Arbres pondérés

Compléter l'arbre pondéré suivant, qui représente deux lancers consécutifs d'une pièce truquée, sachant que la probabilité d'obtenir pile est $\frac{1}{3}$. À l'aide de l'arbre, calculer la probabilité d'obtenir d'abord pile puis face.

Une boîte contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans la boîte, puis on tire une seconde boule. Dessiner l'arbre pondéré correspondant et calculer la probabilité d'obtenir deux boules bleues.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un joueur de basket a une probabilité de $0,8$ de réussir un lancer franc. S'il tire deux lancers francs de façon indépendante, dessiner l'arbre pondéré et déterminer la probabilité qu'il rate les deux tirs.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une armoire, il y a $5$ tee-shirts blancs et $3$ noirs. On choisit deux tee-shirts au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier dans l'armoire. Calculer la probabilité que les deux tee-shirts soient blancs.

Pour aller au travail, Yasmine peut prendre le bus (avec la probabilité $0,7$) ou le vélo (avec la probabilité $0,3$). Si elle prend le bus, la probabilité d'arriver en retard est $0,2$. Si elle prend le vélo, la probabilité d'arriver en retard est $0,05$. Quelle est la probabilité que Yasmine aille à vélo et arrive à l'heure ?

Un sac contient $5$ boules blanches et $4$ boules noires. On tire les boules une à une, sans remise, jusqu'à ce qu'une boule noire sorte. Quelle est la probabilité de devoir effectuer exactement trois tirages pour que le jeu s'arrête ?

On dispose d'un jeu de cartes espagnol de $40$ cartes, réparties en $4$ enseignes de $10$ cartes chacune (oros, copas, espadas et bastos). On tire trois cartes consécutivement sans remise. Calculer la probabilité que les trois cartes soient de la même enseigne.

Défi du thème. Le temps d'hier prédit-il celui d'aujourd'hui ? Vous allez vérifier, avec des données réelles, si la pluie dans votre commune relève d'événements dépendants ou indépendants.

1. Recueil : Rendez-vous sur le site de Météo-France et relevez dans un tableur les précipitations quotidiennes de votre commune sur les $30$ derniers jours. Définissez l'événement simple $L$ : « jour de pluie » ($>0,1$ mm).

2. Analyse : Calculez la probabilité de $L$ et celle de son événement contraire. Comptez les paires de jours consécutifs pour calculer les probabilités conditionnelles $P(L_2|L_1)$ et $P(L_2|\overline{L}_1)$. Comparez les valeurs avec $P(L)$ en utilisant la condition d'indépendance $P(L_2|L_1)=P(L)$ et expliquez si votre échantillon suggère des événements dépendants ou indépendants (c'est une estimation provisoire : il n'y a que $30$ jours ; s'il n'y a aucun jour de pluie ou aucun jour sans pluie, allongez la période).

3. Modélisation : Construisez un arbre pondéré avec ces probabilités et calculez la probabilité de l'événement composé « il pleut deux jours de suite ce week-end ».

4. Production : Rédigez un court rapport d'une page avec le tableur en lien, l'arbre complété et une conclusion argumentée sur la fiabilité de la prévision du temps avec ce modèle.

Seront évalués :

• Le calcul correct de probabilités simples et conditionnelles à partir de données réelles de Météo-France.

• La justification mathématique argumentée de la dépendance ou de l'indépendance observée dans l'échantillon, en reconnaissant son caractère provisoire.

• La construction correcte de l'arbre pondéré et la résolution de l'événement composé.

• La clarté de l'exposé et l'usage correct du tableur et des notations probabilistes.

Dans une cafétéria, on propose deux types de menu : $60\,\%$ des clients choisissent le menu du jour et $40\,\%$ choisissent le menu végétarien. Parmi ceux qui choisissent le menu du jour, $70\,\%$ prennent un café en dessert. Parmi ceux qui choisissent le menu végétarien, $80\,\%$ prennent un thé. Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard ait pris le menu du jour et ait de plus commandé un café.

Dans une usine de composants électroniques, trois machines (A, B et C) produisent respectivement $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par chaque machine sont $2\,\%$, $4\,\%$ et $5\,\%$. En vous appuyant sur l'arbre pondéré, calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse.

On dispose de deux urnes. L'urne A contient $3$ boules rouges et $2$ noires. L'urne B contient $4$ boules rouges et $5$ noires. On lance une pièce : si on obtient pile, on tire une boule dans l'urne A ; si on obtient face, on tire une boule dans l'urne B. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?

Lors d'un test de diagnostic d'une allergie, $5\,\%$ de la population est réellement allergique. Si une personne est allergique, le test est positif dans $90\,\%$ des cas. Si elle ne l'est pas, le test est négatif dans $95\,\%$ des cas. Dessiner un arbre pondéré pour illustrer la situation et calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard obtienne un résultat positif au test.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

D'après les relevés de Météo-France dans une localité du nord, il pleut $10\,\%$ des jours en novembre. Les données de la régie municipale des transports indiquent que, s'il pleut, la probabilité qu'une ligne de bus subisse un retard important est $0,40$ ; en revanche, s'il ne pleut pas, cette probabilité se réduit à $0,05$.\na) Avant tout calcul, estimer intuitivement : si, un jour quelconque de novembre, cette ligne subit un retard important, pensez-vous qu'il est plus probable qu'il ait plu ou qu'il n'ait pas plu ? Justifier brièvement votre intuition en tenant compte du poids de chaque type de jour.\nb) Modéliser la situation par un arbre pondéré et calculer la probabilité totale que le bus subisse un retard important un jour de novembre.\nc) Calculer, à l'aide de la formule de Bayes, la probabilité qu'il ait plu sachant que le bus est arrivé en retard. Vérifier si votre estimation initiale de la question a) était juste ou si vous êtes tombé dans le piège de la « négligence de la fréquence de base ».

Dans une ville, $20\,\%$ des conducteurs sont jeunes (moins de 25 ans) et $80\,\%$ sont adultes. La probabilité qu'un conducteur jeune ait un accident dans l'année est $0,15$, alors que pour un adulte elle est $0,05$. On choisit un conducteur au hasard et il s'avère qu'il a eu un accident cette année. À l'aide des branches d'un arbre pondéré, calculer la probabilité que ce conducteur soit jeune. (Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.)

Le système d'alarme d'une chambre forte comporte 3 capteurs de mouvement. La probabilité que le capteur A soit défaillant lors d'une intrusion est $0,1$ ; celle que le capteur B soit défaillant est $0,05$ ; et celle que le capteur C soit défaillant est $0,2$. Les capteurs fonctionnent de façon totalement indépendante. Dessiner l'arbre pondéré correspondant et calculer la probabilité que, lors d'une intrusion réelle, au moins un capteur se déclenche et fasse sonner l'alarme.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.