Polynômes du second degré : paraboles

Étant donné la fonction du second degré $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, déterminer les coordonnées exactes de son sommet et l'équation de son axe de symétrie.

Indiquer vers où sont tournées les branches de la parabole $y = -3x^2 + 6x - 1$ en justifiant la réponse, et déterminer si le sommet de cette fonction correspond à un maximum ou à un minimum absolu. Calculer ses coordonnées.

Marc doit déterminer l'axe de symétrie et l'ensemble image de la parabole $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Sur sa copie, il écrit :

« Comme $a = -1$ et $b = 6$, l'abscisse $x$ du sommet est $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Donc l'axe de symétrie est la droite horizontale $y = 3$. Ensuite, je calcule l'ordonnée du sommet : $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4$, donc le sommet est $V(3 ; 4)$. Comme $a < 0$, les branches sont tournées vers le bas et la parabole admet un maximum, donc son ensemble image est $[4 ; +\infty[$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Marc dans sa réponse.
2. b) Expliquer en justifiant pourquoi elles sont incorrectes, en s'appuyant sur le lien entre l'axe de symétrie et les droites verticales, et sur la signification graphique de l'ensemble image lorsque les branches sont tournées vers le bas.
3. c) Écrire la solution corrigée : l'équation correcte de l'axe de symétrie et l'intervalle qui définit l'ensemble image de $f(x)$.

Lors d'un entraînement, une joueuse de volley-ball lance le ballon vers le haut. La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par le ballon en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon et à quel instant exact est-elle atteinte ?

L'association de parents d'élèves du lycée vend des billets de tombola pour financer le voyage de fin d'année. Si chaque billet est vendu $x$ euros, les recettes estimées (en dizaines d'euros) sont données par la fonction du second degré $I(x) = -2x^2 + 48x$. À quel prix faut-il vendre les billets pour maximiser les recettes ? À combien s'élèvent ces recettes maximales ?

La fonction $d(t) = 5t^2$ décrit la distance, en centimètres, parcourue par une bille qui descend un rail incliné en fonction du temps $t$ en secondes. Quelle distance aura-t-elle parcourue au bout de $4$ secondes ? Combien de temps mettra-t-elle pour parcourir exactement $125$ cm ?

Météo-France modélise la température ambiante $T(t)$, en degrés Celsius ($^\circ\text{C}$), durant les heures centrales d'une journée d'été à Toulouse en fonction de l'heure de la journée $t$ (avec $t \in [8 ; 24]$, où $t=8$ correspond à 8 h 00 et $t=24$ à 24 h 00) par la fonction du second degré :

1. a) Déterminer, en justifiant, à quelle heure de la journée la température maximale est enregistrée et quelle est cette valeur extrême.
2. b) Poser et résoudre l'inéquation nécessaire pour déterminer sur quel intervalle de temps la température a été supérieure ou égale à $40\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Justifier par le calcul du discriminant $\Delta$ de l'équation $T(t) = 48$ si le modèle prévoit que $48\ ^\circ\text{C}$ soient atteints ou dépassés à un moment de la journée.

Le club de robotique du lycée vend des kits de capteurs pour financer son matériel. Il a des frais fixes mensuels de $2000$ euros et le montage de chaque kit coûte $15$ euros supplémentaires. Les recettes mensuelles obtenues par la vente de $x$ kits sont données par la fonction $I(x) = -0,1x^2 + 65x$. Écrire la fonction qui représente le bénéfice mensuel $B(x)$. Combien de kits faut-il monter et vendre pour obtenir le bénéfice maximal ?

Déterminer les points d'intersection de la parabole $y = -x^2 + 2x + 8$ avec les axes de coordonnées (l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées).

Déterminer, en remplaçant dans l'équation, si le point $(-1\,;\,4)$ et le point $(2\,;\,1)$ appartiennent à la courbe de la parabole $y = 2x^2 - 3x - 1$.

Déterminer par le calcul les points d'intersection de la parabole $y = x^2 - 4x + 3$ et de la droite $y = -x + 3$.

Considérer la famille de paraboles d'équation $y = x^2 - kx + 9$. Déterminer les valeurs du paramètre $k$ pour lesquelles la parabole est tangente à l'axe des abscisses (c'est-à-dire qu'elle a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses).

