Esercizi: Limiti, derivate e studio con seno e coseno

Calcola la derivata delle funzioni:

1. a) $f(x) = 3\sin x$

1. b) $g(x) = \cos x + x^2$

1. c) $h(x) = 2x - 5\cos x$

Calcola i limiti notevoli:

1. a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$

1. b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x}$

1. c) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$

Data $f(x) = \sin x$ con $x \in [0, 2\pi]$:

1. a) trova gli zeri;

1. b) trova i punti in cui $f'(x) = 0$;

1. c) indica il valore massimo e il valore minimo.

Calcola la derivata di:

1. a) $f(x) = x \sin x$

1. b) $g(x) = \dfrac{\cos x}{x}$

1. c) $h(x) = \sin(2x^2 + 1)$

Scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x) = \sin x + \cos x$ nel punto di ascissa $x = \dfrac{\pi}{2}$.

Sia $f(x) = 2\sin x - x$ nell'intervallo $[0, \pi]$.

1. a) Studia il segno di $f'(x)$ e determina gli intervalli di crescita e decrescita.

1. b) Individua massimo e minimo assoluti nell'intervallo.

1. c) Calcola $f''(x)$ e determina gli eventuali flessi.

Sia $f(x) = \sin x + \dfrac{1}{2}\sin 2x$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$.

1. a) Determina gli zeri di $f$.

1. b) Studia crescita e decrescita e trova massimi e minimi relativi.

1. c) Traccia, descrivendolo a parole, l'andamento qualitativo del grafico, indicando la simmetria rispetto al punto $(\pi, 0)$ e dimostrandola.

Calcola, motivando i passaggi, i limiti:

1. a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{\tan 2x}$

1. b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ (usa il teorema del confronto) e spiega perché $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ non esiste.

Un pendolo in un'aula di Padova ha elongazione $s(t) = 8\cos\!\left(\pi t\right)$ cm, con $t$ in secondi.

1. a) Calcola velocità $v(t) = s'(t)$ e accelerazione $a(t) = s''(t)$.

1. b) Determina il periodo del moto e gli istanti in $[0, 2]$ in cui la velocità è nulla.

1. c) Dimostra che $a(t) = -\pi^2 s(t)$ e stabilisci in quali istanti il modulo della velocità è massimo e quanto vale.