Esercizi: Funzione derivata. Derivate successive

Data la funzione $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, svolgi le seguenti attività:

1. a) Calcola la funzione derivata $f'(x)$ applicando le regole di derivazione.

1. b) Trova il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f(x)$ nel punto di ascissa $x = 2$.

1. c) Determina l'equazione della retta tangente in tale punto.

Un'azienda che produce cover per cellulari ha stabilito che il costo totale (in euro) di produzione di $x$ unità è dato dalla funzione:

Calcola la funzione di costo marginale, $C'(x)$, e determina il costo approssimato di produzione della ventunesima unità (cioè calcola $C'(20)$).

Calcola le prime tre derivate della funzione polinomiale $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una volta ottenute, verifica se vale $f'''(1) = 18$.

La posizione di un drone per le consegne rispetto alla sua base di decollo segue la funzione $s(t) = t^2 + 4t$, dove $s$ è la distanza in metri e $t$ il tempo in secondi.

1. Determina la funzione della velocità istantanea, $v(t)$, sapendo che è la derivata prima della posizione.

2. Determina la funzione dell'accelerazione, $a(t)$, sapendo che è la derivata seconda della posizione.

3. Che velocità ha il drone dopo 5 secondi di volo?

Trova i punti del grafico della funzione $f(x) = x^3 - 12x + 1$ in cui la retta tangente è orizzontale.

Suggerimento: una retta è orizzontale quando il suo coefficiente angolare è uguale a $0$.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2}{2} + 4\sqrt{x}$, calcola la sua funzione derivata $f'(x)$. Una volta calcolata, trova il valore di $f'(4)$.

Si sa che la derivata di una funzione in un punto coincide con il coefficiente angolare della retta tangente. Se la retta tangente alla funzione $g(x)$ nel punto $x = 3$ è $y = 4x - 5$, ragiona su quanto valgono $g(3)$ e $g'(3)$.

Verifica che la derivata quarta della funzione $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + x^2$ è uguale a zero per qualsiasi valore di $x$. Che grado deve avere come minimo un polinomio perché la sua derivata quarta non sia nulla?

Marco gestisce un laboratorio artigianale di calzature a Vigevano. La funzione che descrive il costo totale giornaliero (in euro) di fabbricazione di $x$ paia di scarpe è $C(x) = 200 + 15x + 0,05x^2$. Con l'obiettivo di preventivare un aumento del personale, Marco vuole sapere quanto costerà approssimativamente produrre il cinquantunesimo paio. Per farlo, esegue il seguente calcolo:

e conclude: «Fabbricare il paio 51 ci costerà esattamente 20,10 euro, poiché per definizione il costo marginale $C'(51)$ equivale alla differenza $C(51) - C(50)$».

1. a) Spiega i due errori concettuali commessi da Marco: uno riguardo al punto in cui deve essere valutata la funzione marginale per stimare l'effetto della cinquantunesima unità, e un altro sulla parola «esattamente».
2. b) Correggi il calcolo: valuta la funzione di costo marginale nel valore di $x$ adeguato e interpreta il risultato ottenuto.
3. c) Calcola il costo reale esatto di produzione di tale unità aggiuntiva mediante la differenza $C(51) - C(50)$ e confrontalo con la stima marginale del punto precedente. È una buona approssimazione?

La temperatura $T(t)$ (in gradi Celsius) registrata da una stazione meteorologica a Bologna durante una calda giornata estiva, dalle 8:00 ($t=0$) alle 20:00 ($t=12$), è modellizzata dalla funzione:

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo analitico, osserva la funzione (una parabola con concavità rivolta verso il basso e vertice in $t=7,5$, cioè alle 15:30). Stima in modo motivato se il ritmo di riscaldamento alle 10:00 ($t=2$) sarà maggiore o minore che alle 14:00 ($t=6$), e se la derivata $T'(2)$ dovrebbe essere positiva o negativa.
2. b) Calcola la funzione derivata prima $T'(t)$ e valutala in $t=2$ e in $t=6$. Verifica se i valori ottenuti confermano la tua stima precedente e interpreta il significato dei loro segni e delle loro unità di misura.
3. c) Trova la funzione derivata seconda $T''(t)$. Interpreta il suo valore costante e spiega quali informazioni fornisce su come evolve la velocità di riscaldamento dell'aria nel corso delle ore diurne.