Observer les trois paraboles représentées sur la figure suivante. Associer chacune des expressions algébriques à sa courbe correspondante (A, B ou C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Sachant que la courbe représentative de la fonction du second degré $f(x) = ax^2 + c$ passe par les points $(0 ; 3)$ et $(2 ; 11)$, poser un système d'équations et calculer les valeurs des paramètres $a$ et $c$.

Exprimer la fonction $y = (x + 3)^2 - 2$ comme le résultat d'une translation de la parabole de référence $y = x^2$. Indiquer clairement le sens et le nombre d'unités du déplacement, horizontalement et verticalement.

Le dessin de l'arc parabolique d'une fontaine ornementale suit la fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$. Le jet d'eau part du niveau du sol au point $(0 ; 0)$ et retombe exactement sur le sol à $6\text{ mètres}$ de distance horizontale, au point $(6 ; 0)$. De plus, on mesure que la hauteur maximale atteinte par le jet est de $4,5\text{ mètres}$.

1. a) Sans calculer au préalable les coefficients, déduire en justifiant l'équation de la droite verticale qui est axe de symétrie et les coordonnées exactes de son sommet $V(h ; k)$.
2. b) Utiliser la forme canonique $f(x) = a(x-h)^2 + k$ ou la forme factorisée $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ pour déterminer la valeur numérique du paramètre $a$.
3. c) Écrire l'équation développée $f(x) = ax^2 + bx + c$ et vérifier que les points au sol et la hauteur maximale atteinte sont bien respectés.

Déterminer l'expression développée d'une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ sachant que son sommet est le point $V(2 ; -1)$ et qu'elle passe par le point $P(4 ; 3)$.

Observer la courbe de la parabole. Déterminer les coordonnées de son sommet et utiliser un point supplémentaire de la courbe pour en déduire son expression sous la forme $y = a(x-h)^2 + k$. Enfin, la développer sous la forme $y = ax^2 + bx + c$.

Une arche d'un pont de pierre a la forme d'une parabole. La base de l'arche (au niveau de l'eau) mesure $12$ mètres de large et la hauteur maximale au centre est de $6$ mètres. En plaçant l'origine du repère au centre de la base de l'arche, déterminer l'équation de la parabole qui décrit son profil.

Calculer les coefficients $a$, $b$ et $c$ de la fonction du second degré $y = ax^2 + bx + c$ sachant que sa courbe passe par les points $(0 ; -5)$, $(1 ; -6)$ et $(-1 ; -2)$.

Déterminer l'expression algébrique de la fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ sachant que sa courbe coupe l'axe des abscisses aux points $x = -1$ et $x = 5$, et que la valeur maximale atteinte par la fonction est $18$.

On dispose de $40$ mètres de corde pour délimiter une zone de jeux rectangulaire dans un camp de vacances. En notant $x$ la longueur de la base du rectangle, écrire la fonction qui donne l'aire de l'enclos en fonction de $x$. Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour que l'aire délimitée soit maximale ?

Pour représenter la parabole $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$, deux camarades débattent de la stratégie la plus rapide et la plus sûre pour déterminer son sommet et ses points d'intersection avec les axes :

• Serge propose de factoriser par le coefficient dominant pour écrire $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$, de factoriser le polynôme entre parenthèses en cherchant deux entiers de produit $5$ et de somme $-6$, puis d'obtenir le sommet en utilisant le fait que l'axe de symétrie est à égale distance des deux racines réelles.

• Hélène soutient qu'il est plus direct de transformer la fonction sous sa forme canonique $g(x) = a(x-h)^2 + k$ en complétant le carré à partir de $2(x^2 - 6x) + 10$.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes pas à pas jusqu'à obtenir les coordonnées du sommet $V(h ; k)$ et confirmer que les deux conduisent à la même solution.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus avantageuse dans ce cas précis. Dans quelle situation la méthode proposée par Serge serait-elle inapplicable ou très laborieuse par rapport à la méthode d'Hélène ou à la formule générale $x_v = \frac{-b}{2a}$ ? Appuyer le raisonnement sur le rôle du discriminant $\Delta$.

