Esercizi: Limiti infiniti e limiti all'infinito

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ e determina il valore dei limiti laterali quando la variabile $x$ tende a $x = 2$, cioè $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$. In base alla tua osservazione, stabilisci se esiste il limite $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Nel grafico, il cerchio vuoto indica che quel punto non appartiene alla funzione, mentre il punto pieno vi appartiene.

Completa la seguente tabella di valori per la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ e stima in modo intuitivo il valore del limite $\lim_{x \to 1} f(x)$. Spiega perché, anche se la funzione non è definita in $x = 1$, possiamo comunque parlare del suo limite in quel punto.

Data la funzione $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, studia il suo comportamento quando $x$ si avvicina a $3$ da entrambi i lati. Per farlo, calcola:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Indica se la funzione presenta qualche asintoto verticale e scrivine l'equazione.

Immagina che il guadagno giornaliero di un nuovo caffè specializzato, in euro, segua la funzione $B(t) = 2t^2 - 10t + 50$, dove $t$ è il tempo in mesi dall'apertura. Che cosa accadrà al guadagno se il locale continua a funzionare indefinitamente? Calcola $\lim_{t \to +\infty} B(t)$ e interpreta il risultato nel contesto del problema.

Calcola i seguenti limiti all'infinito per le funzioni polinomiali date. Ricorda che il termine di grado maggiore è quello che determina il comportamento della funzione all'infinito:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 5x^2 + 2)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 3x + 1)$
3. c) $\lim_{x \to -\infty} (x^5 + x^2)$

Il numero di utenti che visitano un sito web di vendita di abbigliamento di seconda mano dopo $x$ giorni da una campagna pubblicitaria è dato dalla funzione $N(x) = \frac{3000x + 100}{x + 2}$.

1. a) Quanti utenti hanno visitato il sito il giorno del lancio ($x=0$)?
2. b) Se la campagna prosegue a lungo, a quale valore costante tenderà il numero di visitatori giornalieri? Calcola $\lim_{x \to +\infty} N(x)$.

Analizza il grado del numeratore e del denominatore per determinare il valore dei seguenti limiti all'infinito senza eseguire calcoli complessi:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 7}{x^2 - 4}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + 5}$

Associa ciascuna delle seguenti funzioni al suo comportamento all'infinito (asintoto orizzontale). Giustifica la risposta calcolando il limite corrispondente per $x \to +\infty$:

1. $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$

2. $g(x) = \dfrac{10}{x + 1}$

3. $h(x) = \dfrac{6x^2}{3x^2 - 5}$

Comportamenti possibili (una stessa opzione può corrispondere a più di una funzione):

A) Asintoto orizzontale $y = 0$

B) Asintoto orizzontale $y = 2$

C) Asintoto orizzontale $y = 3$

D) Non ha asintoto orizzontale

In una verifica di matematica, Sergio si trova davanti al calcolo del limite:

Sergio scrive nella sua risoluzione:

«Sostituendo otteniamo $\frac{3 \cdot 2 - 1}{2 - 2} = \frac{5}{0} = +\infty$. Quindi il limite è $+\infty$ e la retta $x = 2$ è un asintoto verticale.»

1. a) Spiega con precisione l'errore concettuale che commette Sergio affermando direttamente che il limite bilaterale è $+\infty$.
2. b) Svolgi lo studio corretto calcolando separatamente i limiti laterali per $x \to 2^-$ e per $x \to 2^+$.
3. c) In base ai risultati dei limiti laterali, concludi se esiste o no il limite $\lim_{x \to 2} \frac{3x - 1}{x - 2}$ e motiva se l'affermazione finale sull'esistenza dell'asintoto verticale era corretta o errata.

