Nuage de points et filtres sur fichier de données
Dans un lycée de Lille, le tableur du CDI contient une ligne par élève : taille, masse, section, note de maths… Peut-on y repérer un lien entre deux colonnes ? Et surtout, que peut-on en conclure, ou ne pas conclure ? Voilà ce que nous allons apprendre à faire avec des données.
Le nuage de points
Un fichier de données est un tableau : chaque ligne est un individu, chaque colonne un caractère (une grandeur mesurée). Quand deux caractères sont numériques, on peut les représenter ensemble.
Exemple : le temps de révision $x$ (en heures) avant un contrôle et la note $y$ (sur 20) de cinq élèves : $(1\,;\,9)$, $(2\,;\,10)$, $(3\,;\,12)$, $(4\,;\,13)$, $(5\,;\,16)$.
On lit une tendance : les points montent de gauche à droite et semblent presque alignés. Plus on révise, plus la note est élevée. On parle de corrélation positive. Si les points descendaient, la corrélation serait négative ; s'ils sont dispersés sans direction, il n'y a pas de lien visible.
Un tableur contient pour cinq élèves d'un lycée de Lille la taille (en cm) et la masse (en kg) : $(160;52)$, $(165;58)$, $(170;63)$, $(175;70)$, $(180;75)$. a)…
Un tableur contient pour cinq élèves d'un lycée de Lille la taille (en cm) et la masse (en kg) :
$(160;52)$, $(165;58)$, $(170;63)$, $(175;70)$, $(180;75)$.
- a) Représenter le nuage de points, la taille en abscisse.
- b) Décrire la tendance observée.
Point moyen et droite d'ajustement
Quand le nuage est à peu près aligné, on le résume par une droite : c'est un ajustement affine. On peut alors faire des estimations.
Une droite d'ajustement raisonnable passe par $G$ et « suit » le nuage.
Quand les points ne sont pas alignés, mais que les valeurs de $y$ sont multipliées par un même facteur quand $x$ augmente de $1$, la droite n'est pas adaptée. Compare les accroissements (différences) et les quotients : si les accroissements sont constants, le modèle est affine ; si ce sont les quotients, il est exponentiel (suite géométrique).
Voici le nombre de visiteurs (en centaines) d'un musée à Rouen selon la température (en °C) : $(5;12)$, $(10;15)$, $(15;21)$, $(20;26)$, $(25;30)$. a) Calculer les…
Voici le nombre de visiteurs (en centaines) d'un musée à Rouen selon la température (en °C) :
$(5;12)$, $(10;15)$, $(15;21)$, $(20;26)$, $(25;30)$.
- a) Calculer les coordonnées du point moyen $G$.
- b) Placer $G$ dans le nuage de points et tracer une droite d'ajustement passant par $G$ et par $(5;12)$. Déterminer son équation.
- c) Estimer le nombre de visiteurs pour $18$ °C.
Des mesures donnent, pour une population de bactéries, le nombre $y$ (en milliers) après $x$ heures : $(0;2)$, $(1;4)$, $(2;8)$, $(3;16)$, $(4;32)$. a) Le nuage de…
Des mesures donnent, pour une population de bactéries, le nombre $y$ (en milliers) après $x$ heures : $(0;2)$, $(1;4)$, $(2;8)$, $(3;16)$, $(4;32)$.
- a) Le nuage de points est-il adapté à un ajustement affine ? Justifier par les accroissements.
- b) On pose $z=\ln y$. Montrer que les points $(x;z)$ sont alignés.
- c) En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ et estimer $y$ pour $x=6$.
Filtrer un fichier : ET, OU, NON
Un filtre sélectionne les lignes d'un fichier qui vérifient une condition. On combine des conditions avec trois mots :
| Opérateur | Les lignes retenues vérifient… |
|---|---|
| A ET B | les deux conditions à la fois |
| A OU B | au moins l'une des deux (ou les deux) |
| NON A | A n'est pas vérifiée |
« A OU B » regroupe les trois zones colorées. Le OU est inclusif. On compte ainsi :
$$\text{nb}(A\text{ OU }B)=\text{nb}(A)+\text{nb}(B)-\text{nb}(A\text{ ET }B)$$On retire la zone commune, sinon elle serait comptée deux fois.
