Esercizi: Monotonia di una funzione

Osserva il seguente grafico che rappresenta l'evoluzione del numero di utenti di una nuova app per smartphone nelle prime 8 ore dal lancio. Individua, semplicemente osservando il disegno, gli intervalli di tempo in cui il numero di utenti è crescente e quelli in cui è decrescente.

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^2 - 6x + 8$, esegui i seguenti passaggi per studiarne la monotonia:

1. Calcola la sua funzione derivata $f'(x)$.

2. Trova il valore di $x$ per il quale la derivata è uguale a zero.

3. Determina il segno della derivata negli intervalli individuati da quel punto e indica in quale di essi la funzione è crescente e in quale è decrescente.

Uno studio di mercato indica che il profitto giornaliero di una piccola azienda tessile (in centinaia di euro) è dato dalla funzione $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, dove $t$ è il tempo in ore dall'apertura. Utilizza la derivata per trovare in quale intervallo di tempo il profitto dell'azienda è in aumento.

Data la funzione $f(x) = 2x^3 - 6x$, vogliamo sapere come si comporta vicino all'origine. Calcola il coefficiente angolare della retta tangente (la derivata) nei punti $x = -2$, $x = 0$ e $x = 2$. Basandoti unicamente sul segno di questi risultati, indica se la funzione è crescente o decrescente in ciascuno di quei punti.

Considera la funzione $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 5$.

1. Calcola $f'(x)$.

2. Risolvi l'equazione $f'(x) = 0$ per trovare i punti critici.

3. Rappresenta i punti sulla retta reale e studia il segno della derivata per scrivere gli intervalli di crescenza e decrescenza.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sappiamo che una funzione $g(x)$ ha come derivata $g'(x) = x - 4$. Senza bisogno di conoscere l'espressione di $g(x)$, determina per quali valori di $x$ la funzione originale $g(x)$ è crescente e per quali è decrescente. Giustifica la tua risposta utilizzando il concetto di derivata.

Verifica se la funzione lineare $f(x) = 5x - 3$ è sempre crescente in tutto il suo dominio. Per farlo, calcola la sua derivata e spiega che relazione ha il risultato ottenuto con il coefficiente angolare della retta.

L'altezza di un pallone da basket (in metri) quando viene lanciato è modellata dalla funzione $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, dove $t$ è il tempo in secondi.

1. Calcola la velocità istantanea del pallone derivando la funzione altezza.

2. Determina l'intervallo di tempo in cui il pallone sta salendo (crescenza della funzione altezza).

In una cooperativa olearia della Puglia, il profitto netto mensile $B(x)$, espresso in migliaia di euro, dipende dalla quantità $x$ di migliaia di litri di olio extravergine prodotti e imbottigliati ($x \in [0, 8]$), secondo il modello:

Marco, uno dei soci, espone in assemblea quanto segue:

«Ho calcolato che il profitto è zero per $x = 3$ e per $x = 7$. Poiché tra $3$ e $7$ il profitto è positivo (ad esempio, per $x = 5$ guadagniamo $4$ mila euro), affermo che finché produciamo tra $3$ e $7$ migliaia di litri l'azienda è in una fase di crescita dei suoi guadagni».

a) [ERRORE ALTRUI] Indica con precisione l'errore di ragionamento che commette Marco confondendo il segno del profitto con il segno della sua derivata prima (monotonia).

b) Correggi la sua analisi calcolando $B'(x)$ e deducendo l'intervallo reale in cui il profitto è strettamente crescente e quello in cui è decrescente.

Un servizio meteorologico registra la temperatura $T(t)$, in gradi Celsius, in una stazione della provincia di Belluno durante le ore diurne di una giornata invernale serena ($t$ rappresenta l'ora solare, con $t \in [8, 18]$). La registrazione è descritta dalla funzione:

a) [STIMA E VERIFICA] Prima di fare qualsiasi calcolo matematico, effettua una stima ragionata basata sull'esperienza quotidiana: ti aspetti che la temperatura stia aumentando o diminuendo alle $10:00$ del mattino ($t = 10$)? E alle $17:00$ del pomeriggio ($t = 17$)? Giustifica brevemente la tua intuizione fisica.

b) Verifica analiticamente la tua previsione: calcola la funzione derivata $T'(t)$, valuta il suo segno in $t = 10$ e in $t = 17$, e interpreta il significato ambientale dei segni ottenuti indicando se confermano la tua stima iniziale.

