Esercizi: Estremi relativi

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ che rappresenta l'evoluzione del numero di utenti attivi in una nuova app per smartphone durante le prime 8 ore della mattina. Individua le coordinate $(x, y)$ dei massimi e minimi relativi che compaiono nel disegno.

Data la funzione di profitto di una piccola azienda tessile, definita da $B(x) = -x^2 + 10x - 16$, dove $x$ è il numero di capi prodotti (in centinaia):

1. Calcola la funzione derivata $B'(x)$.

2. Trova il valore di $x$ che annulla la derivata (punto critico).

3. Determina se tale punto corrisponde a un massimo o a un minimo relativo.

Un "influencer" ha verificato che il numero di "like" dei suoi post segue la funzione $L(t) = t^3 - 3t^2 + 4$, dove $t$ è il tempo in ore dalla pubblicazione ($0 \le t \le 3$).

Calcola i punti critici della funzione in tale intervallo risolvendo l'equazione $L'(t) = 0$.

Classifica gli estremi relativi della funzione $f(x) = x^2 - 6x + 8$ utilizzando il criterio della derivata seconda. Per farlo:

1. Trova $f'(x)$ e cerca il valore di $x$ tale che $f'(x) = 0$.

2. Trova $f''(x)$ e verifica il suo segno nel valore ottenuto in precedenza.

Dato il seguente grafico della funzione derivata $f'(x)$ (una retta), indica per quali valori di $x$ la funzione originale $f(x)$ ha un massimo o un minimo relativo. Giustifica la tua risposta basandoti sul cambio di segno della derivata.

Trova gli estremi relativi della funzione polinomiale $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + 5$. Indica le coordinate complete $(x, y)$ di ciascun estremo individuato.

Si sa che una funzione $f(x)$ ha un punto critico in $x = 3$. Se la derivata seconda è $f''(x) = 2x - 10$, utilizza il valore di $f''(3)$ per determinare se in $x = 3$ c'è un massimo relativo o un minimo relativo.

La funzione $C(x) = 2x^2 - 8x + 20$ descrive i costi di manutenzione di un server web in funzione del carico di lavoro $x$.

Rappresenta schematicamente la parabola e trova il valore di $x$ che minimizza il costo.

ERRORE ALTRUI. Matteo sta analizzando la redditività di una piccola impresa familiare e nella sua relazione afferma quanto segue:

«Per la funzione di costo unitario $C(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 10$ (in euro, dove $x$ è il numero di lotti prodotti), ho calcolato $C'(x) = 3x^2 - 12x + 12$. Risolvendo $C'(x) = 0$, ottengo un'unica soluzione in $x = 2$. Poiché la derivata si annulla, in $x = 2$ c'è necessariamente un estremo relativo. Inoltre, calcolando la derivata seconda ottengo $C''(2) = 0$, il che conferma che non è un massimo, quindi deve essere un minimo relativo».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Matteo nella sua argomentazione teorica.
2. b) Correggi l'analisi: studia il segno di $C'(x)$ a sinistra e a destra di $x = 2$ e determina con ragionamento che cosa accade realmente in tale punto di produzione.

SCEGLI IL METODO. Un'azienda di commercio elettronico stima che i ricavi netti giornalieri derivanti da una campagna pubblicitaria siano dati dalla funzione $I(x) = -x^4 + 4x^3$ (in centinaia di euro), dove $x$ rappresenta l'investimento pubblicitario giornaliero (in centinaia di euro, con $x \ge 0$).

1. a) Trova i due punti critici della funzione $I(x)$ ponendo la sua derivata prima uguale a zero.
2. b) Prova a classificare entrambi i punti utilizzando il criterio della derivata seconda. Che cosa accade in ciascuno di essi? Questo criterio permette di classificare entrambi i punti o risulta inconcludente in qualcuno?
3. c) Applica il criterio del cambio di segno della derivata prima per studiare il comportamento attorno ai punti critici. A partire dai risultati, confronta i due metodi: spiega quale sia stato più efficace in questo caso concreto e concludi che tipo di punto (massimo relativo, minimo relativo o nessuno dei due) rappresenta ciascuno.

