Esercizi: Calcolo dei limiti. Forme indeterminate

Per comprendere il concetto di limite, analizziamo il comportamento della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ quando i valori di $x$ si avvicinano molto a $2$, ma senza mai essere esattamente $2$.

Completa la seguente tabella di valori utilizzando la calcolatrice e prevedi quale sarà il valore di $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:

Dato il grafico della funzione $f(x)$ riportato di seguito, determina visivamente il valore dei seguenti limiti:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$

Calcola i seguenti limiti immediati eseguendo la sostituzione diretta nell'espressione della funzione:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 2)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x^2 + 1}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{x+1}$

Nell'analisi dei costi di un'azienda, si è stabilito che il costo medio di fabbricazione di $x$ unità di un nuovo gadget tecnologico è dato dalla funzione:

Calcola il limite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta il risultato nel contesto del problema (che cosa accade al costo per unità se la produzione aumenta in modo massiccio?).

Risolvi la forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$ nei seguenti casi, confrontando i gradi dei polinomi:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 10}{x^2 - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + x}$

Calcola il valore del seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ mediante la semplificazione della frazione (raccogliendo a fattor comune o scomponendo in fattori):

Il numero di follower di un canale di uno «streamer» alle prime armi nei primi mesi segue la funzione $S(t) = \frac{200t^2}{t^2 + 4}$, dove $t$ è il tempo in mesi. Il grafico mostra l'andamento di $S(t)$.

1. a) Quanti follower ha il canale all'inizio ($t=0$)?
2. b) Utilizza il calcolo dei limiti per stabilire a quanti follower tenderà il canale nel lungo periodo (quando $t \to +\infty$).

Calcola il limite all'infinito della seguente funzione razionale e giustifica la risposta:

Per calcolare il limite $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x - 8}$, due compagni di classe ragionano nel modo seguente:

• Ugo sostituisce $x = 2$ e ottiene $\dfrac{0}{0}$. Afferma: «Poiché zero diviso qualsiasi numero è zero, il limite vale $0$».

• Matteo gli risponde: «No, Ugo, qualsiasi quantità divisa per se stessa dà $1$, quindi il limite deve essere $1$».

1. a) Spiega motivando l'errore concettuale che commettono entrambi e chiarisci perché l'espressione $\left[\frac{0}{0}\right]$ si chiama «forma indeterminata» e non rappresenta un valore numerico definito.
2. b) Applica la scomposizione in fattori dei polinomi mediante il teorema del resto (o Ruffini), semplifica il fattore che genera la forma indeterminata e trova il vero valore numerico del limite.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$:

1. a) Stima: Senza eseguire trasformazioni algebriche, valuta numericamente con la calcolatrice i valori di $f(1,99)$ e $f(2,01)$ con almeno quattro cifre decimali. In base ai risultati ottenuti, formula una congettura motivata su quale dovrebbe essere il valore esatto di $\lim_{x \to 2} f(x)$ espresso come frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Verifica: Calcola analiticamente $\lim_{x \to 2} f(x)$ moltiplicando numeratore e denominatore per l'espressione coniugata della radice per risolvere la forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$. Verifica se il valore teorico ottenuto coincide esattamente con la tua stima iniziale.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ riportato di seguito, analizza il comportamento della funzione nei punti critici e determina i seguenti valori:

1. a) $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to -2^+} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 3^+} f(x)$
4. d) Esiste il limite in $x = 3$? Giustifica la risposta basandoti sui limiti laterali.

Calcola il valore del seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ mediante la scomposizione in fattori dei polinomi (puoi usare la regola di Ruffini se necessario):

Un'azienda di corrieri ha stabilito che i suoi costi giornalieri in euro sono dati dalla funzione $C(x) = \sqrt{9x^2 + 5x} - 3x$, dove $x$ rappresenta il numero di spedizioni effettuate in centinaia.

Calcola il limite dei costi quando il volume delle spedizioni aumenta indefinitamente ($\lim_{x \to +\infty} C(x)$). Interpreta il risultato ottenuto nel contesto del problema.

Calcola i seguenti limiti analizzando il grado dei polinomi e le potenze di ordine maggiore (forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{\sqrt{x^4 + 3x^2}}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{x^2 + 10}$

Determina il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché esista il limite della funzione $f(x)$ nel punto $x = 1$, essendo la funzione:

Per tale valore di $k$, quanto vale il limite?