Data la funzione polinomiale $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, svolgi le seguenti operazioni:

1. a) Calcola la funzione derivata prima $f'(x)$ e la funzione derivata seconda $f''(x)$.
2. b) Determina i valori di $x$ per i quali la derivata seconda si annulla ($f''(x) = 0$).
3. c) Calcola la derivata di ordine superiore $f^{(5)}(x)$ e giustifica il risultato ottenuto senza dover eseguire tutti i passaggi intermedi.

Un'azienda di corrieri ha verificato che il costo totale di consegna (in centinaia di euro) segue la funzione $C(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, dove $x$ è il numero di migliaia di pacchi spediti.

1. a) Determina la funzione del costo marginale, cioè la derivata del costo $C'(x)$.
2. b) Calcola il ritmo al quale cresce il costo quando si stanno spedendo $4000$ pacchi ($x=4$).
3. c) Calcola la derivata seconda $C''(x)$ semplificando l'espressione al massimo.

Si sa che la funzione $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x$ ha una derivata seconda che si annulla in $x = 2$. Inoltre, si sa che il valore della derivata prima nel punto $x = 1$ è uguale a $6$. Calcola i valori dei parametri reali $a$ e $b$.

Data la funzione $g(x) = e^{2x} \cdot (x^2 - 1)$, dimostra che vale la seguente relazione tra la funzione e le sue derivate successive per qualsiasi valore di $x$:

Il numero di follower di un "influencer" su un social network cresce secondo la funzione $S(t) = \frac{50t}{t+2}$, dove $t$ è il tempo in mesi dall'apertura del suo account e $S(t)$ si misura in migliaia di follower.

1. a) Determina la funzione derivata $S'(t)$, che rappresenta la velocità di crescita della comunità.
2. b) A quale ritmo sta guadagnando follower esattamente alla fine del quarto mese?
3. c) Studia il segno della derivata seconda $S''(t)$ per $t > 0$ e spiega che cosa significa questo risultato in termini di crescita dell'account (cresce sempre più velocemente o sempre più lentamente?).

Trova i valori di $k$ e $p$ affinché la funzione $f(x)$ sia derivabile in tutto il suo dominio (in particolare nel punto di raccordo $x = 0$):

Una volta trovati, calcola il valore di $f''(1)$.

Data la funzione $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, il cui grafico è mostrato in figura, calcola:

1. a) Il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 1$.

1. b) L'equazione della funzione derivata seconda $h''(x)$.

1. c) I punti del grafico in cui la derivata seconda è uguale a zero.

Sia la funzione $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

1. a) Calcola $f'(x)$, $f''(x)$ e $f'''(x)$.
2. b) Osservando i risultati precedenti, prova a dedurre un'espressione generale per la derivata $n$-esima $f^{(n)}(x)$.

(Suggerimento: osserva come evolvono l'esponente del denominatore e il segno della frazione).

Per calcolare le derivate successive della funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x^3 - 4x^2 + 6x}{2x}$, due studenti di quinto liceo propongono strade diverse:

• Irene propone di applicare direttamente la regola di derivazione del quoziente per ottenere $f'(x)$, e di applicare di nuovo la regola del quoziente al risultato per trovare $f''(x)$.

• Luca sostiene che sia molto più rapido e sicuro semplificare l'espressione dividendo ogni addendo del numeratore per il denominatore prima di iniziare a derivare.

1. a) Confronta i due metodi e giustifica quale sia più conveniente. Specifica il dominio di definizione di $f(x)$ e chiarisci se la semplificazione di Luca è valida per tutti i punti di tale dominio.
2. b) Utilizzando il metodo più efficiente, calcola le espressioni semplificate della funzione derivata $f'(x)$, della derivata seconda $f''(x)$ e della derivata terza $f'''(x)$.
3. c) A partire dai risultati ottenuti, deduci in modo motivato il valore della derivata di ordine dieci, $f^{(10)}(x)$, per qualsiasi punto del dominio, giustificando la tua conclusione a partire dal grado della funzione senza eseguire i calcoli intermedi.

