Esercizi: Ottimizzazione di funzioni

Calcola due numeri reali non negativi la cui somma sia esattamente $20$, in modo che il loro prodotto sia il maggiore possibile.

Un'azienda di accessori per cellulari ha determinato che il profitto mensile $B(x)$, espresso in euro, vendendo $x$ cover personalizzate è dato dalla funzione:

$B(x) = -x^2 + 120x - 500$

Quante cover devono essere vendute per ottenere il profitto massimo? A quanto ammonta tale profitto?

Un gruppo di studenti vuole recintare una zona rettangolare nel cortile della scuola per un mercatino solidale. Se dispongono in totale di $40$ metri di recinzione, determina le dimensioni del rettangolo (lunghezza e larghezza) che racchiudono l'area massima possibile.

Si vuole scomporre il numero $12$ in due addendi positivi tali che la somma dei loro quadrati sia minima. Utilizza le derivate per trovare tali addendi.

La visibilità di un post su un social network (misurata in numero di «like») durante le prime $10$ ore dopo la pubblicazione segue la funzione:

$V(t) = 20t^2 - 2t^3$

dove $t$ è il tempo in ore ($0 \le t \le 10$). In quale momento il post raggiunge il suo picco massimo di visibilità?

Si vuole costruire una cornice di legno rettangolare per un cartellone pubblicitario che deve avere un'area di $16$ $m^2$. Calcola le dimensioni del cartellone in modo che il costo del legno della cornice sia minimo (cioè in modo che il perimetro sia minimo).

Il costo di fabbricazione di una serie di auricolari wireless è dato dalla funzione $C(x) = 2x^2 - 80x + 2000$, dove $x$ è il numero di unità prodotte. Quante unità devono essere fabbricate per minimizzare il costo totale di produzione?

Un agricoltore sa che se pianta $100$ aranci nel suo terreno, la produzione media per albero è di $400$ kg di frutta all'anno. Per ogni albero aggiuntivo che pianta, la produzione media per albero diminuisce di $2$ kg per mancanza di spazio. La produzione totale è data da:

$P(x) = (100 + x)(400 - 2x)$

dove $x$ è il numero di alberi aggiuntivi piantati. Trova il valore di $x$ che massimizza la produzione totale annua.

Un laboratorio artigianale di calzature di Vigevano ha costi di produzione mensili (in centinaia di euro) modellizzati dalla funzione $C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10$, dove $x$ rappresenta il numero di paia di scarpe realizzate (in centinaia di unità). Per vincoli di personale e macchinari, la produzione massima mensile è di $400$ paia, cioè il dominio fisico ammissibile è $x \in [0, 4]$.

Marco, il contabile tirocinante, cerca la quantità di paia che minimizza il costo totale e scrive nella sua relazione:

«Calcolo la derivata $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$. Risolvendo l'equazione $3x^2 - 12x + 15 = 0$, il discriminante è $(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 144 - 180 = -36 < 0$, quindi non esistono radici reali. Poiché la derivata non si annulla in nessun punto, la funzione non ha minimo e, pertanto, il costo non dipende da quante scarpe fabbrichiamo».

1. a) Spiega in dettaglio l'errore di ragionamento di Marco. Che tipo di candidati ha omesso nella sua analisi e perché la sua conclusione sull'indipendenza del costo è falsa?
2. b) Studia il segno di $C'(x)$ in tutto l'intervallo $[0, 4]$ e deduci con ragionamento la monotonia della funzione di costo.
3. c) Determina la produzione reale $x \in [0, 4]$ che minimizza il costo mensile, indicando qual è tale costo minimo e quale sarebbe il costo all'estremo opposto del dominio.

Un'azienda di autobus che copre la linea tra Bologna e Rimini attualmente fa pagare $15$ € a biglietto, registrando una media di $180$ viaggiatori per corsa. La direzione commerciale propone di effettuare ribassi per attirare più domanda: per ogni $0,50$ € di sconto sul biglietto ($x$ ribassi di $0,50$ €, così che il ribasso totale è di $0,5x$ euro), il numero di viaggiatori aumenta di $10$ persone. La capacità massima del veicolo è di $250$ passeggeri, quindi al massimo possono aggiungersi $70$ viaggiatori ($0 \le x \le 7$).