Risolvi il seguente limite, che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$, utilizzando la formula legata al numero $e$:

Il numero di follower di un nuovo «influencer» su un social network segue il modello dato dalla funzione $S(t) = 500 \cdot \left( 1 + \frac{2}{t+1} \right)^t$, dove $t$ è il tempo in mesi da quando ha aperto il suo account.

1. a) Calcola $\lim_{t\to+\infty} S(t)$ e, a partire da esso, indica qual è la tendenza del numero di follower quando il tempo cresce indefinitamente. Giustifica la risposta con il calcolo dei limiti.

1. b) Scrivi l'equazione dell'asintoto orizzontale di $S(t)$ per $t\to+\infty$ e interpreta il suo significato nel contesto del problema.

Calcola il valore del limite della seguente funzione razionale nel punto $x = 1$. Tieni presente che, se ottieni la forma $\frac{k}{0}$, dovrai studiare i limiti laterali per decidere se il limite è $+\infty$, $-\infty$ o non esiste:

Per calcolare il limite all'infinito $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 3x - 1} - 2x \right)$, in classe si propongono due strategie diverse:

• Metodo A (scorciatoia del termine dominante): «Dentro il radicale, quando $x \to +\infty$, il termine dominante è $4x^2$. Quindi $\sqrt{4x^2 + 3x - 1} \approx \sqrt{4x^2} = 2x$. Sottraendo $2x - 2x$, il limite è direttamente $0$».

• Metodo B (moltiplicazione per il coniugato): «Essendo una forma indeterminata $\infty - \infty$, l'approssimazione diretta nasconde termini del primo ordine; si deve moltiplicare e dividere l'intera espressione per il suo coniugato $(\sqrt{4x^2 + 3x - 1} + 2x)$ e poi confrontare i gradi».

1. a) Giustifica perché il metodo A non è matematicamente valido e porta a un risultato errato in questo caso concreto.
2. b) Sviluppa completamente il metodo B giustificando ogni passaggio algebrico e calcola il valore reale del limite.
3. c) In base al risultato, determina motivando se il grafico della funzione $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x - 1}$ ha un asintoto obliquo della forma $y = 2x + n$ per $x \to +\infty$, indicando il valore dell'ordinata all'origine $n$.

Una banca italiana offre un deposito a un anno con un capitale iniziale di $5.000$ € a un tasso di interesse nominale annuo del $4\,\%$ ($r = 0,04$). Se gli interessi vengono liquidati periodicamente $n$ volte all'anno, il capitale finale accumulato è dato dalla formula della capitalizzazione composta $C(n) = 5.000 \cdot \left(1 + \dfrac{0,04}{n}\right)^n$.

1. a) Un cliente afferma: «Se dividiamo l'anno in infiniti periodi di liquidazione ($n \to +\infty$), la frazione $\frac{0,04}{n}$ tende a $0$, quindi la base diventa $1$. Poiché $1$ elevato a qualsiasi numero è $1$, alla fine otterremo $5.000 \cdot 1 = 5.000$ € e perderemo tutti gli interessi accumulati». Confuta con rigore matematico questo ragionamento e individua quale forma indeterminata compare realmente.
2. b) Calcola il limite $\lim_{n \to +\infty} C(n)$ applicando il metodo del numero $e$ per la forma indeterminata $1^\infty$ ($e^L$, con $L = \lim_{n \to +\infty} n \cdot (g(n) - 1)$).
3. c) Calcola il capitale finale con liquidazione mensile ($n = 12$) e confrontalo con il limite nella capitalizzazione continua ($n \to +\infty$), arrotondando entrambi ai centesimi di euro. Alla luce della differenza, valuta se al risparmiatore conviene esigere una liquidazione continua rispetto a una mensile.

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che esiste il limite finito della funzione per $x$ che tende a $1$ e che tale limite vale esattamente $L = -2$. Una volta trovati i parametri, stabilisci motivando se la funzione presenta un asintoto verticale in $x = -1$.

Una catena di palestre stima che il numero di iscritti cumulato (in migliaia) segua la funzione $B(t) = \sqrt{4t^2 + 5t + 1} - (at + b)$, dove $t$ è il tempo in anni.

• a) Determina il valore di $a$ affinché, nel lungo periodo ($t \to \infty$), il numero di iscritti non cresca indefinitamente né diventi negativo (cioè il limite sia un valore reale finito).

• b) Per il valore di $a$ trovato nel punto precedente, calcola il valore di $b$ necessario affinché il limite del numero di iscritti per il tempo che tende a infinito sia esattamente $3$ mila.

Calcola il valore del seguente limite, che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$, in un contesto di interesse composto continuo:

Successivamente, spiega che cosa accadrebbe al valore del limite se il grado dell'esponente fosse $2$ invece di $1$.