Un'azienda di servizi di streaming ha rilevato che il numero di nuovi abbonati giornalieri, in migliaia, segue la funzione $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi dall'inizio di una campagna pubblicitaria ($0 \leq t \leq 15$).

a) Determina gli intervalli di tempo in cui la crescita dei nuovi abbonati è positiva (la funzione è crescente).

b) A partire da quale mese la tendenza cambia e il numero di nuovi abbonati giornalieri inizia a diminuire? Giustifica la risposta mediante lo studio della derivata prima.

Studia la monotonia della funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Questo tipo di funzioni modella spesso il costo medio di produzione nelle scienze sociali. Indica in modo motivato gli intervalli in cui il costo medio sta diminuendo e quelli in cui sta aumentando, tenendo conto che in questo contesto hanno senso solo i valori di $x > 0$.

In figura vedi il grafico di $f$ per $x > 0$; puoi usarlo per verificare il tuo risultato.

Data la funzione $f(x) = x^3 + kx^2 + 15x + 2$, calcola i valori del parametro $k$ affinché la funzione sia strettamente crescente in tutto il dominio dei numeri reali.

Uno studio sociologico analizza l'interesse degli adolescenti per una nuova tendenza sui social network. La percentuale della popolazione che segue la tendenza è data dalla funzione $P(t) = \dfrac{50t}{t^2 + 4}$, dove $t$ è il tempo in settimane ($t \geq 0$).

Determina in quali periodi di tempo la tendenza è in auge (crescita) e quando inizia a perdere interesse tra i giovani (decrescita).

Di seguito è mostrato il grafico della funzione derivata $f'(x)$ di una funzione polinomiale $f(x)$. A partire dall'osservazione del grafico della derivata, indica gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione originale $f(x)$.

Sia la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(x+1) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Studia la monotonia della funzione in tutto il suo dominio. Esiste qualche punto in cui la funzione passa da crescente a decrescente o viceversa? Giustifica se in $x=0$ c'è un cambio nel comportamento della funzione.

L'utile di una startup tecnologica, in centinaia di migliaia di euro, è modellizzato dalla funzione $B(x) = (x-2) \cdot e^{0,5x}$, dove $x$ è il numero di anni dalla sua fondazione ($x \geq 0$).

Studia gli intervalli di crescenza e decrescenza dell'utile. Per quanto tempo l'azienda ha ottenuto utili decrescenti (o perdite crescenti) prima di iniziare a migliorare la propria situazione finanziaria in modo duraturo? Se tale fase non c'è stata, giustificalo.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2 + 3}$, determina i suoi intervalli di crescenza e decrescenza. A partire da questo studio, indica se la funzione presenta qualche massimo o minimo relativo, specificando il valore di $x$ in cui si trovano.

Un'azienda di corrieri espressi che consegna nell'area metropolitana di Napoli stima che il costo medio operativo per pacco, $C(x)$ (in euro), distribuendo $x$ centinaia di pacchi al giorno ($x \in [1, 8]$), risponda alla formula:

Per determinare il tratto di attività in cui il costo per pacco diminuisce e da quale volume inizia ad aumentare per saturazione logistica, due analisti discutono quale procedimento seguire:

• Chiara propone di valutare il costo medio in vari valori interi ($x = 2$, $x = 4$, $x = 6$) e di dedurre l'andamento da quei risultati numerici concreti.

• Roberto propone di calcolare la derivata $C'(x)$, trovarne gli zeri nell'intervallo $[1, 8]$ e dedurre la monotonia analizzando il segno della derivata in ciascun tratto.

a) [SCEGLI IL METODO] Confronta criticamente i due metodi. Spiega perché il metodo di Chiara può essere fuorviante o insufficiente a garantire il comportamento globale della funzione e giustifica perché il metodo di Roberto è quello adeguato dal punto di vista matematico.

b) Applica il metodo di Roberto: ottieni $C'(x)$, scomponi in fattori il suo numeratore, studia il segno della derivata in $[1, 8]$ e determina in modo motivato gli intervalli di decrescenza e crescenza del costo medio.