Un creatore di contenuti ha analizzato l'evoluzione delle visualizzazioni dei suoi video durante le prime 10 ore dopo la pubblicazione. La funzione che descrive il numero di visualizzazioni cumulate (in migliaia) è data da $V(t) = -t^3 + 12t^2 + 60t$, dove $t$ è il tempo in ore, con $t \in [0, 10]$.

Calcola in quale momento il numero di visualizzazioni cresce più rapidamente. Per farlo, trova il valore di $t$ che massimizza la funzione del ritmo di crescita $V'(t)$ e determina gli estremi relativi della funzione originale $V(t)$ in tale intervallo.

Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione polinomiale $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x + 4$ abbia un massimo relativo nel punto $P(1, 8)$. Una volta trovati i valori, verifica mediante la derivata seconda se si tratta davvero di un massimo o di un minimo.

Il grafico seguente corrisponde alla funzione derivata $f'(x)$ di una funzione continua $f(x)$. A partire dalle informazioni visive, individua con ragionamento le ascisse dei punti in cui la funzione originale $f(x)$ presenta i suoi massimi e minimi relativi. Spiega quale criterio utilizzi per distinguere tra un massimo e un minimo a partire dal segno di $f'(x)$.

Un'azienda di corrieri ha stabilito che il costo medio di consegna di un pacco dipende dalla distanza $x$ (in km) dal centro di distribuzione secondo la funzione:

$C(x) = \dfrac{2x^2 + 32}{x}$ per $x > 0$.

Trova la distanza $x$ a cui il costo di consegna è minimo. Giustifica che il valore ottenuto è effettivamente un minimo relativo utilizzando il criterio della derivata prima o seconda.

L'efficacia di un nuovo farmaco per lo studio della memoria negli adolescenti si misura su una scala da 0 a 20. Dopo l'assunzione, l'efficacia $E$ dopo $t$ ore è data dalla funzione esponenziale:

$E(t) = 10t \cdot e^{-0,2t}$ per $t \ge 0$.

Determina l'istante $t$ in cui il farmaco raggiunge la sua massima efficacia. Indica il valore di tale efficacia massima e conferma se è un estremo relativo.

Sia la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Studia la crescita e la decrescita della funzione e individua i suoi estremi relativi. Questa funzione ha qualche punto in cui la derivata si annulla ma che non è né di massimo né di minimo? Motiva la tua risposta.

Si considera la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{3}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Studia la continuità e la derivabilità in $x = 0$. Sulla base dello studio precedente e del calcolo della derivata in ciascun tratto, determina se la funzione presenta un massimo o un minimo relativo in $x = 0$.

Un reparto marketing stima che i profitti mensili di una campagna pubblicitaria (in euro) seguano la funzione $B(x) = -x^3 + 15x^2 + 600x - 1000$, dove $x$ è il numero di canali di diffusione utilizzati ($x \in [1, 30]$).

Trova il numero di canali che massimizza il profitto mensile. Distingui tra gli estremi relativi che si trovano all'interno dell'intervallo e i valori che la funzione assume agli estremi del dominio, per assicurare il massimo assoluto.

STIMA E VERIFICA. Nel mercato elettrico regolato in Italia, il grande apporto della generazione solare fotovoltaica tende a ridurre il prezzo orario dell'elettricità nelle ore centrali del pomeriggio (di solito tra le 14:00 e le 18:00), prima che il prezzo torni a salire con il calare della sera. Un analista modellizza il prezzo del megawattora (in euro) in una giornata primaverile mediante la funzione $P(t) = 0,1t^3 - 4,2t^2 + 57,6t - 150$, dove $t$ rappresenta l'ora del giorno nell'intervallo $t \in [10, 20]$ (dalle 10:00 alle 20:00).

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo con le derivate, stima in modo ragionato in quale fascia oraria dovrebbe trovarsi il minimo relativo dei prezzi e giustifica se ti aspetti che il prezzo alle 12:00 sia maggiore o minore di quello a metà pomeriggio.
2. b) Calcola con esattezza i punti critici di $P(t)$ nell'intervallo aperto $(10, 20)$ e classificali giustificando la risposta mediante il criterio della derivata seconda.
3. c) Verifica se il minimo relativo ottenuto coincide con la tua stima precedente e spiega l'utilità di conoscere le ore esatte degli estremi relativi per un'azienda che debba programmare un uso intensivo di macchinari.