Les formules du tableur
Dans un tableur français, les arguments sont séparés par un point-virgule. Si les notes sont dans B2:B7 :
| Besoin | Formule |
|---|---|
| Moyenne | =MOYENNE(B2:B7) |
| Somme | =SOMME(B2:B7) |
| Nombre de notes $\geq 10$ | =NB.SI(B2:B7;">=10") |
| Nombre de lignes vérifiant deux conditions | =NB.SI.ENS(B2:B7;">=10";C2:C7;"S") |
Un fichier recense $200$ élèves avec les colonnes « sexe », « section » et « note ». On filtre sur la condition « section = S ET note $\geq 12$ ». a) Que sélectionne ce…
Un fichier recense $200$ élèves avec les colonnes « sexe », « section » et « note ». On filtre sur la condition « section = S ET note $\geq 12$ ».
- a) Que sélectionne ce filtre ?
- b) Que sélectionnerait le filtre « section = S OU note $\geq 12$ » ?
- c) Que sélectionnerait « NON (section = S) » ?
Dans un tableur, les notes de $6$ élèves sont dans les cellules B2 à B7. Donner la formule permettant de calculer la moyenne et celle permettant de compter le nombre de…
Dans un tableur, les notes de $6$ élèves sont dans les cellules B2 à B7. Donner la formule permettant de calculer la moyenne et celle permettant de compter le nombre de notes supérieures ou égales à $10$.
Un fichier recense $500$ logements d'une ville avec « surface », « nombre de pièces » et « loyer ». Le filtre « pièces $\geq 3$ ET loyer $<800$ » donne $120$ lignes, le…
Un fichier recense $500$ logements d'une ville avec « surface », « nombre de pièces » et « loyer ». Le filtre « pièces $\geq 3$ ET loyer $<800$ » donne $120$ lignes, le filtre « pièces $\geq 3$ » en donne $260$ et le filtre « loyer $<800$ » en donne $300$.
- a) Combien de logements vérifient « pièces $\geq 3$ OU loyer $<800$ » ?
- b) Combien vérifient « NON (pièces $\geq 3$) ET loyer $<800$ » ?
- c) Calculer la fréquence de ce dernier groupe dans le fichier.
Tableau croisé et fréquences
Pour deux caractères qualitatifs (ou numériques regroupés en classes), on compte les individus dans un tableau croisé d'effectifs.
Exemple : $200$ élèves d'un lycée, dont $80$ garçons. On note ceux qui viennent en bus.
| Garçons | Filles | Total | |
|---|---|---|---|
| Bus | $20$ | $40$ | $60$ |
| Autre | $60$ | $80$ | $140$ |
| Total | $80$ | $120$ | $200$ |
-
La fréquence marginale se calcule sur le total : $\dfrac{60}{200}=30\ \%$ des élèves viennent en bus.
-
La fréquence conditionnelle se calcule dans une colonne (ou une ligne) : parmi les garçons, $\dfrac{20}{80}=25\ \%$ viennent en bus ; parmi les filles, $\dfrac{40}{120}\approx 33{,}3\ \%$.
La fréquence conditionnelle est la proportion d'une catégorie dans une sous-population. Le dénominateur est donc l'effectif de cette sous-population, pas le total. En probabilités, c'est $P_B(A)=\dfrac{\text{nb}(A\cap B)}{\text{nb}(B)}$.
Un fichier contient $1\,000$ clients d'un magasin avec les colonnes « âge », « mode de paiement » (carte, espèces, chèque) et « montant ». On compte $420$ clients de…
Un fichier contient $1\,000$ clients d'un magasin avec les colonnes « âge », « mode de paiement » (carte, espèces, chèque) et « montant ». On compte $420$ clients de moins de $35$ ans, dont $300$ paient par carte. Au total, $550$ clients paient par carte.
