Esercizi: Continuità. Tipi

Osserva il seguente grafico che rappresenta il livello del segnale WiFi in un centro commerciale man mano che ti allontani dal router principale. Individua i valori di $x$ in cui la funzione non è continua e spiega, motivando in modo intuitivo, perché questo accade.

Un'app di consegne a domicilio applica una commissione fissa a seconda della distanza dal ristorante. La funzione che definisce il costo della consegna in euro, $f(x)$, in base alla distanza $x$ in chilometri è:

Verifica se la funzione è continua nel punto $x = 3$ calcolando i suoi limiti laterali.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica se la funzione è definita in $x = 3$. Esiste il limite $\lim_{x \to 3} f(x)$? In base alle tue risposte, stabilisci se la funzione è continua in quel punto.

Classifica il tipo di discontinuità che presenta la funzione mostrata nell'immagine nel punto $x = 2$. Giustifica se si tratta di una discontinuità eliminabile, di salto finito o di salto infinito.

Studia la continuità della funzione polinomiale $f(x) = x^3 - 2x + 5$ nel punto $x = 0$. Credi che questa funzione possa avere una discontinuità in qualsiasi altro numero reale? Spiega perché.

Un creatore di contenuti analizza la crescita dei suoi follower con una funzione che ha subito un "errore" sul server. La funzione è $g(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$. Indica per quali valori di $x$ la funzione non è continua. Che cosa succede al denominatore perché la continuità venga meno?

Individua quale dei seguenti tre grafici corrisponde a una funzione continua in tutto l'intervallo mostrato e spiega quale caratteristica visiva ti permette di affermarlo.

Determina se la seguente funzione definita a tratti è continua nel "punto di rottura" $x = 1$:

Per farlo, verifica se sono soddisfatte le tre condizioni di continuità:

1. Esiste $f(1)$?

2. Esiste $\lim_{x \to 1} f(x)$?

3. I due valori coincidono?

Luca afferma in classe: «Per studiare la continuità di $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ in $x = 3$, guardo prima il denominatore. Poiché si annulla ($3 - 3 = 0$), la funzione non è definita in quel punto e, quindi, esiste obbligatoriamente un asintoto verticale, cioè una discontinuità di salto infinito». Individua l'errore di ragionamento commesso da Luca, spiega quale condizione essenziale della definizione di continuità ha omesso nel classificare la discontinuità e determina il vero tipo di discontinuità che presenta $f$ in $x = 3$ giustificandolo con il calcolo dei limiti.

In un parcheggio a rotazione di una città italiana, la tariffa $C(t)$ (in euro) applicata in funzione del tempo di sosta $t$ (in ore) è data dall'espressione:

1. Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima se il cambio di tariffazione alle $2$ ore produrrà un salto brusco nell'importo da pagare o se la funzione si raccorderà in modo continuo. Giustifica la tua previsione ragionando sulla logica commerciale di far pagare il tempo utilizzato.

2. Verifica analiticamente la tua stima applicando le tre condizioni di continuità in $t = 2$: calcola $\lim_{t\to 2^-} C(t)$, $\lim_{t\to 2^+} C(t)$ e $C(2)$. In base ai risultati, concludi motivando se la tua previsione era corretta e classifica il comportamento della funzione in quel punto.

Dato il seguente grafico di una funzione $f(x)$ che rappresenta il livello di attività di un'app mobile in un intervallo di tempo, analizza la sua continuità nei punti $x = -2$, $x = 1$ e $x = 3$. Indica in ciascun caso il tipo di discontinuità (eliminabile, di salto finito o di salto infinito) giustificando la risposta mediante lo studio dei limiti laterali e del valore della funzione.

Un'azienda di corriere espresso stabilisce le sue tariffe mensili per i clienti aziendali in funzione del volume di pacchi spediti ($x$, in centinaia di unità). La funzione di costo totale ($C(x)$, in migliaia di euro) è data da:

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la funzione sia continua in $x = 2$. Che tipo di discontinuità presenta la funzione nel punto $x = 0$?

Studia la continuità della seguente funzione razionale in tutto il suo dominio e classifica i suoi punti di discontinuità:

Per i punti in cui la discontinuità è eliminabile, definisci una nuova funzione $g(x)$ che sia continua in tale punto.

La crescita di una colonia di batteri in un ambiente controllato segue un andamento che cambia quando si esaurisce un nutriente dopo 3 ore dall'inizio dell'esperimento. La popolazione $P(t)$ (in milioni) è modellizzata dalla funzione:

Dove $t$ è il tempo in ore. Determina il valore di $a$ affinché la crescita della popolazione sia continua nell'istante del cambio di dieta ($t = 3$). A lungo termine ($t \to \infty$), a quale valore tende la popolazione se si mantiene questo secondo andamento?

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua su tutta la retta reale $\mathbb{R}$:

Considera la funzione $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$.