Un agriculteur veut construire un enclos rectangulaire pour ses poules en utilisant un long mur de pierre déjà existant, de sorte qu'il n'a besoin de clôturer que trois des quatre côtés du rectangle. Il dispose de $100$ mètres de grillage. Déterminer les dimensions de l'enclos pour que son aire soit la plus grande possible et calculer cette aire maximale.

Un joueur de basket tire au panier depuis une hauteur de $2$ mètres. Le ballon suit une trajectoire parabolique et atteint sa hauteur maximale de $4$ mètres à une distance horizontale de $2$ mètres du point de lancer. Sachant que l'anneau du panier se trouve à $3$ mètres de hauteur et à une distance horizontale de $4,5$ mètres, déterminer l'équation de la trajectoire et démontrer par le calcul si le ballon entrera ou non dans l'anneau.

Tracer l'allure de la courbe de la fonction $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Pour cela, déterminer d'abord le sommet et les points d'intersection avec les axes de la parabole intérieure sans la valeur absolue, et expliquer par le calcul comment la valeur absolue modifie la représentation finale.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étant données les paraboles $y = x^2 - 2x - 3$ et $y = -x^2 + 4x + 5$, déterminer par le calcul les points exacts où elles se coupent. Calculer ensuite la distance entre les sommets des deux paraboles.

Soit la fonction définie par morceaux suivante :

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Déterminer les valeurs des paramètres $m$ et $n$ pour que la fonction soit continue au point de raccord $x = 3$ et que, de plus, la demi-droite passe par le point $(5 ; -1)$.

La régie municipale de transports d'une ville française analyse ses tarifs à partir de données de mobilité urbaine. Au prix actuel du billet de $1,20\text{ €}$, $6000$ personnes voyagent en moyenne chaque jour. Une étude technique estime que pour chaque hausse de $0,10\text{ €}$ du tarif, on perdra $250$ voyageurs par jour (et inversement en cas de baisse). La fonction de recettes quotidiennes s'écrit $I(x) = (1,20 + 0,10x)(6000 - 250x)$, où $x$ est le nombre de hausses de $0,10\text{ €}$.

1. a) Estimer avant de calculer : si l'on décide de doubler le prix du billet (qui passerait à $2,40\text{ €}$, ce qui représente $x = 12$), peut-on s'attendre à ce que les recettes quotidiennes soient supérieures, inférieures ou égales aux $7200\text{ €}$ initiaux ? Justifier qualitativement la prédiction en comparant l'augmentation du prix et la perte d'usagers.
2. b) Calculer : développer l'expression algébrique de $I(x)$ sous la forme $I(x) = ax^2 + bx + c$, déterminer les coordonnées de son sommet et en déduire le nombre de hausses $x$ qui maximise les recettes, le prix optimal du billet qui en résulte et la recette quotidienne maximale.
3. c) Vérifier et réfléchir : calculer la valeur exacte de $I(12)$ pour vérifier quantitativement l'estimation de la question a) et interpréter le résultat à l'aide de l'axe de symétrie de la parabole. Enfin, réfléchir de façon critique : du point de vue du service public et de la durabilité urbaine, pourquoi n'est-il pas toujours souhaitable de fixer le tarif au sommet optimal de la parabole si cela implique une hausse de prix ?

On considère la famille de fonctions du second degré donnée par $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, où $m$ est un paramètre réel avec $m \neq 1$.

1. a) Déterminer, en justifiant, pour quelles valeurs de $m$ la courbe de $f_m(x)$ a ses branches tournées vers le haut (avec un minimum absolu) et ne coupe en aucun point l'axe horizontal $X$. Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
2. b) Sachant que l'une des paraboles de cette famille a pour axe de symétrie la droite verticale $x = 2$, déterminer la valeur précise de $m$, écrire l'équation développée de cette parabole et en déduire son ensemble image exact en justifiant si la fonction est majorée ou minorée.
3. c) Démontrer algébriquement s'il existe une valeur de $m$ pour laquelle le sommet de la parabole se situe exactement sur l'axe $X$. Si oui, calculer les coordonnées complètes de ce sommet ; sinon, justifier pourquoi c'est impossible.