L'Istituto di Statistica pubblica dati sull'occupazione alberghiera sulla Riviera Romagnola. Il numero di pernottamenti mensili, $P(t)$ (in migliaia), nel corso di un anno solare ($t \in [1, 12]$, dove $t = 1$ rappresenta gennaio e $t = 12$ dicembre), è approssimato dalla funzione:

a) [MODELLIZZA] Studia la monotonia di $P(t)$: calcola la derivata prima, determina i suoi punti di annullamento all'interno dell'anno e individua i mesi esatti in cui il turismo alberghiero è in fase di crescita e quelli in cui sta diminuendo.

b) Calcola i valori numerici di $P'(5)$ e $P'(10)$. Interpreta entrambi i risultati nel contesto turistico reale, spiegando la differenza tra il ritmo di variazione a maggio ($t = 5$) e a ottobre ($t = 10$), nonché la situazione strategica del settore nel mese in cui $P'(t) = 0$.

Una casa di produzione studia l'evoluzione del pubblico di un documentario appena uscito. Il numero di spettatori settimanali, in migliaia, segue la funzione $R(t) = (t^2 + at + 10) \cdot e^{-0,5t}$, dove $t$ è il tempo in settimane dall'uscita ($t \ge 0$). Determina il valore del parametro $a \in \mathbb{R}$ affinché il pubblico sia strettamente decrescente durante le prime dodici settimane (intervallo $[0, 12]$) e descrivi come il segno di tale parametro influisce sulla "velocità" con cui cala il pubblico.

Il grafico seguente rappresenta la funzione derivata $f'(x)$ di una funzione continua $f(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$. A partire dall'osservazione del grafico della derivata, svolgi uno studio completo della monotonia della funzione originale $f(x)$, indicando i suoi intervalli di crescenza, decrescenza e le ascisse in cui si raggiungono i suoi massimi e minimi relativi. Giustifica se è possibile che la funzione $f(x)$ sia un polinomio di terzo grado basandoti sul numero di cambi di monotonia.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda di corrieri ha determinato che il costo operativo giornaliero della sua flotta di veicoli elettrici dipende dalla velocità media $v$ (in km/h) secondo la funzione $C(v) = \frac{2v^2 + 450}{v-10}$ per velocità superiori a $10 \text{ km/h}$.

1. a) Studia la monotonia della funzione di costo e indica a partire da quale velocità il costo inizia a essere inefficiente (quando il costo torna a crescere).
2. b) Se per le norme del codice della strada la velocità media deve essere compresa nell'intervallo $[20, 60]$, determina gli intervalli di crescenza e decrescenza all'interno di tale dominio ristretto.

Si consideri la funzione dipendente da due parametri $a$ e $b$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile nel punto $x = 1$. Una volta ottenuti, studia la monotonia della funzione risultante in tutto il suo dominio $\mathbb{R}$. La funzione presenta qualche cambio di monotonia nel punto di raccordo dei due rami? Giustifica la tua risposta utilizzando le derivate laterali.

Il numero di utenti attivi di un social network giovanile nelle prime 24 ore dopo il lancio di una challenge virale è dato dalla funzione $U(t) = \frac{100t^2}{t^3 + 16}$, dove $t$ è il tempo in ore.

1. a) Determina gli intervalli di tempo in cui la challenge sta guadagnando popolarità e quelli in cui sta perdendo interesse.
2. b) Trova l'istante esatto in cui la crescita di utenti è massima (cioè quando la velocità di crescita $U'(t)$ raggiunge il suo valore massimo). Suggerimento: studia la monotonia della funzione derivata.

Data la funzione $f(x) = \frac{e^x}{x^2 - k}$, studia la sua monotonia in funzione dei valori del parametro reale $k$. In particolare, dimostra che se $-1 < k < 0$, la funzione ha un unico intervallo di decrescenza. Per il caso $k = 4$, determina tutti gli intervalli di crescenza e decrescenza, tenendo conto delle discontinuità della funzione.