1. a) Calcola i limiti laterali della funzione quando $x$ tende a $4$.
2. b) Indica se la funzione è continua in $x = 4$. Se non lo è, classifica il tipo di discontinuità.
3. c) Traccia uno schizzo del grafico della funzione in un intorno del punto $x = 4$.

È stata progettata la costruzione di un ponte il cui profilo laterale segue la funzione:

1. a) L'altezza del ponte è continua nel punto di giunzione $x = 0$?
2. b) Esiste qualche punto di discontinuità nell'intervallo $[0, 4)$? In caso affermativo, spiega se è un problema reale per la costruzione (discontinuità eliminabile) o se comporta una rottura del profilo (salto).

Data la funzione $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, analizza la sua continuità e classifica le sue discontinuità. Per farlo:

1. Determina il dominio della funzione.

2. Calcola i limiti laterali nel punto in cui la funzione non è definita.

3. Interpreta i risultati per indicare se esiste un asintoto verticale e di che tipo è la discontinuità.

Progetta l'espressione analitica di una funzione a tratti $f(x)$, con dominio tutto $\mathbb{R}$, che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Presenta una discontinuità eliminabile in $x = -2$, ma la funzione è definita in tale punto con $f(-2) = 5$.

2. Presenta una discontinuità di salto finito in $x = 1$, con un salto esattamente di $3$ unità (cioè $|\lim_{x\to 1^+} f(x) - \lim_{x\to 1^-} f(x)| = 3$).

3. È continua in ogni altro punto di $\mathbb{R}$.

Mostra la formula completa della tua funzione e giustifica analiticamente, mediante il calcolo dei limiti laterali corrispondenti e la verifica delle condizioni di continuità, che la tua proposta soddisfa con rigore ciascuno dei requisiti.

Un consorzio irriguo applica una tariffa mensile $P(v)$ (in euro) per il volume d'acqua $v$ (in metri cubi, $\text{m}^3$) fornito a un'azienda agricola, secondo la seguente funzione a tratti:

dove $15\text{ \euro}$ è la quota fissa di servizio e $k$ è un termine costante di aggiustamento.

1. a) Determina il valore di $k$ affinché la funzione di fatturazione sia continua in $v = 100\text{ m}^3$, evitando che un utente subisca un salto ingiustificato nel costo totale per aver superato di poco la soglia di $100\text{ m}^3$.
2. b) Se per un errore di gestione si fissasse $k = -10$, analizza la continuità in $v = 100\text{ m}^3$, calcola l'entità del salto e interpreta economicamente chi viene danneggiato da questo squilibrio (l'agricoltore o il consorzio irriguo).

Un'azienda di servizi cloud offre un piano di archiviazione la cui tariffa mensile $C(x)$, in euro, dipende dai gigabyte utilizzati $x$. La funzione è data dalla seguente espressione:

1. a) Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la tariffa sia continua in tutto il suo dominio.

1. b) Se $a$ ha il valore trovato nel punto precedente ma $b$ fosse diverso dal valore trovato, che tipo di discontinuità presenterebbe la funzione in $x = 10$? Giustifica la risposta calcolando i limiti laterali.

Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti e classifica tutti i suoi punti di discontinuità:

Indica motivando la risposta se qualcuna delle discontinuità trovate è di tipo eliminabile.

Un analista finanziario modella il profitto atteso $B(t)$, in migliaia di euro, di un investimento tecnologico nel tempo $t$ (in anni) mediante la funzione:

1. a) Disegna il grafico della funzione nell'intervallo $[0, 5]$. Per farlo, scrivi $B(t)$ come funzione definita a tratti (senza valore assoluto) e costruisci una tabella di valori.

1. b) Studia la continuità di $B(t)$ in $t = 2$ calcolando i limiti laterali. Esiste il limite in tale punto?

1. c) Classifica il tipo di discontinuità, calcola l'ampiezza del salto (in migliaia di euro) e spiega il suo significato nel contesto del profitto dell'azienda.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione dipendente dai parametri reali $k$ e $m$:

Trova i valori di $k$ e $m$ affinché $g(x)$ sia una funzione continua su tutto l'insieme dei numeri reali.

Considera la funzione $f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - 4x + 3}$.

1. a) Per quali valori di $k$ la funzione ha una discontinuità eliminabile in $x = 3$?
2. b) Una volta trovato tale valore di $k$, ridefinisci la funzione in quel punto in modo che sia continua in $x = 3$.
3. c) Con il valore di $k$ ottenuto, che cosa accade in $x = 1$? Classifica la discontinuità in quell'altro punto.

Uno studio sociologico stabilisce che il livello di accettazione di una nuova legge, $L(t)$, su una scala da 0 a 100, segue il seguente modello nei primi 10 mesi ($t$):

1. a) Giustifica se il livello di accettazione è variato in modo continuo nell'arco dei 10 mesi.
2. b) Se nel mese $t = 4$ c'è stato un cambiamento nella campagna di comunicazione, c'è stato un salto brusco nell'accettazione? In caso affermativo, calcola l'entità del salto e classifica la discontinuità.