1. a) Stima: Prima di calcolare le derivate, calcola i ricavi attuali (senza ribasso, $x=0$) e i ricavi se si applicasse il ribasso massimo consentito ($x=7$). A partire da questi due valori di partenza, elabora una stima ragionata se convenga applicare il ribasso massimo, lasciare tutto com'è o cercare un prezzo intermedio.
2. b) Calcola: Formula la funzione dei ricavi $I(x)$ in funzione del numero di riduzioni $x$. Utilizza il procedimento di ottimizzazione con le derivate per trovare il valore esatto di $x$ che massimizza i ricavi nell'intervallo $[0, 7]$.
3. c) Verifica: Determina il prezzo finale ottimale del biglietto, il numero di viaggiatori risultante e il ricavo totale ottenuto. Confronta questi risultati con la tua stima iniziale e valuta se la strategia del ribasso sia consigliabile rispetto alla situazione precedente.

Un giovane programmatore sta progettando un'applicazione per la gestione del tempo. Ha stabilito che la produttività di un utente, misurata in «punti di concentrazione», segue la funzione $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, dove $t$ è il tempo in ore trascorso dall'inizio della giornata lavorativa ($0 \le t \le 8$). Calcola in quale momento della giornata l'utente raggiunge la sua produttività massima e quanti punti ottiene in quell'istante.

Un laboratorio di cucina professionale progetta un recipiente di acciaio a base quadrata e senza coperchio per conservare alimenti. Il recipiente deve avere un volume di $13,5$ litri ($13,5\ \text{dm}^3$). Determina le dimensioni del lato della base ($x$) e dell'altezza ($h$) che minimizzano la quantità di acciaio utilizzata (cioè la superficie totale del recipiente) e calcola tale superficie minima.

Il costo totale di fabbricazione di $x$ unità di un modello di auricolari wireless è dato dalla funzione $C(x) = 0,2x^2 + 10x + 500$ euro. Il prezzo di vendita unitario dipende dalla domanda e segue la formula $p(x) = 70 - 0,1x$. Determina quante unità devono essere fabbricate e vendute affinché il profitto totale dell'azienda sia massimo.

Uno studio di marketing per una piattaforma di streaming indica che il numero di abbonati mensili, in migliaia, varia in base al prezzo dell'abbonamento mensile $x$ (in euro) secondo la funzione $S(x) = \frac{48}{x} + x - 10$ per prezzi compresi tra $4$ e $15$ euro. Calcola il prezzo dell'abbonamento che minimizza il numero di abbonati. Giustifica se questo risultato è utile per l'azienda dal punto di vista dei ricavi.

Si vuole progettare una confezione di cartone a forma di prisma rettangolare a base quadrata e senza coperchio per un nuovo modello di tablet. Il volume della confezione deve essere esattamente $2000 \text{ cm}^3$. Trova le dimensioni della confezione (lato della base e altezza) che minimizzano la quantità di cartone impiegata per la sua fabbricazione.

Un «booktuber» ha verificato che l'impatto dei suoi video (misurato in migliaia di visualizzazioni giornaliere) dipende dal tempo $t$ (in giorni) trascorso dalla pubblicazione, secondo la funzione $V(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Determina in quale giorno il video raggiunge il suo impatto massimo e qual è quel numero massimo di visualizzazioni.

Si vuole stampare un manifesto pubblicitario per un festival musicale che occupi una superficie totale di $2 \text{ m}^2$. Il manifesto deve lasciare margini di $10 \text{ cm}$ nella parte superiore e inferiore, e di $5 \text{ cm}$ sui lati sinistro e destro. Calcola le dimensioni totali del manifesto in modo che l'area della zona di stampa sia la maggiore possibile.

Un negozio online di abbigliamento urbano ha stimato che i suoi ricavi giornalieri in euro seguono la funzione $I(p) = -2p^2 + 120p$, dove $p$ è il prezzo medio in euro dei suoi capi. D'altra parte, le sue spese giornaliere sono modellizzate da $G(p) = 40p + 100$. Trova il prezzo $p$ che devono fissare affinché il profitto giornaliero (Ricavi $-$ Spese) sia massimo. Determina anche l'entità di tale profitto massimo.

Una cooperativa di olio d'oliva in Puglia modellizza i suoi costi totali di confezionamento (in migliaia di euro) mediante la funzione $C(q) = 0,1q^3 - 0,6q^2 + 4q + 10$, dove $q$ è il volume confezionato in migliaia di litri, con $q \in [1, 8]$.

Per trovare la produzione $q$ che rende minimo il costo medio per litro, $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$, il team tecnico discute tra due strade:

• Metodo 1 (Ottimizzazione diretta): Scrivere l'espressione algebrica di $CM(q)$, calcolare la sua derivata $CM'(q)$, porla uguale a zero e giustificare il minimo con la derivata seconda.