Una compagnia di telecomunicazioni opera in Italia offrendo un pacchetto mensile di fibra e mobile. Il reparto di analisi stima che, fissando un canone mensile di $p$ euro ($p \in [10, 60]$), il numero di abbonati in migliaia sia dato dalla funzione di domanda $q(p) = 60 - 0,8p$. I costi fissi mensili dell'infrastruttura sono di $150$ migliaia di euro e il costo variabile di assistenza e servizio è di $10$ euro al mese per ogni cliente abbonato (cioè $10$ migliaia di euro per ogni migliaio di clienti).

1. a) Scrivi l'espressione analitica della funzione dei ricavi $I(p)$ e della funzione dei costi totali $C(p)$, entrambe in migliaia di euro e in funzione del solo prezzo $p$. A partire da esse, ottieni la funzione di profitto mensile $B(p) = I(p) - C(p)$.
2. b) Calcola la funzione di profitto marginale rispetto al prezzo, $B'(p)$, e la funzione derivata seconda $B''(p)$.
3. c) Interpreta il segno costante di $B''(p)$ in termini economici: il profitto aumenta a un ritmo sempre maggiore o sempre minore man mano che la tariffa aumenta?
4. d) Determina il prezzo $p$ per cui il profitto marginale si annulla ($B'(p) = 0$). Spiega che cosa accade al profitto complessivo dell'azienda se si decide di fissare un canone inferiore o superiore a tale prezzo.

Determina l'espressione generale della derivata $n$-esima della funzione razionale $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$, definita per $x \neq \dfrac{2}{3}$. A tal fine, calcola le prime quattro derivate successive, individua lo schema ricorrente e usa la notazione del fattoriale $n!$ e delle potenze per scrivere $f^{(n)}(x)$.

Un'azienda di sviluppo di applicazioni mobili ha verificato che il numero di utenti attivi del suo nuovo gioco, misurato in migliaia, segue la funzione $U(t) = t^2 \cdot e^{-0,5t}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio. Il grafico della funzione è il seguente:

L'"accelerazione" nell'acquisizione di utenti è data dalla derivata seconda della funzione, $U''(t)$.

1. a) Calcola la funzione derivata seconda $U''(t)$.

1. b) Determina in quali momenti (mesi) l'accelerazione è nulla (punti di flesso della crescita).

Data la funzione $f(x) = a \cdot \ln(x) + b \cdot x^2 + x$, calcola i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione derivata prima si annulla in $x = 1$, cioè $f'(1) = 0$, e che la derivata seconda nello stesso punto vale $f''(1) = 5$. Una volta trovati $a$ e $b$, scrivi l'espressione della derivata terza $f'''(x)$.

Nell'analisi degli algoritmi informatici, si studia la complessità di una funzione di costo definita da $C(x) = x^x$ per $x > 0$. Utilizza la tecnica della derivazione logaritmica per trovare la funzione derivata $C'(x)$. Successivamente, calcola la derivata seconda $C''(x)$ e verifica se esiste qualche valore di $x$ per cui la derivata della pendenza è nulla.

Considera la funzione esponenziale composta $g(x) = e^{x^2 - 4x}$. Determina le funzioni derivate successive $g'(x)$ e $g''(x)$. Trova i punti del grafico in cui la funzione originale e la sua derivata seconda assumono lo stesso valore, cioè risolvi l'equazione $g(x) = g''(x)$.

Un sociologo studia la propagazione di una voce su un social network mediante la funzione $P(t) = \dfrac{100}{1 + 9e^{-t}}$, dove $P$ è la percentuale della popolazione che conosce la voce e $t$ è il tempo in giorni.

Dimostra che la velocità di propagazione (la derivata prima $P'(t)$) è massima quando la derivata seconda è nulla ($P''(t) = 0$). Calcola tale istante $t$ esatto utilizzando i logaritmi naturali.

