Équations simples et application numérique de formules

Équations du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la rendent vraie. Une équation est comme une balance en équilibre : tout ce que tu fais d'un côté, tu le fais de l'autre.

Pour $ax+b=cx+d$, on regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x$.

Les équations $\frac{a}{x}=b$ et $x^2=a$

Cas $\dfrac{a}{x}=b$. Ici $x$ est au dénominateur, donc $x\neq 0$. Pour l'isoler, on pense « produit en croix » : $a=b\times x$, d'où $x=\dfrac{a}{b}$ (si $b\neq 0$).

Cas $x^2=a$. Le nombre de solutions dépend du signe de $a$ :

Par exemple $x^2=36$ a pour solutions $6$ et $-6$, alors que $x^2=-4$ n'a aucune solution réelle.

Application numérique d'une formule

Une formule relie des grandeurs : $v=\dfrac{d}{t}$, $U=R\,I$, $P=U\,I$, $E=\dfrac{1}{2}mv^2$… Faire une application numérique, c'est remplacer les lettres par des valeurs avec leurs unités puis calculer.

Pour $\frac{1}{2}mv^2$, on calcule d'abord le carré, puis on multiplie : avec $m=4$ et $v=3$, on a $v^2=9$, puis $\frac{1}{2}\times 4\times 9=18$.

Isoler une variable dans une formule

Parfois on cherche la grandeur qui n'est pas « seule » dans la formule. On la traite comme une équation dont l'inconnue est la lettre voulue : les autres lettres jouent le rôle de nombres.

Quand deux grandeurs sont reliées par $y=k\,x$ (proportionnalité), le coefficient $k$ se trouve par $k=\dfrac{y}{x}$. Si $x$ est multipliée par $3$, alors $y=k\times(3x)=3\times(kx)$ est elle aussi multipliée par $3$.

Mettre un problème en équation

Pour les problèmes de forfaits, de seuil de rentabilité ou de comparaison, on suit toujours la même méthode : choisir l'inconnue, écrire chaque expression, poser l'équation, résoudre, puis répondre par une phrase.

Pour un seuil de rentabilité, on cherche quand le bénéfice $B(x)=\text{recettes}-\text{coûts}$ devient nul. Pour un bénéfice minimal, on résout une inéquation. La règle est la même que pour une équation, avec une précaution : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

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Une équation avec $x^2$ et $x$

Certains problèmes de géométrie conduisent à une équation comme $x^2-4x-12=0$. Sans calculatrice, on la factorise puis on utilise la propriété du produit nul.

Pour factoriser $x^2+px+q$, on cherche deux nombres de produit $q$ et de somme $p$ : si ce sont $m$ et $n$, alors $x^2+px+q=(x+m)(x+n)$.

L'essentiel

• Pour résoudre $ax+b=cx+d$ : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, diviser par le coefficient de $x$, puis vérifier.

• $\dfrac{a}{x}=b$ donne $x=\dfrac{a}{b}$ ($x\neq 0$) ; $x^2=a$ a deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a>0$, une si $a=0$, aucune si $a<0$.

• Application numérique : écrire la formule, remplacer par les valeurs avec les unités, calculer. Pour isoler une lettre, on « défait » les opérations dans l'ordre inverse.

• Mise en équation : inconnue, expressions, équation, résolution, phrase de conclusion ; multiplier ou diviser une inégalité par un négatif change son sens.

• Avec $x^2$ et $x$ : factoriser, puis produit nul ; garder les solutions compatibles avec le contexte.