• Metodo 2 (Proprietà costo marginale-costo medio): Utilizzare la proprietà teorica secondo cui il costo medio è minimo quando uguaglia il costo marginale, risolvendo direttamente l'equazione $C'(q) = CM(q)$.

1. a) Sviluppa entrambi i metodi passo dopo passo fino a ottenere l'equazione che fornisce il candidato a minimo. Dimostra algebricamente, applicando la regola di derivazione del quoziente a $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$, perché entrambi i metodi conducono necessariamente alla stessa equazione.
2. b) Confronta lo sforzo di calcolo dei due metodi: quale vantaggio algebrico presenta il Metodo 2 rispetto al Metodo 1 nel trattare il termine lineare ($4q$) e il termine noto ($10$) del costo?
3. c) Risolvi l'equazione risultante, scarta le eventuali radici non ammissibili e verifica che si tratti di un minimo locale mediante $CM''(q)$. Indica la produzione ottimale $q$ e il costo medio minimo risultante per litro (in euro).

Un'azienda di spedizioni urgenti opera con furgoni elettrici per le consegne all'interno di una Zona a Basse Emissioni (ZTL ambientale) a Roma. Il costo operativo per chilometro percorso, $C(v)$ in euro, dipende dalla velocità media di percorrenza $v$ (in km/h) attraverso tre componenti:

• Il consumo di energia elettrica della batteria: $0,02v$ €/km.

• Lo stipendio dell'autista ($18$ €/ora): poiché a una velocità media $v$ si impiegano $\dfrac{1}{v}$ ore per percorrere un chilometro, questo costo equivale a $\dfrac{18}{v}$ €/km.

• L'usura meccanica e l'ammortamento del veicolo: un costo fisso di $0,10$ €/km.

1. a) Esprimi la funzione del costo totale per chilometro $C(v)$. Se inizialmente le condizioni del traffico consentono di circolare a velocità medie comprese tra $10$ e $60$ km/h ($v \in [10, 60]$), calcola la velocità media che minimizza il costo per chilometro e giustifica che si tratta di un minimo assoluto in tale intervallo.
2. b) Determina il costo minimo per chilometro che l'azienda sostiene circolando a tale velocità ottimale.
3. c) A seguito di una modifica dell'ordinanza comunale sulla moderazione del traffico urbano, la velocità massima nel distretto viene limitata a $20$ km/h, così il nuovo dominio operativo diventa $[10, 20]$. Senza dover ricalcolare le derivate, usa il segno di $C'(v)$ in tale intervallo per stabilire quale deve essere la nuova velocità adottata e calcola la percentuale di sovraccosto per chilometro che subirà l'azienda rispetto alla situazione iniziale.

Un'azienda tecnologica ha lanciato un nuovo social network. Il numero di utenti attivi, misurato in milioni, segue la funzione $U(t) = \frac{40t^2}{e^{0,5t}}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio ($t \geq 0$). Contemporaneamente, i costi di manutenzione mensili, in migliaia di euro, sono dati da $C(t) = 10t + 5$. Per rendere confrontabili le scale, lavoreremo con $\frac{C(t)}{100}$ e definiremo la differenza $D(t) = U(t) - \frac{C(t)}{100}$.

1. a) Determina in quale mese il numero di utenti attivi raggiunge il suo livello massimo e calcola quanti milioni di utenti ci sono in quel momento.

1. b) Calcola $D'(t)$ e studia il suo segno con l'aiuto della calcolatrice, provando ad esempio $t = 3,9$ e $t = 4$. Indica tra quali due valori si trova il momento in cui la differenza $D(t)$ è massima e a quale mese corrisponde approssimativamente.

1. c) Giustifica se il massimo di $U(t)$ è assoluto analizzando il valore di $U(0)$ e il comportamento della funzione a lungo termine, cioè $\lim_{t\to+\infty} U(t)$.

La figura mostra i grafici di $U(t)$ e di $\frac{C(t)}{100}$.

Si vuole progettare una confezione per un'edizione limitata di un profumo di lusso. La confezione deve avere la forma di un cilindro sormontato da una semisfera di vetro. Il volume totale della confezione deve essere esattamente $250 \text{ cm}^3$. Il costo del materiale della base e della superficie laterale cilindrica è $2 \text{ €/cm}^2$, mentre il vetro della semisfera superiore, essendo decorato, costa $5 \text{ €/cm}^2$.

Calcola le dimensioni (raggio $r$ e altezza del cilindro $h$) che deve avere la confezione affinché il costo di produzione sia minimo. (Ricorda che il volume della sfera è $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ e la sua superficie $S = 4\pi r^2$).