- a) Construire le tableau croisé « moins de 35 ans / 35 ans et plus » et « carte / autre ».
- b) Calculer la proportion de clients payant par carte parmi les moins de $35$ ans, puis parmi les $35$ ans et plus.
- c) Commenter.
Corrélation, causalité et paradoxe de Simpson
Un nuage montrant une corrélation ne prouve pas qu'une grandeur cause l'autre. Exemple : en hiver, la vente de pulls et le nombre de cas de grippe augmentent en même temps. Les pulls ne donnent pas la grippe : les deux dépendent d'une variable cachée, la température.
Autre piège : comparer des taux globaux peut tromper si les groupes n'ont pas la même composition.
Lucas et Hugo ont chacun tiré $100$ paniers au basket, de près ou de loin.
| Près | Loin | Total | |
|---|---|---|---|
| Lucas | $18/20=90\ \%$ | $30/80=37{,}5\ \%$ | $48/100=48\ \%$ |
| Hugo | $70/80=87{,}5\ \%$ | $6/20=30\ \%$ | $76/100=76\ \%$ |
Lucas est meilleur de près et de loin, mais Hugo a un meilleur taux global ! C'est le paradoxe de Simpson : Hugo a tiré surtout de près (tirs faciles), Lucas surtout de loin (tirs difficiles). La répartition entre catégories n'est pas la même.
Le nuage de points d'un fichier montre une corrélation positive entre le nombre de glaces vendues et le nombre de noyades dans une région de France sur douze mois. a) Un…
Le nuage de points d'un fichier montre une corrélation positive entre le nombre de glaces vendues et le nombre de noyades dans une région de France sur douze mois.
- a) Un élève conclut que la vente de glaces cause des noyades. Critiquer cette conclusion.
- b) Proposer une variable explicative commune.
- c) Indiquer comment un filtre sur le fichier (par mois) permettrait de tester cette hypothèse.
Un fichier de $2\,000$ patients d'un hôpital indique « traitement » (A ou B) et « guérison » (oui/non). Le traitement A concerne $1\,200$ patients, dont $940$ guéris. Le…
Un fichier de $2\,000$ patients d'un hôpital indique « traitement » (A ou B) et « guérison » (oui/non). Le traitement A concerne $1\,200$ patients, dont $940$ guéris. Le traitement B concerne $800$ patients, dont $640$ guéris. Les patients sont aussi classés « cas graves » ou « cas légers » : pour A, $1\,000$ cas graves avec $750$ guéris et $200$ cas légers avec $190$ guéris ; pour B, $200$ cas graves avec $100$ guéris et $600$ cas légers avec $540$ guéris.
- a) Comparer les taux de guérison globaux de A et B.
- b) Comparer-les dans chaque catégorie de gravité.
- c) Expliquer ce paradoxe apparent.
Retour au début : oui, on peut repérer un lien entre deux colonnes (nuage, fréquences conditionnelles), mais il faut toujours se demander quelle variable cachée peut l'expliquer avant de parler de cause.
L'essentiel
-
Un nuage de points représente deux caractères numériques ; on lit une tendance (corrélation positive, négative ou absente).
-
Le point moyen $G(\bar x\,;\,\bar y)$ appartient à une droite d'ajustement raisonnable ; on s'en sert pour estimer, plutôt à l'intérieur des données qu'au-delà.
-
Si les accroissements sont constants, le modèle est affine ; si ce sont les quotients, il est exponentiel.
-
Filtres : ET (les deux), OU (au moins un), NON (le contraire) ; $\text{nb}(A\text{ OU }B)=\text{nb}(A)+\text{nb}(B)-\text{nb}(A\text{ ET }B)$.
-
Dans un tableau croisé, une fréquence conditionnelle se calcule « parmi… » (dénominateur = effectif de la sous-population) ; une fréquence marginale sur le total.
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Corrélation n'est pas causalité : cherche une variable cachée et compare par catégories (paradoxe de Simpson).