x$):

Calcola i limiti laterali della funzione di costo quando il peso si avvicina a $2$ kg. Il costo è una funzione continua in quel punto? Giustifica la tua risposta utilizzando la definizione di limite.

Considera la funzione $f(x)$ definita a tratti:

Sapendo che $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 4$, determina con ragionamenti il valore della costante $k$. Successivamente, trova il valore di $a$ affinché esista il limite della funzione nell'origine.

(Suggerimento: puoi usare che $\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = 1$).

Sia la funzione $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$.

1. a) Determina il valore di $k \in \mathbb{R}$ affinché la funzione presenti una forma indeterminata del tipo $0/0$ quando $x \to 1$.
2. b) Per tale valore di $k$, calcola i limiti laterali in $x=1$ e studia se esiste il limite globale.

In un mercato azionario, il prezzo di un'azione $P$ in funzione del rischio $x$ è modellizzato come:

$P(x) = \frac{ax^2 + bx}{x^2 - 1}$

Si sa che quando il rischio si avvicina a $1$ da destra, il prezzo tende a $+\infty$, ma quando si avvicina a $1$ da sinistra, il prezzo tende a $-\infty$. Inoltre, quando il rischio tende a $+\infty$, il prezzo tende a $1$, e per un rischio $x = 2$, il prezzo è $2$. Calcola i valori di $a$ e $b$ e verifica la coerenza dei limiti laterali in $x = 1$ e $x = -1$.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - |x|}{x}$, indaga l'esistenza del limite in $x=0$ calcolando i suoi limiti laterali. Rappresenta graficamente la situazione e spiega che cosa accade all'immagine della funzione esattamente nell'origine.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Studia i limiti laterali della seguente funzione nei punti $x = -2$ e $x = 2$. In quale dei due esiste un limite finito?

Successivamente, proponi una modifica al numeratore affinché nel punto in cui il limite era infinito diventi un valore reale concreto.

Si vuole studiare l'esistenza di $\lim_{x \to 2} \frac{|x^2 - 4|}{2x - 4}$. Due studenti di quinto anno di liceo propongono strategie diverse per risolverlo:

• Metodo di Alba: Studia prima il segno del polinomio di secondo grado $x^2 - 4$ su tutta la retta reale, scrive la funzione completa suddivisa in tre tratti secondo gli intervalli ottenuti e, a partire da questa espressione generale, calcola i limiti laterali in $x = 2$.

• Metodo di Bruno: Ragiona in modo locale solo in un intorno di $x = 2$. Sostiene che se $x \to 2^+$, allora $x > 2$ e quindi $x^2 - 4 > 0$, il che permette di sostituire $|x^2 - 4|$ con $(x^2 - 4)$; analogamente, se $x \to 2^-$, allora $x < 2$ (vicino a $2$) e quindi $x^2 - 4 < 0$, sostituendolo con $-(x^2 - 4)$. Poi risolve ciascun limite laterale in modo indipendente, scomponendo in fattori la forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

1. a) Applica in dettaglio entrambi i metodi per calcolare $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, deducendo se il limite globale esiste oppure no.
2. b) Valuta criticamente i due percorsi: quale è più efficiente se interessa solo il comportamento in $x = 2$? In quale contesto matematico (per esempio, se si richiedesse la rappresentazione grafica o lo studio globale della continuità in $\mathbb{R}$) il metodo di Alba risulterebbe indispensabile?

Considera la funzione reale $f(x)$ definita da:

1. a) Studia analiticamente il comportamento della funzione a destra di $x = 5$. Giustifica come si elimina il valore assoluto per $x > 5$ e calcola $\lim_{x \to 5^+} f(x)$. Quale valore si sarebbe ottenuto se l'espressione $\frac{|x - 5|}{x^2 - 25}$ fosse stata usata per calcolare un'approssimazione da sinistra ($x \to 5^-$)?
2. b) Calcola il limite laterale $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ risolvendo la forma indeterminata corrispondente.
3. c) Imposta e risolvi il sistema di equazioni che determina i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché esistano contemporaneamente i limiti globali $\lim_{x \to 2} f(x)$ e $\lim_{x \to 5} f(x)$.
4. d) Supponi di imporre la condizione aggiuntiva che il tratto intermedio sia orizzontale ($m = 0$). Dimostra in modo motivato che è impossibile trovare un valore di $n$ che permetta l'esistenza simultanea di entrambi i limiti globali, interpretando questo fatto a partire dai limiti laterali ottenuti.