Uno studio di mercato per una nuova app di allenamento personalizzato stabilisce che il profitto mensile $B(x)$, in centinaia di euro, dipende dal prezzo dell'abbonamento $x$ (in euro), secondo la funzione:

$B(x) = (x - 5)^2 \cdot \ln(x - 4)$ per $x > 4$.

Calcola il prezzo di abbonamento che massimizza il profitto nell'intervallo $[6, 15]$. Verifica se in tale intervallo esiste qualche punto di flesso che indichi un cambio nella tendenza della crescita dei profitti.

Un drone per le consegne deve spostarsi da un punto di carica $A(0, 4)$ a un magazzino $B(10, 2)$. Per ottimizzare la batteria, il drone deve atterrare in un punto $P(x, 0)$ su una piattaforma di ricarica wireless situata sull'asse delle ascisse e da lì proseguire verso $B$.

La funzione del costo energetico totale è data dalla distanza percorsa: $E(x) = \sqrt{x^2 + 16} + \sqrt{(10-x)^2 + 4}$. Trova la posizione esatta del punto $P$ che minimizza il consumo totale di energia.

Un agricoltore vuole recintare un terreno diviso in tre appezzamenti rettangolari uguali e contigui, come mostrato in figura. Le dimensioni di ciascun appezzamento sono $x$ (larghezza) e $y$ (lunghezza), in metri. L'agricoltore vuole massimizzare l'area totale recintata.

Il costo della recinzione esterna è di $10\ \text{€/m}$, ma la recinzione usata per le due divisioni interne è più leggera e costa solo $4\ \text{€/m}$. Il budget totale per la recinzione è di $1000\ \text{€}$, e l'unico vincolo è questo costo totale disponibile.

Calcola le dimensioni di ciascun appezzamento in modo che l'area totale sia la maggiore possibile.

Si considera la funzione del costo totale di fabbricazione di un componente elettronico $C(x) = \frac{1}{3}x^3 - 6x^2 + 40x + 100$, dove $x$ rappresenta il numero di unità prodotte in migliaia. La funzione dei ricavi dalle vendite è $I(x) = 28x - x^2$.

1. a) Determina l'intervallo di produzione in cui l'azienda ottiene profitti (dove $I(x) > C(x)$).
2. b) Calcola il numero di unità che massimizza il profitto mensile e il valore di tale profitto massimo.
3. c) Per quale valore di $x$ il costo medio per unità, definito come $Q(x) = \frac{C(x)}{x}$, è minimo?

Un centro logistico si trova in un punto strategico in cui l'andamento del traffico giornaliero di camion è modellizzato dalla funzione $T(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 50$, dove $t$ è l'ora del giorno ($0 \leq t \leq 24$).

Calcola a che ora si verificano i massimi e i minimi (relativi e assoluti) del flusso di camion durante la giornata lavorativa. Se la direzione del centro decide di effettuare lavori di manutenzione quando il traffico sta diminuendo più rapidamente (coefficiente angolare minimo), a che ora dovrebbe programmare tali interventi? (Suggerimento: cerca il punto di flesso di $T(t)$).

Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontato da un triangolo equilatero. Il perimetro totale della finestra (compresa la base del triangolo che separa le due parti) è di $12 \text{ metri}$.

Calcola le dimensioni del rettangolo (base $x$ e altezza $y$) in modo che la superficie totale della finestra sia massima e il passaggio di luce sia il maggiore possibile. (Ricorda che l'area di un triangolo equilatero di lato $x$ è $A = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$).

Un'azienda di microelettronica di Napoli deve determinare i parametri del modello di costo totale mensile per un nuovo processore: $C(x) = a x^3 + b x^2 + c x + 54$ (in migliaia di euro), dove $x$ è la quantità prodotta in migliaia di unità ($x > 0$).

Il reparto finanziario impone due condizioni di efficienza:

1. Il costo medio per unità, $CM(x) = \dfrac{C(x)}{x}$, deve raggiungere il suo minimo assoluto a un livello di produzione di $x = 3$ migliaia di unità.

2. In tale ottimo ($x = 3$), il costo medio deve essere esattamente di $35$ migliaia di euro ogni mille unità prodotte ($CM(3) = 35$).

Per trovare i tre coefficienti ($a, b, c$), un analista suggerisce come terza condizione: «Poiché nel minimo del costo medio questo coincide con il costo marginale, imporremo anche che $C'(3) = 35$».