Una cooperativa agricola siciliana stima che il costo medio per chilogrammo prodotto di agrumi (in euro), raccogliendo $x$ tonnellate di frutta, sia dato dalla funzione:

1. a) Stima: prima di qualsiasi manipolazione algebrica, osserva i termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore. Verso quale valore pensi che tenderà il costo medio se la raccolta cresce indefinitamente ($x \to +\infty$)? Giustifica la tua intuizione.
2. b) Valuta numericamente la funzione per $x = 100$ e $x = 10\,000$ (puoi lasciare indicate le operazioni o approssimare il risultato con due cifre decimali). Questi valori confermano la stima che hai formulato?
3. c) Verifica: calcola formalmente $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ dividendo numeratore e denominatore per la massima potenza di $x$. Giustifica, a partire da tale procedimento, perché i termini di grado minore ($-12x$, $+9$, $+3x$ e $+5$) risultano matematicamente irrilevanti per determinare il limite all'infinito.

Uno studio di mercato analizza l'evoluzione del numero di utenti di una nuova applicazione di messaggistica, misurato in migliaia, mediante la funzione $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi dal lancio. La figura mostra il grafico di questa funzione.

1. a) Analizza che cosa accade al numero di utenti in prossimità del terzo mese. Per farlo, calcola in modo motivato il limite:

1. b) Determina il comportamento dell'applicazione a lungo termine. Esiste un valore massimo a cui si avvicina il numero di utenti? Interpreta il risultato in termini di asintoti orizzontali.

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^2 - kx}{x^2 - 4}$, si chiede di:

1. a) Trovare il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché la funzione presenti una discontinuità eliminabile in $x = 2$.

1. b) Per il valore di $k$ trovato nel punto precedente, studia il comportamento della funzione quando $x$ tende a $-2$. Che tipo di limite ottieni? Giustifica se esiste un asintoto verticale calcolando i limiti laterali:

Calcola i seguenti limiti all'infinito confrontando i termini dominanti e spiega il loro significato grafico (se tendono a un valore concreto o se presentano rami parabolici):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$

Un drone per la sorveglianza forestale segue una traiettoria la cui altezza in metri rispetto al livello del mare è data dall'espressione $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, dove $t$ è il tempo in minuti dall'inizio del pattugliamento. La figura mostra la sua traiettoria durante i primi 20 minuti.

Calcola il limite dell'altezza quando il tempo tende a infinito:

A quale altezza stabilizza il drone il suo volo a lungo termine? Risolvi la forma indeterminata moltiplicando per il coniugato.

Considera la funzione $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

1. a) Completa la seguente tabella di valori per analizzare l'andamento della funzione quando $x$ si avvicina a $3$ da destra:

1. b) A partire dai risultati, deduci il valore del limite laterale $\lim_{x \to 3^+} g(x)$.

1. c) Calcola il limite $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ e spiega la differenza concettuale tra il "limite in un punto" e il "limite all'infinito" per questa funzione.

Dato il grafico della funzione $h(x)$ mostrato di seguito, individua in modo motivato il valore dei seguenti limiti:

1. a) $\lim_{x \to -1^-} h(x)$ e $\lim_{x \to -1^+} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2} h(x)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} h(x)$
4. d) $\lim_{x \to -\infty} h(x)$

Calcola il valore di $a$ e $b$ affinché siano verificate le seguenti uguaglianze di limiti:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax^2 + 5x}{3x^2 - 2} = 4$

1. b) $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + bx - 3}{x - 1} = 4$ (Nota: Perché il limite sia finito in un punto che annulla il denominatore, deve annullarsi anche il numeratore).

In un laboratorio di biotecnologie, la popolazione di un ceppo di batteri (in milioni) cresce secondo il modello:

dove $t \ge 0$ è il tempo in ore.

1. a) Qual è la popolazione iniziale di batteri ($t=0$)?

1. b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. Che cosa rappresenta questo valore per la colonia di batteri?

1. c) Confronta l'ordine di infinito del numeratore e del denominatore nella frazione. Se la crescita fosse $100t^3$ invece di $100t^2$, cambierebbe il comportamento a lungo termine? Giustifica la risposta usando i limiti.