PROBLEMA INVERSO. Un'azienda di distribuzione di pacchi urgenti nell'area metropolitana di Roma deve progettare un modello per prevedere i propri costi operativi giornalieri $C(x) = a x^3 + b x^2 + c x + 500$ (in euro), dove $x$ è il numero di veicoli di consegna in circolazione ($x \in [1, 15]$). La direzione impone le seguenti tre condizioni di efficienza:

1) La funzione deve raggiungere un massimo relativo di inefficienza quando circolano esattamente $x = 2$ veicoli (a causa di problemi di scala iniziali).

2) La funzione deve raggiungere un minimo relativo di costo operativo quando circolano esattamente $x = 10$ veicoli (punto di ottimo nella ripartizione dei percorsi).

3) Il costo marginale iniziale per $x = 0$ (cioè il coefficiente angolare $C'(0)$) deve essere esattamente di $60$ euro per veicolo.

1. a) Imposta il sistema di equazioni lineari che permette di calcolare i parametri $a$, $b$ e $c$, e risolvilo trovandone il valore esatto.
2. b) Con i valori calcolati, giustifica formalmente mediante il segno di $C'(x)$ o mediante la derivata seconda che in $x = 2$ c'è un massimo relativo e in $x = 10$ c'è un minimo relativo.
3. c) Se l'azienda deve scegliere tra mantenere operativi 2 furgoni o 10 furgoni, ragiona in termini economici su quale sia la decisione corretta basandoti sulla teoria degli estremi relativi.

Un'agenzia di marketing digitale ha stabilito che il livello di interazione (engagement) di una campagna sui social segue la funzione $E(t) = \frac{at}{1 + bt^2}$, dove $t$ è il tempo in giorni dal lancio. Si sa che il massimo livello di interazione si raggiunge esattamente dopo 4 giorni e che, in quel momento, il valore dell'engagement è di 10 unità.

1. a) Determina i valori dei parametri $a$ e $b$.
2. b) Giustifica, mediante il criterio della derivata seconda, che in $t = 4$ esiste effettivamente un massimo relativo.
3. c) Che cosa accade all'engagement a lunghissimo termine? Interpreta il risultato.

Si considera la funzione di profitto di una startup tecnologica definita a tratti per i primi due anni ($t \in [0, 24]$ mesi):

$B(t) = \begin{cases} t^2 - 12t & \text{si } 0 \le t < 12 \\ \ln(t - 11) + k & \text{si } 12 \le t \le 24 \end{cases}$

1. a) Calcola il valore di $k$ affinché la funzione sia continua in $t = 12$.
2. b) Per il valore di $k$ trovato, studia se la funzione è derivabile in $t = 12$.
3. c) Determina gli intervalli di crescita e decrescita e trova gli estremi relativi (massimi e minimi) della funzione nell'intervallo complessivo.

Uno studio logistico per un'azienda di consegna di cibo a domicilio stima che il costo operativo orario dipenda dalla velocità media $v$ (in km/h) dei suoi fattorini secondo la funzione:

$C(v) = 2v^2 + \frac{16000}{v} + 50$ per $v > 0$.

1. a) Calcola la velocità ottimale che minimizza il costo operativo.
2. b) Dimostra che questa funzione non ha massimi relativi nel suo dominio.
3. c) Se per normativa di sicurezza la velocità media non può superare i 15 km/h, qual è il costo minimo reale che l'azienda potrebbe raggiungere?

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, trova i valori di $a$, $b$ e $c$ sapendo che la funzione presenta un punto di flesso in $x = 1$, un estremo relativo in $x = 2$ e che il grafico passa per il punto $(0, 5)$. Una volta trovati i parametri, classifica tutti gli estremi relativi della funzione.

Un "influencer" analizza la viralità dei suoi video. Il numero di visualizzazioni giornaliere $V$ (in migliaia) dopo $t$ ore dalla pubblicazione, con $0 \le t \le 24$, segue il modello $V(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$. La figura mostra il grafico della funzione.

1. a) In quale momento esatto della giornata il video raggiunge il suo picco massimo di visualizzazioni?