Uno studio sociologico analizza il livello di "stress collettivo" $S$ in una città durante un evento che dura 8 ore. La funzione che lo modella è $S(t) = |t^2 - 6t + 5| + 2t$, con $t \in [0, 8]$.

1. a) Esprimi la funzione $S(t)$ come funzione definita a tratti.
2. b) Studia gli intervalli di crescenza e decrescenza del livello di stress.
3. c) Individua i punti in cui la funzione non è derivabile e spiega se in qualcuno di essi si verifica un cambio di monotonia della funzione.

Sia la funzione $f(x) = x^2 - \ln(x^2 - 1)$.

1. a) Determina il dominio di definizione della funzione.
2. b) Studia la monotonia della funzione, indicando chiaramente gli intervalli di crescenza e decrescenza.
3. c) Dimostra in modo motivato che la funzione è sempre crescente per qualsiasi valore di $x$ maggiore di $\sqrt{2}$. Che cosa accade nell'intervallo $(1, \sqrt{2})$? Spiega il comportamento della funzione in prossimità dei suoi asintoti verticali in relazione alla sua monotonia.

Una società di consulenza finanziaria elabora un modello di utile netto $B(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ (in migliaia di euro) per un'azienda veneta di componenti tecnologici, in funzione del volume di produzione $x$ (in migliaia di unità, con $x \ge 0$). La direzione richiede che il modello soddisfi tre condizioni simultanee:

1. L'utile marginale sia nullo esattamente quando si producono $2$ migliaia di unità e quando si producono $6$ migliaia di unità.

2. La funzione di utile sia strettamente decrescente nell'intervallo $(2, 6)$ a causa di costi straordinari di magazzino, e strettamente crescente in $[0, 2)$ e in $(6, +\infty)$.

3. Per un livello di produzione di $x = 1$ mila unità, l'utile marginale sia di $15$ migliaia di euro per ogni mille unità aggiuntive prodotte ($B'(1) = 15$).

a) [PROBLEMA INVERSO] Traduci in modo motivato ciascuna delle condizioni nel linguaggio delle derivate e imposta il sistema necessario per trovare i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$. Dimostra che la funzione ottenuta rispetta in modo stretto gli intervalli di crescenza e decrescenza richiesti.

b) Il direttore delle operazioni afferma: «Dato che l'azienda torna a essere in crescita per qualsiasi produzione superiore a $6$ migliaia di unità, in $x = 7$ guadagneremo con assoluta certezza più utile totale che in qualsiasi punto del tratto di calo $(2, 6)$». Confuta o conferma la sua affermazione calcolando $B(3)$ e $B(7)$, e argomenta perché la monotonia descrive la direzione della variazione locale e non il valore assoluto dell'utile.

Il Ministero studia la fattibilità di un piano pilota contro lo spopolamento in un territorio rurale. L'indice di dinamismo socioeconomico $I(t)$ nel tempo ($t \ge 0$, misurato in anni dall'inizio del piano) risponde al modello:

dove $k \ge 0$ è un parametro che misura l'intensità di bilancio degli aiuti pubblici destinati al territorio.

a) [MODELLIZZA] Dimostra formalmente che se non vengono stanziati fondi ($k = 0$), la funzione derivata $I'(t)$ è negativa per ogni $t > 0$. Concludi e giustifica che cosa accadrà al dinamismo del territorio in assenza di investimenti.

b) Mediante il calcolo della derivata generale $I'(t)$, analizza il valore di $I'(0)$ per qualsiasi livello di investimento $k > 0$. Basandoti sulla continuità delle funzioni derivate, ragiona sul perché è garantito che, con qualsiasi $k > 0$, esisterà sempre un periodo iniziale di rilancio (crescita).

c) Se viene approvato uno stanziamento economico che fissa il parametro a $k = 3$, risolvi l'equazione $I'(t) = 0$, determina gli intervalli di crescenza e decrescenza dell'indice in $[0, +\infty)$ e spiega in quale anno esatto raggiungerà il suo massimo impatto positivo prima di iniziare a perdere dinamismo.