Calcola il valore dei parametri $k$ e $p$ affinché la funzione $f(x) = \sin(kx) + e^{px}$ soddisfi simultaneamente le seguenti condizioni:

1. La sua derivata prima nell'origine è nulla: $f'(0) = 0$.

2. La sua derivata seconda nell'origine è uguale a 2: $f''(0) = 2$.

Giustifica se i valori ottenuti sono unici o se esistono più combinazioni.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + k}$, dove $k$ è una costante positiva, dimostra che vale la relazione:

A tal fine, ottieni prima la funzione derivata $f'(x)$, semplificala e poi calcola la derivata seconda $f''(x)$. Sostituisci entrambe nell'espressione a sinistra per verificare l'uguaglianza.

Un gruppo di consulenza finanziaria deve determinare la funzione di costo totale $C(x)$ (in euro) di una fabbrica di componenti per veicoli elettrici a Melfi, dove $x$ rappresenta il numero di unità prodotte giornalmente. Si sa che l'andamento dei costi risponde a un polinomio di terzo grado della forma $C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, e che si verificano simultaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Mantenere lo stabilimento aperto senza produrre alcuna unità ($x=0$) genera costi fissi giornalieri di $1200$ euro.

2. Raggiunta una produzione di $10$ unità al giorno, il costo marginale è di $40$ euro per unità.

3. La derivata seconda del costo si annulla esattamente per un volume di produzione di $x = 20$ unità ($C''(20) = 0$), punto a partire dal quale la crescita dei costi smette di rallentare e inizia ad accelerare.

4. Per quello stesso livello di $20$ unità giornaliere, il costo marginale raggiunge il suo valore minimo assoluto, che è di $10$ euro per unità.

1. a) Traduci ciascuna delle quattro condizioni in un'equazione che coinvolga $C(x)$, $C'(x)$ o $C''(x)$.
2. b) Imposta e risolvi il sistema risultante per determinare i valori numerici dei parametri $a$, $b$, $c$ e $d$.
3. c) Una volta ottenuta la funzione $C'(x)$, dimostra algebricamente che il costo marginale $C'(x)$ è strettamente positivo per qualsiasi livello di produzione $x \ge 0$. Quale implicazione economica reale ha questo fatto per la fabbrica?

Per studiare l'impatto di una campagna di sensibilizzazione del Ministero dei Trasporti sui social network, si modellizza la proporzione di giovani conducenti raggiunti mediante la funzione $f(t) = \dfrac{t}{t+2}$, dove $t \ge 0$ è il tempo trascorso in settimane.

Per prevedere il comportamento a lungo termine delle successive accelerazioni della diffusione, due analisti cercano di dedurre la formula generale della derivata $n$-esima, $f^{(n)}(t)$:

• Lucia propone la formula: $f^{(n)}(t) = \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot 2 \cdot n!}{(t+2)^{n+1}}$, per ogni $n \ge 1$.

• Sergio sostiene che la formula corretta è: $f^{(n)}(t) = \dfrac{(-1)^n \cdot n!}{(t+2)^{n+1}}$, per ogni $n \ge 1$.

1. a) Verifica che $f(t)$ si può riscrivere algebricamente come $f(t) = 1 - \dfrac{2}{t+2}$. Giustifica perché usare questa espressione semplifica notevolmente il calcolo delle derivate successive rispetto al derivare ripetutamente come quoziente.
2. b) Calcola in sequenza le prime quattro funzioni derivate: $f'(t)$, $f''(t)$, $f'''(t)$ e $f^{(4)}(t)$, esprimendo ciascuna come un'unica frazione senza esponenti negativi.
3. c) Analizza con rigore chi ha ragione tra Lucia e Sergio. A tal fine, esamina in dettaglio i tre schemi che intervengono nella derivata $n$-esima: la regola dell'alternanza dei segni, il coefficiente numerico (e la comparsa del fattoriale $n!$) e l'esponente del denominatore. Indica con precisione gli errori commessi da chi sbaglia.
4. d) A partire dalla derivata seconda $f''(t)$, determina il suo segno per qualsiasi istante $t > 0$ e interpreta il risultato nel contesto della campagna: il ritmo con cui si aggiungono nuovi conducenti informati sta accelerando o rallentando con il passare delle settimane?