Statistiques et probabilités

Dans un lycée de Lille, on interroge $120$ élèves de première sur leur mode de transport principal pour venir au lycée. Les résultats sont donnés dans le tableau croisé d'effectifs suivant.

1. Recopier et compléter les totaux du tableau.

2. Calculer la fréquence marginale des élèves qui viennent en bus. L'exprimer en pourcentage.

3. Calculer la fréquence des élèves qui viennent à pied parmi les filles.

4. Calculer la fréquence des filles parmi les élèves qui viennent à pied.

5. On choisit au hasard un élève parmi les $120$ élèves interrogés.

1. a) Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon qui vient à vélo.

1. b) Calculer la probabilité que cet élève soit une fille.

Un sondage a été réalisé auprès de $400$ élèves de première de Lyon sur leur temps quotidien passé à jouer aux jeux vidéo. Les résultats sont donnés dans le tableau croisé d'effectifs suivant.

1. Calculer la fréquence marginale des élèves jouant plus de 2 h par jour.

2. Calculer la fréquence des élèves jouant plus de 2 h par jour parmi les filles, puis parmi les garçons. Comparer ces deux fréquences.

3. Calculer la fréquence des garçons parmi les élèves jouant plus de 2 h par jour.

4. Construire un diagramme en barres représentant, en pourcentage, la répartition des trois catégories de temps de jeu parmi les filles, puis parmi les garçons.

5. On choisit au hasard un élève parmi les $400$ élèves interrogés. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $L$ l'événement « l'élève joue plus de 2 h par jour ».

1. a) Calculer $P(L)$ et $P_F(L)$.

1. b) Les événements $F$ et $L$ sont-ils indépendants ? Justifier.

1. c) Calculer $P_L(F)$ et interpréter ce résultat par une phrase.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ rouges, $3$ vertes et $3$ jaunes.

1. On tire une boule au hasard.

1. a) Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge.

1. b) Calculer la probabilité de ne pas obtenir une boule verte.

1. c) Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge ou une boule verte.

1. On tire successivement deux boules, avec remise : on remet la première boule dans l'urne avant de tirer la seconde.

1. a) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

1. b) Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge au premier tirage puis une boule verte au second.

Un joueur de basket réussit un lancer franc avec une probabilité de $0{,}8$. On suppose que les lancers successifs sont indépendants.

1. Le joueur effectue deux lancers francs.

1. a) Calculer la probabilité qu'il réussisse les deux lancers.

1. b) Calculer la probabilité qu'il rate les deux lancers.

1. c) En déduire la probabilité qu'il réussisse au moins un lancer.

1. d) Calculer la probabilité qu'il réussisse exactement un lancer.

1. Le joueur effectue trois lancers francs.

1. a) Calculer la probabilité qu'il réussisse les trois lancers.

1. b) En déduire la probabilité qu'il rate au moins un lancer.

On étudie la pratique d'un sport régulier dans deux lycées. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $S$ l'événement « l'élève pratique un sport régulier ».

Lycée A : $200$ élèves interrogés.

Lycée B : $200$ élèves interrogés.

1. Pour le lycée A, on choisit un élève au hasard.

1. a) Calculer $P(S)$.

1. b) Calculer $P_F(S)$.

1. c) Les événements $F$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier.

1. Pour le lycée B, on choisit un élève au hasard.

1. a) Calculer $P(S)$.

1. b) Calculer $P_F(S)$.

1. c) Les événements $F$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Chaque matin, Lucas se rend au lycée à vélo avec une probabilité de $0{,}4$. Quand il y va à vélo, il est en retard avec une probabilité de $0{,}1$. Quand il n'y va pas à vélo, il est en retard avec une probabilité de $0{,}2$. On note $V$ l'événement « Lucas va au lycée à vélo » et $R$ l'événement « Lucas est en retard ».

1. Construire l'arbre pondéré de cette situation.

2. Calculer la probabilité de l'événement $V\cap R$.

3. Calculer la probabilité de l'événement $\overline{V}\cap R$.

4. Calculer la probabilité $P(R)$ que Lucas soit en retard.

5. Calculer la probabilité que Lucas ne soit pas en retard.

Une usine possède deux machines, A et B. La machine A produit $60\ \%$ des pièces, dont $5\ \%$ sont défectueuses. La machine B produit les autres pièces, dont $10\ \%$ sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $A$ l'événement « la pièce provient de la machine A », $B$ l'événement « la pièce provient de la machine B » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire l'arbre pondéré de cette situation.

2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.

3. Calculer $P(D)$.

4. Calculer $P_D(A)$, la probabilité que la pièce provienne de la machine A sachant qu'elle est défectueuse. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

5. Un responsable affirme : « Comme la machine A produit $60\ \%$ des pièces, $60\ \%$ des pièces défectueuses viennent de la machine A ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

On dispose de deux urnes indiscernables, $U_1$ et $U_2$.

• L'urne $U_1$ contient $3$ boules rouges et $1$ boule bleue.

• L'urne $U_2$ contient $1$ boule rouge et $3$ boules bleues.

On lance un dé équilibré à six faces. Si on obtient $6$, on choisit l'urne $U_1$, sinon on choisit l'urne $U_2$. On tire ensuite une boule au hasard dans l'urne choisie. On note $R$ l'événement « la boule tirée est rouge ».

1. Construire l'arbre pondéré de cette expérience.

2. Calculer $P(U_1\cap R)$ et $P(U_2\cap R)$.

3. En déduire $P(R)$.

4. Calculer $P_R(U_1)$, la probabilité que la boule soit issue de l'urne $U_1$ sachant qu'elle est rouge.

5. Les événements $U_1$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Une maladie touche $10\ \%$ d'une population. On dispose d'un test de dépistage qui a les caractéristiques suivantes :

• si la personne est malade, le test est positif dans $90\ \%$ des cas ;

• si la personne n'est pas malade, le test est positif dans $10\ \%$ des cas.

On considère une population de $1\,000$ personnes. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.

1. On choisit au hasard une personne dans cette population. Calculer $P(T)$.

2. Calculer $P_T(M)$. Un test positif prouve-t-il que la personne est malade ? Commenter.

3. Calculer la probabilité que la personne soit malade sachant que son test est négatif. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

4. Construire l'arbre pondéré correspondant et vérifier que $P(M\cap T)=0{,}09$.