Sulla base delle serie statistiche di Terna, un gruppo di analisti modellizza la percentuale di produzione elettrica nazionale proveniente da fonti rinnovabili, $P(t)$ (in percentuale), in funzione degli anni trascorsi dal 2010 ($t = 0$ rappresenta l'anno 2010):

1. a) Determina la percentuale di rinnovabili prevista dal modello per l'anno 2010 ($t = 0$) e per l'anno 2020 ($t = 10$).
2. b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ e interpreta il risultato: la funzione ha qualche asintoto orizzontale? Dal punto di vista del settore energetico, questo modello prevede che l'Italia possa soddisfare il $100\,\%$ del proprio fabbisogno solo con energie rinnovabili nel lungo periodo? Motiva la tua risposta.
3. c) Una direttiva europea più ambiziosa propone un modello alternativo: $Q(t) = \frac{96t^2 + 500}{t^2 + 2t + 10}$. Calcola il suo limite per $t \to +\infty$ e confronta il limite teorico a lungo termine delle due proiezioni di transizione energetica.

Progetta una funzione razionale della forma $f(x) = \frac{a x^2 + b x}{x^2 - c}$ sapendo che deve soddisfare contemporaneamente tre condizioni imposte da un modello economico:

1. Ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 2$ per $x \to +\infty$.

2. Ha un asintoto verticale di equazione $x = 3$.

3. In $x = -3$ non ha un asintoto verticale, ma una discontinuità eliminabile; cioè esiste ed è finito il limite $\lim_{x \to -3} f(x) = L$.

1. a) Determina, motivando, i valori dei parametri reali $a$, $b$ e $c$.
2. b) Con i valori ottenuti, calcola il valore del limite finito $L = \lim_{x \to -3} f(x)$.
3. c) Spiega concettualmente perché in $x = 3$ si genera un asintoto verticale mentre in $x = -3$ si ha una discontinuità eliminabile, mettendolo in relazione con l'annullarsi contemporaneo o meno del numeratore e del denominatore.

Utilizza la definizione formale di limite basata sugli intorni per dimostrare che il limite della funzione $f(x) = \frac{3x - 1}{2}$ per $x$ che tende a $3$ è uguale a $4$. Per farlo, dato un $\varepsilon > 0$, trova un'espressione per $\delta$ in funzione di $\varepsilon$ che soddisfi la condizione:

$0 < |x - 3| < \delta \implies |f(x) - 4| < \varepsilon$

Si considera la funzione razionale $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x^2 - 4}$. Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione presenta un asintoto orizzontale in $y = 2$ e che esiste il limite finito nel punto $x = 2$. Una volta trovati i parametri, calcola il valore di tale limite in $x = 2$ e discuti il comportamento della funzione quando $x$ tende a $-2$.

Calcola il valore del seguente limite che coinvolge una differenza di funzioni irrazionali all'infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$

Spiega in modo motivato perché non possiamo dire semplicemente che il risultato è $0$ sottraendo due infiniti dello stesso ordine.

In un laboratorio di biotecnologie, la crescita di un ceppo batterico in un ambiente chiuso è modellata dalla funzione $P(t) = \frac{100 \cdot e^{0,5t}}{k + e^{0,5t}}$, dove $P(t)$ è la popolazione in milioni e $t$ è il tempo in ore.

1. a) Sapendo che la popolazione iniziale ($t=0$) è di 20 milioni, calcola il valore della costante $k$.
2. b) Determina il limite della popolazione quando il tempo tende a infinito e interpreta il significato biologico dell'asintoto orizzontale ottenuto.

Trova i valori di $k$ affinché il seguente limite, basato sulla struttura del numero $e$, sia uguale a $e^6$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 - 2x + 3} \right)^{2x}$

Mostra tutti i passaggi intermedi, compresa la risoluzione della forma indeterminata $1^\infty$.