1. a) Dimostra analiticamente perché il suggerimento dell'analista è matematicamente inutile in quanto ridondante: prova che qualsiasi funzione di costo derivabile che soddisfi simultaneamente $CM'(3) = 0$ e $CM(3) = 35$ soddisferà sempre e automaticamente $C'(3) = 35$.
2. b) Per disporre di una condizione realmente indipendente, il reparto di produzione fornisce un dato sperimentale verificato: quando la produzione è di $2000$ unità ($x = 2$), il costo marginale è di $20$ migliaia di euro ogni mille unità ($C'(2) = 20$). Imposta il sistema di equazioni corrispondente e calcola i valori esatti dei parametri $a$, $b$ e $c$.
3. c) Con i parametri ottenuti, verifica mediante la derivata seconda che la funzione del costo medio presenti davvero un minimo in $x = 3$ e controlla se la funzione del costo totale $C(x)$ è strettamente crescente per ogni $x > 0$.

Un operatore ferroviario commercializza un treno charter ad alta velocità con capacità massima di $300$ passeggeri, destinato a gite di fine anno tra Roma e Napoli. La politica tariffaria stabilisce un prezzo base di $80$ € a biglietto per un contingente minimo di $100$ viaggiatori. Per incentivare la prenotazione di gruppi più numerosi, per ogni studente aggiunto oltre $100$ (cioè $x$ studenti aggiuntivi, con $100 + x \le 300$), si scontano $0,20$ € sul prezzo di tutti i biglietti del treno. Tuttavia, per politica di redditività, lo sconto massimo non può superare $35$ € a biglietto (una volta raggiunto tale sconto in $x = 175$, il prezzo resta bloccato a $45$ € per qualsiasi gruppo più numeroso fino a riempire il treno).

Il costo di esercizio sostenuto dalla compagnia consiste in un canone fisso di $3000$ € per tratta più un costo variabile di $12$ € per ogni passeggero a bordo.

1. a) Formula la funzione di profitto netto $B(x)$ in euro definendola come funzione definita a tratti sull'intero dominio $x \in [0, 200]$, distinguendo il tratto con sconto variabile ($0 \le x \le 175$) dal tratto con prezzo bloccato ($175 < x \le 200$).
2. b) Analizza tutti i candidati a ottimo: calcola il punto critico interno nel primo tratto mediante le derivate giustificando se è un massimo locale, studia il comportamento del profitto nel secondo tratto attraverso la sua derivata, e valuta il profitto nei punti di frontiera ($x = 0$, $x = 175$ e $x = 200$).
3. c) Quanti biglietti in totale deve vendere la compagnia per ottenere il profitto netto massimo assoluto e qual è il suo importo? Spiega perché un analista che si limitasse a cercare solo i punti in cui la derivata si annulla ($B'(x) = 0$) prenderebbe una decisione commerciale errata e chiaramente subottimale.

Sfida del tema. Progetta la tariffa ottimale per un servizio giovanile gestito dal comune della tua città.

1. Fase 1: Campionamento e inferenza. Chiedi a $30$ persone del tuo ambiente quanto pagherebbero al mese per un abbonamento culturale/sportivo (tra $5$ e $30$ €). Con i tuoi dati, calcola la media campionaria e determina un intervallo di confidenza al $95\,\%$ per il prezzo medio della popolazione $\mu$.

2. Fase 2: Modellizzazione. Assumi una funzione di domanda lineare $p(x) = \mu - 0,15x$, dove $x$ è il numero di utenti. Imposta la funzione dei ricavi $I(x) = x \cdot p(x)$ e definisci una funzione di profitto $B(x) = I(x) - (40 + 2x)$ con costi fissi e variabili stimati.

3. Fase 3: Ottimizzazione con le derivate. Utilizza GeoGebra o un foglio di calcolo per calcolare la funzione derivata $B'(x)$ e le derivate successive ($B''(x)$). Analizza la monotonia della funzione, individua gli estremi relativi e giustifica se il punto critico ottenuto è un massimo o un minimo relativo.

4. Fase 4: Prodotto finale. Elabora una relazione di una pagina con il grafico di $B(x)$, spiegando quale tariffa massimizza i profitti e come influisce il margine di errore dell'intervallo di confidenza.

Sarà valutato:

• Precisione nel calcolo e nell'interpretazione statistica dell'intervallo di confidenza.

• Applicazione rigorosa delle derivate successive per dedurre monotonia ed estremi relativi.

• Abilità nella rappresentazione e nell'ottimizzazione matematica con GeoGebra o calcolatrice/foglio di calcolo.

• Chiarezza e coerenza socioeconomica della proposta finale.