Si considera la funzione $f(x) = \frac{x^2 - a}{x^3 + bx + c}$. Si sa che la funzione ha una discontinuità di salto infinito in $x = 1$ e $x = -3$. Inoltre, presenta una discontinuità eliminabile in $x = 2$.

Trova i valori dei parametri $a, b$ e $c$. Con questi valori, calcola il limite della funzione per $x \to +\infty$.

Sia la funzione definita da:

Studia la continuità della funzione nel punto $x = 0$ analizzando i suoi limiti laterali. È continua da destra? E da sinistra? Classifica motivando il tipo di discontinuità che presenta.

Per studiare la continuità della funzione $g(x) = \frac{|x - 1|}{x^2 - 3x + 2}$ nei punti $x = 1$ e $x = 2$, due studenti propongono approcci diversi:

• Strategia A (Carla): Esprimere prima la funzione in due rami senza valore assoluto a seconda del segno di $(x - 1)$, semplificare algebricamente la frazione in ciascun tratto scomponendo in fattori il denominatore e, poi, valutare i limiti laterali e l'esistenza della funzione in ciascun punto critico.

• Strategia B (Marcos): Lasciare l'espressione con il valore assoluto intatta e calcolare direttamente i limiti laterali in $x = 1$ e $x = 2$ sostituendo mentalmente valori numerici molto vicini (ad esempio, $1,01$ e $0,99$) per dedurre il segno del numeratore e del denominatore.

1. a) Applica la strategia di Carla per analizzare e classificare in dettaglio il tipo di discontinuità in $x = 1$.
2. b) Confronta i due procedimenti per l'analisi del punto $x = 2$. Perché la strategia di Marcos può indurre a errori gravi o a indeterminazioni non giustificate in questo tipo di funzioni razionali con valore assoluto? Spiega quale metodo offre maggiore solidità deduttiva.
3. c) Classifica infine la discontinuità in $x = 2$ utilizzando il metodo che hai giustificato come più sicuro.

In una proposta di riforma fiscale per tassare l'utile netto $B$ (in migliaia di euro) delle piccole e medie imprese, il Ministero delle Finanze propone un'imposta $T(B)$ (in migliaia di euro) strutturata in tre scaglioni:

Per evitare il cosiddetto «errore di salto» (cioè che un aumento marginale dell'utile faccia pagare all'impresa d'un colpo un'imposta sproporzionatamente maggiore), la funzione $T(B)$ deve essere continua in tutto il suo dominio $[0, +\infty)$. Inoltre, per criteri di gettito, un'impresa che dichiari un utile di $40\text{ mila euro}$ deve versare esattamente $7\text{ mila euro}$.

1. a) Imposta il sistema di equazioni necessario per garantire la continuità della funzione in $B = 20$ e in $B = 60$, includendo la condizione sull'imposta per $B = 40$.
2. b) Risolvi il sistema e trova, motivando, i valori dei parametri $m$, $n$ e $p$.
3. c) Se per un refuso nella pubblicazione della legge si fissasse $p = -4$, analizza la continuità in $B = 60$, classifica la discontinuità risultante calcolando l'entità del salto e spiega perché questo errore scoraggerebbe un'impresa con $60\text{ mila euro}$ di utile dal cercare di guadagnare $100\text{ euro}$ in più.

Sfida del tema. Verso dove evolve il consumo digitale dei giovani? Indaga le abitudini del tuo ambiente confrontandole con i dati dell'ISTAT e modellizza il loro comportamento a lungo termine.

1. Campionamento e conteggio: Consulta sul sito dell'ISTAT il tempo medio giornaliero che i giovani dedicano alle piattaforme di contenuti. Realizza un piccolo sondaggio tra $15$ compagni registrando le loro ore di utilizzo. Quanti campioni distinti di $4$ persone potresti selezionare per confrontare i profili? Applica il calcolo combinatorio ($C_{15,4}$).

2. Test di ipotesi: Imposta un test di ipotesi bilaterale con livello di significatività $\alpha = 0,05$ per verificare se il tempo medio del tuo ambiente differisce significativamente dal dato nazionale dell'ISTAT.

3. Modellizzazione e limiti: Definisci una funzione a tratti $f(t)$ che modellizzi il costo o il consumo in funzione del tempo $t$, con un cambio di tariffa alle $2$ ore. Calcola i limiti laterali in $t = 2$ per verificarne la continuità. Poi valuta $\lim_{t \to +\infty} f(t)$ risolvendo la forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ per prevedere se il consumo tende a stabilizzarsi o cresce indefinitamente.

4. Prodotto finale: Elabora una relazione di una pagina (usando GeoGebra o un foglio di calcolo) che comprenda i dati, il test formulato, lo studio analitico dei limiti e la tua conclusione motivata.

Verrà valutato:

• Precisione nel conteggio combinatorio e nello svolgimento del test di ipotesi.

• Rigore algebrico nel calcolo dei limiti laterali, all'infinito e nella risoluzione delle forme indeterminate.

• Uso efficace degli strumenti digitali e coerenza critica nelle conclusioni tratte.