1. b) Determina gli intervalli di tempo in cui il ritmo di crescita delle visualizzazioni sta aumentando (usa la derivata seconda).

1. c) Calcola il valore massimo di visualizzazioni giornaliere.

Trova gli estremi relativi della funzione $f(x) = \frac{\ln(x^2)}{x}$. Presta particolare attenzione al dominio della funzione e alla sua simmetria per semplificare lo studio. Giustifica se gli estremi trovati sono massimi o minimi assoluti nell'intervallo $(0, +\infty)$.

Si vuole progettare un cartellone pubblicitario rettangolare di $18$ $m^2$ di superficie. Il costo della cornice superiore e inferiore è di $20$ € al metro lineare, mentre il costo dei lati è di $15$ € al metro lineare. Inoltre, per motivi estetici, l'altezza del cartellone non può essere inferiore a $2$ metri né superiore a $5$ metri.

1. a) Esprimi la funzione di costo totale della cornice in funzione della larghezza $x$.
2. b) Determina le dimensioni del cartellone che minimizzano il costo totale entro i vincoli dati.
3. c) Qual è questo costo minimo?

Sia la funzione $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^x$.

1. a) Esprimi la funzione senza valori assoluti.
2. b) Studia la derivabilità nei punti $x = -2$ e $x = 2$.
3. c) Determina tutti i massimi e minimi relativi della funzione. Indica quali di essi corrispondono a punti in cui la funzione non è derivabile (punti angolosi).

MODELLIZZA. Il tasso di occupazione alberghiera $H(t)$ (in percentuale, su $100$) in una zona turistica delle Alpi nel corso delle 16 settimane che vanno dall'inizio della stagione sciistica all'avvio dei percorsi primaverili ($t \in [0, 16]$, dove $t$ si misura in settimane) segue un comportamento duplice modellizzato dalla funzione:

1. a) Verifica se la funzione $H(t)$ è continua in $t = 8$ e analizza se è derivabile in tale punto calcolando le derivate laterali $H'(8^-)$ e $H'(8^+)$.
2. b) Determina tutti i candidati a estremi relativi nell'intervallo aperto $(0, 16)$, distinguendo con chiarezza tra i punti in cui la derivata si annulla e quelli in cui la derivata non esiste.
3. c) Studia il segno della derivata prima in ciascuno degli intervalli ottenuti e classifica in modo rigoroso tutti i punti critici trovati (indicando se sono massimi relativi, minimi relativi o nessuno dei due).
4. d) Interpreta i risultati nel contesto turistico: in quale settimana si registra il picco della stagione bianca e in quale settimana si tocca il fondo nella valle intermedia? La settimana di cambio di stagione ($t = 8$) costituisce un estremo relativo di occupazione? Giustifica la tua risposta.

PROBLEMA INVERSO CON DISCUSSIONE DI PARAMETRI. Il reparto finanziario di una compagnia di telecomunicazioni valuta l'utile netto previsto $B(x)$ (in migliaia di euro) derivante dal lancio di un servizio digitale in base all'investimento in server $x$ (in decine di migliaia di euro, con $x \ge 0$). Il modello matematico è dato dall'espressione:

dove $k$ è un parametro reale positivo che riflette il grado di saturazione dell'infrastruttura.

1. a) Calcola la derivata prima $B'(x)$ e discuti, al variare di $k > 0$, quanti punti critici ha la funzione e per quali valori di $k$ esistono estremi relativi nel dominio.
2. b) Per il valore critico $k = 3$, verifica che cosa accade con il criterio della derivata seconda nel punto critico risultante e dimostra, mediante lo studio del segno della derivata prima, perché in tale punto non esiste né un massimo né un minimo relativo.
3. c) Se studi di mercato confermano che l'azienda raggiunge un massimo relativo di utile quando l'investimento è di $10\,000$ € ($x = 1$):

1. Determina il valore del parametro $k$.

2. Trova le coordinate $(x, B(x))$ di tutti gli estremi relativi (massimo e minimo) e classificali.

3. Ragiona sul comportamento dell'utile: spiega perché, dopo aver raggiunto il massimo relativo in $x = 1$, aumentare moderatamente l'investimento provoca un calo dell'utile fino a un minimo relativo prima di tornare a crescere su larga scala.