Studia il comportamento all'infinito della seguente funzione, calcolando i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$:

Presta particolare attenzione al cambio di segno quando si portano dentro o fuori fattori dalla radice con la variabile che tende a meno infinito. Giustifica se esistono asintoti orizzontali in entrambi i versi e, in caso affermativo, scrivine le equazioni.

Data la funzione definita a tratti:

Calcola il valore che dovrebbe assumere il parametro $k$ affinché esista il limite della funzione nel punto $x = 0$. È possibile assegnare un valore a $g(0)$ in modo che la funzione sia continua in tale punto? Giustifica la risposta utilizzando il concetto di limiti laterali e forme indeterminate.

Nell'analisi della diffusione di una notizia su un social network si utilizza la funzione $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, dove $P$ è la percentuale della popolazione che conosce la notizia e $t$ il tempo in ore.

• a) Calcola $\lim_{t \to \infty} P(t)$ e interpreta il risultato nel contesto del problema.

• b) Se la velocità di diffusione è data dalla derivata (che studieremo più avanti, ma supponi di avere l'espressione semplificata della crescita relativa), analizza che cosa accade alla differenza $100 - P(t)$ quando $t \to \infty$.

• c) Determina motivando se la funzione ha qualche asintoto verticale.

Calcola il limite della seguente espressione risolvendo la forma indeterminata $\infty - \infty$ mediante l'uso del coniugato:

Se il risultato del limite è $L = 4$, quale deve essere il valore del parametro $a$? Confronta questo risultato con il limite della stessa funzione per $x \to -\infty$.

Analizza la gerarchia degli infiniti per risolvere il seguente limite, giustificando ogni passaggio in base all'ordine di crescita delle funzioni coinvolte (esponenziali, polinomiali e logaritmiche):

Il risultato cambierebbe se la base dell'esponenziale al denominatore fosse $e$ invece di $3$? Giustifica la risposta basandoti sul confronto degli ordini di grandezza.

Il reparto di analisi di una piattaforma di e-commerce modellizza il comportamento d'acquisto dei suoi utenti con la funzione razionale $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + c}{x^2 - 5x + 6}$, dove $x$ rappresenta il tempo di permanenza sul sito (in minuti) e $a, b, c \in \mathbb{R}$ sono parametri costanti.

1. a) Deduci motivando il valore dei coefficienti $a$, $b$ e $c$ sapendo che sono soddisfatte contemporaneamente le due condizioni seguenti:

1) Quando il tempo di navigazione si prolunga indefinitamente ($x \to +\infty$), il valore della funzione si stabilizza su un valore finito pari a $3$.

2) Nell'istante critico $x = 2$, la funzione genera una forma indeterminata del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$, ma la piattaforma non va in crisi perché esiste il limite finito $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.

1. b) Una volta determinati i parametri, studia che cosa accade nell'altro punto che annulla il denominatore ($x = 3$). Calcola i limiti laterali $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ e interpreta la situazione dal punto di vista degli asintoti verticali della funzione.

L'Istat elabora proiezioni demografiche a lungo termine per valutare il rischio di spopolamento in due comprensori rurali dell'entroterra italiano. I modelli matematici proiettano la popolazione $P(t)$ (in migliaia di abitanti) in funzione del tempo $t \ge 0$ (in decenni trascorsi dall'anno 2024):

• Comprensorio A: $P_A(t) = \sqrt{9t^2 + 12t + 5} - 3t$

• Comprensorio B: $P_B(t) = 5 \cdot \left(\dfrac{t + 1}{t + 2}\right)^t$

1. a) Analizza la tendenza a lunghissimo termine ($t \to +\infty$) per il comprensorio A. Individua la forma indeterminata iniziale, risolvila giustificando il procedimento algebraico e calcola a quale numero di abitanti tende a stabilizzarsi.
2. b) Analizza la tendenza a lunghissimo termine ($t \to +\infty$) per il comprensorio B. Individua il tipo di forma indeterminata, risolvila in dettaglio mediante la regola della potenza legata al numero $e$ e determina la popolazione limite in abitanti.
3. c) Tenendo conto che nel 2024 ($t = 0$) il comprensorio A contava circa $2.236$ abitanti ($P_A(0) = \sqrt{5}$) e il comprensorio B $5.000$ abitanti ($P_B(0) = 5$), calcola quale percentuale della popolazione iniziale conserva ciascun comprensorio nel lungo periodo e giustifica quale dei due territori mostra un comportamento demografico più resiliente.