Calcul mental, pourcentages et ordres de grandeur
Aux soldes, une paire de baskets à 60 € est « à −20 % ». Tu veux savoir tout de suite combien tu paies, sans sortir ta calculatrice. À l'épreuve anticipée de mathématiques, elle est d'ailleurs interdite : il faut des réflexes. Et si le magasin augmente ensuite le prix de 20 %, retrouve-t-on 60 € ? Nous y reviendrons.
Calculer un pourcentage de tête
Prendre $p\ \%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{p}{100}$. On s'appuie sur quelques pourcentages simples :
| Pourcentage | Équivaut à | Exemple sur 80 |
|---|---|---|
| $50\ \%$ | diviser par 2 | 40 |
| $25\ \%$ | diviser par 4 | 20 |
| $10\ \%$ | diviser par 10 | 8 |
| $1\ \%$ | diviser par 100 | 0,8 |
Les autres s'obtiennent par combinaison : $20\ \% = 2 \times 10\ \%$, $5\ \% = 10\ \% \div 2$, $15\ \% = 10\ \% + 5\ \%$, $75\ \% = 3 \times 25\ \%$.
Calculer mentalement, sans calculatrice : a) $10\%$ de $450$ € b) $25\%$ de $80$ kg c) $50\%$ de $3,6$ m
Calculer mentalement, sans calculatrice :
- a) $10\%$ de $450$ €
- b) $25\%$ de $80$ kg
- c) $50\%$ de $3,6$ m
Un article coûte $60$ € avant les soldes. Son prix baisse de $20\%$. a) Calculer le montant de la réduction. b) En déduire le nouveau prix.
Un article coûte $60$ € avant les soldes. Son prix baisse de $20\%$.
- a) Calculer le montant de la réduction.
- b) En déduire le nouveau prix.
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
Une quantité passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$. Le taux d'évolution est
$$t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}.$$Le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_A}{V_D} = 1 + t$.
Pourquoi $1+t$ ? Augmenter de $t$, c'est garder la valeur de départ (1) et y ajouter $t$ fois cette valeur.
-
Hausse de $5\ \%$ : $CM = 1{,}05$.
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Baisse de $2{,}5\ \%$ : $CM = 1 - 0{,}025 = 0{,}975$.
Dans une commune de Bretagne, la population passe de $2\,500$ à $2\,750$ habitants en un an. a) Calculer le taux d'évolution en pourcentage. b) Si la population augmente…
Dans une commune de Bretagne, la population passe de $2\,500$ à $2\,750$ habitants en un an.
- a) Calculer le taux d'évolution en pourcentage.
- b) Si la population augmente à nouveau du même pourcentage l'année suivante, calculer la population obtenue.
Évolutions successives et taux réciproque
Si deux évolutions se suivent, les coefficients multiplicateurs se multiplient :
$$CM_{global} = CM_1 \times CM_2.$$Pour revenir à la valeur de départ après une évolution de coefficient $CM$, on applique le taux d'évolution réciproque, de coefficient $\dfrac{1}{CM}$.
Retiens : $+20\ \%$ puis $-20\ \%$ ne s'annulent pas, car le second pourcentage porte sur une valeur différente. On répond à la question du début : on ne retrouve pas 60 €, mais $60 \times 0{,}96 = 57{,}60$ €.
Le prix d'un abonnement augmente de $20\%$, puis diminue de $20\%$. a) Le prix final est-il égal au prix initial ? Justifier sans calculatrice. b) Déterminer le…
Le prix d'un abonnement augmente de $20\%$, puis diminue de $20\%$.
- a) Le prix final est-il égal au prix initial ? Justifier sans calculatrice.
- b) Déterminer le pourcentage de variation globale.
- c) Quelle augmentation, en pourcentage, faudrait-il appliquer au prix final pour retrouver le prix initial ? Donner le résultat sous forme de fraction puis une valeur approchée à $0,1\%$ près.
Un capital placé augmente de $2\%$ par an. Un élève affirme : « au bout de $50$ ans, le capital aura augmenté de $100\%$ car $50 \times 2 = 100$ ». a) Expliquer pourquoi…
Un capital placé augmente de $2\%$ par an. Un élève affirme : « au bout de $50$ ans, le capital aura augmenté de $100\%$ car $50 \times 2 = 100$ ».
- a) Expliquer pourquoi ce raisonnement est erroné.
- b) Montrer que le capital a plus que doublé en utilisant l'inégalité $(1+x)^n > 1+nx$, valable pour $x>0$ et tout entier $n \geq 2$.
- c) Sachant que $1,02^{35} \approx 2$, estimer le nombre d'années nécessaires pour que le capital soit multiplié par $4$.
Écriture scientifique et ordres de grandeur
L'écriture scientifique d'un nombre est $a \times 10^{n}$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ entier relatif.
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$45\,000 = 4{,}5 \times 10^{4}$
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$0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}$
-
$720 \times 10^{3} = 7{,}2 \times 10^{5}$ (attention : $720$ n'est pas compris entre 1 et 10).
Pour un ordre de grandeur, on arrondit chaque nombre à un chiffre significatif, puis on calcule avec les puissances de 10 : $10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}$ et $\dfrac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b}$.
Donner l'écriture scientifique des nombres suivants : a) $45\,000$ b) $0,0032$ c) $720 \times 10^{3}$
Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
- a) $45\,000$
- b) $0,0032$
- c) $720 \times 10^{3}$
Une voiture consomme $6$ litres de carburant pour $100$ km. Le prix du litre est de $1,50$ €. a) Calculer le coût du carburant pour un trajet Lyon-Marseille d'environ…
Une voiture consomme $6$ litres de carburant pour $100$ km. Le prix du litre est de $1,50$ €.
- a) Calculer le coût du carburant pour un trajet Lyon-Marseille d'environ $300$ km.
- b) Estimer, par un ordre de grandeur, le coût pour $12\,000$ km parcourus en un an.
Une bactérie a une longueur d'environ $2 \times 10^{-6}$ m. Un virus mesure environ $10^{-7}$ m. a) Calculer le rapport entre la longueur de la bactérie et celle du…
Une bactérie a une longueur d'environ $2 \times 10^{-6}$ m. Un virus mesure environ $10^{-7}$ m.
- a) Calculer le rapport entre la longueur de la bactérie et celle du virus.
- b) Combien de bactéries alignées bout à bout faut-il pour couvrir $1$ cm ?
Un stade contient $80\,000$ places. Un journaliste affirme qu'en plaçant côte à côte tous les spectateurs, chacun occupant $0,5$ m de largeur, on formerait une file plus…
Un stade contient $80\,000$ places. Un journaliste affirme qu'en plaçant côte à côte tous les spectateurs, chacun occupant $0,5$ m de largeur, on formerait une file plus longue que la distance Paris-Orléans (environ $130$ km).
- a) Calculer la longueur de la file.
- b) L'affirmation est-elle exacte ? Justifier.
- c) Combien de stades pleins faudrait-il, au minimum, pour obtenir une file d'au moins $130$ km ?