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{a \cdot \sin(x)}{x} + b & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché esistano i limiti laterali in $x=0$, il limite da sinistra sia uguale a $0$ e il limite da destra sia uguale a $5$. È possibile definire $f(0)$ in modo che la funzione sia continua in quel punto?

Analizza il comportamento asintotico della funzione $g(x) = \frac{2^{x+1} + 5}{2^x - 8}$. Per farlo:

1. a) Calcola i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$. Quali asintoti orizzontali presenta?

1. b) Individua il punto in cui si annulla il denominatore e studia i limiti laterali in tale punto per determinare se esiste un asintoto verticale.

Calcola il valore del seguente limite, confrontando gli ordini di infinito e risolvendo la forma indeterminata risultante:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100} + 3^x}{\log_2(x^5) + e^x}$

Giustifica la tua risposta basandoti sulla gerarchia di crescita delle funzioni esponenziale, potenza e logaritmica. Il risultato cambierebbe se il limite fosse per $-\infty$? Motiva la risposta.

Per calcolare il limite $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$, tre studenti di quinto anno di liceo propongono percorsi diversi:

• Proposta di Alberto: «Poiché per valori molto grandi di $x$ il termine $6x$ è trascurabile rispetto a $x^2$, approssimo $\sqrt{x^2 + 6x} \approx \sqrt{x^2} = x$. Quindi il limite è $\lim_{x \to +\infty} (x - x) = 0$.»

• Proposta di Beatrice: «Raccolgo a fattor comune $x$ fuori dalla radice: $x \cdot \left(\sqrt{1 + \frac{6}{x}} - 1\right)$. Sostituendo ottengo $\infty \cdot (\sqrt{1} - 1) = \infty \cdot 0$, e poiché qualsiasi numero moltiplicato per zero è zero, il limite vale $0$.»

• Proposta di Carlo: «L'espressione presenta una forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$ tra termini dello stesso ordine. Dobbiamo moltiplicare e dividere per l'espressione coniugata $\sqrt{x^2 + 6x} + x$ e poi confrontare i gradi risultanti.»

1. a) Analizza le proposte di Alberto e Beatrice. Spiega con rigore matematico quale errore commette ciascuno e perché le loro giustificazioni sono sbagliate.
2. b) Risolvi il limite applicando il metodo proposto da Carlo, dettagliando ogni passaggio del calcolo.
3. c) Se il limite da risolvere fosse $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{9x^4 + 2x} - 2x\right)$, sarebbe necessario ricorrere al metodo del coniugato o basterebbe confrontare gli ordini di crescita dei due termini? Scegli il metodo più efficiente e giustifica la tua scelta senza dover svolgere tutto il calcolo del coniugato.

Il dipartimento di tecnologia di una banca italiana modellizza il costo medio per operazione (in centesimi di euro) nell'elaborazione di un volume di $x$ milioni di transazioni mediante la funzione:

Parallelamente, il tempo medio di risposta dei server a interrogazioni complesse (in millisecondi) è stimato mediante la funzione:

1. a) Applica la gerarchia di crescita all'infinito ($\log_a x \ll x^n \ll a^x$) per calcolare $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ in funzione dei parametri $a$ e $b$. Se la banca ha bisogno che il costo medio a lungo termine si stabilizzi esattamente a $4$ centesimi per operazione, quanto deve valere $a$? Il valore del parametro $b$ influisce su questo comportamento a lungo termine? Giustifica la tua risposta.
2. b) Supponi che un'ottimizzazione del codice annulli la componente esponenziale del numeratore ($a = 0$, mantenendo $b > 0$). Calcola in tal caso $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ basandoti sulla gerarchia degli infiniti e interpreta che cosa accadrebbe al costo unitario man mano che il volume di transazioni cresce indefinitamente.
3. c) Determina il valore del parametro reale $k$ affinché la funzione del tempo di risposta $g(x)$ abbia come asintoto orizzontale la retta $y = 0,6$. Giustifica il trattamento del termine $\ln(x)$ rispetto al termine polinomiale quando $x \to +\infty$.