Fonctions exponentielles

Soit la fonction exponentielle $f(x) = 2^x$. Calculer les images des valeurs $x = -2$, $x = 0$ et $x = 3$.

La courbe d'une fonction exponentielle du type $f(x) = a^x$ passe par le point $(3\,;\,8)$. Calculer la valeur de la base $a$.

Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble image et le point d'intersection avec l'axe des ordonnées de la fonction exponentielle $f(x) = 0,5^x$.

Indiquer, en justifiant, lesquelles des fonctions exponentielles suivantes sont croissantes et lesquelles sont décroissantes :

• a) $f(x) = 1,2^x$

• b) $g(x) = 0,7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Observer les courbes A et B représentées sur la figure suivante. Associer chacune d'elles à son expression analytique correspondante : $y = 3^x$ ou $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Déterminer la valeur de $x$ dans les égalités exponentielles élémentaires suivantes :

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

Marc étudie la fonction $f(x) = 2^{x+1} - 8$. Dans son devoir, il a écrit la conclusion suivante : « Comme c'est une fonction exponentielle, son asymptote horizontale est toujours la droite $y = 0$, son ensemble image est $]0\,;+\infty[$ et, par conséquent, la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses ($X$) et ne prend jamais de valeurs négatives ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Marc concernant les translations d'une fonction exponentielle.
2. b) Expliquer en justifiant pourquoi ces erreurs se produisent et les corriger, en indiquant l'équation correcte de l'asymptote horizontale et l'ensemble image réel de $f(x)$.
3. c) Démontrer que la courbe coupe bien l'axe $X$ en calculant les coordonnées exactes de ce point d'intersection.

Déterminer l'expression analytique d'une fonction exponentielle de la forme $f(x) = a^x + q$ à partir des informations suivantes :

1. Sa courbe se rapproche indéfiniment de la droite horizontale $y = -3$ lorsque les valeurs de $x$ sont très négatives, sans jamais la toucher.

2. La courbe passe par le point $P(2 ; 13)$.

Une fois les paramètres $a$ et $q$ calculés, indiquer en justifiant si la fonction est croissante ou décroissante en observant la valeur de la base obtenue, puis déterminer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées ($Y$).

Représenter graphiquement la fonction $f(x) = 3^{x-2} + 1$ après avoir établi un tableau de valeurs. Indiquer l'équation de son asymptote horizontale et calculer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le graphique suivant correspond à une fonction exponentielle de la forme $f(x) = a^x + b$. Observer ses éléments caractéristiques, comme l'asymptote horizontale et les points par lesquels elle passe, et déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$.

Déterminer, de façon analytique, les coordonnées exactes des points d'intersection de la fonction exponentielle $f(x) = 2^{x+1} - 8$ avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées.

Soit la fonction avec valeur absolue $f(x) = |3^x - 9|$ :

• a) L'écrire comme une fonction définie par morceaux, en déterminant au préalable en quel point l'expression intérieure change de signe.

• b) Déterminer ses points d'intersection avec les axes du repère.

• c) Indiquer sur quels intervalles la fonction est croissante et sur lesquels elle est décroissante.

Résoudre les équations exponentielles suivantes en égalant les bases des deux côtés de l'égalité :

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Résoudre l'équation exponentielle suivante en factorisant au préalable :

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Résoudre l'équation exponentielle suivante en appliquant les propriétés des puissances et en factorisant :

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Pour résoudre l'équation exponentielle $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$, on propose trois stratégies de résolution différentes :

• Stratégie A : essayer de factoriser directement $2^x$ dans les trois termes tels qu'ils sont écrits.

• Stratégie B : essayer d'égaler directement les bases sans transformer la structure de l'égalité.

• Stratégie C : exprimer toutes les puissances en base 2, simplifier les coefficients et effectuer le changement de variable $t = 2^x$ pour transformer l'expression en une équation du second degré.

1. a) Expliquer en détail pourquoi les stratégies A et B ne sont pas envisageables pour cette équation.
2. b) Appliquer la stratégie C pour résoudre l'équation étape par étape. Au cours du processus, vous obtiendrez deux valeurs possibles pour $t$ ; justifier laquelle il faut écarter en vous appuyant sur l'ensemble image de la fonction exponentielle $y = 2^x$.
3. c) Déterminer la valeur finale de $x$ et vérifier qu'elle satisfait l'équation initiale en la remplaçant dans celle-ci.

Une famille dépose $2000$ € sur un compte bancaire qui offre des intérêts composés de $4 \%$ par an. Quel capital aura-t-elle au bout de $2$ ans si elle ne retire aucun argent du compte ?

Le nombre d'abonnés d'un compte qui vient de devenir viral triple chaque jour. Si le compte compte initialement $100$ abonnés, écrire la fonction qui relie le nombre d'abonnés au temps écoulé en jours, et calculer combien d'abonnés il y aura au bout de $3$ jours.

Un investisseur souhaite obtenir un capital final de $5000$ € dans $5$ ans. Si sa banque lui propose un placement à intérêts composés au taux annuel de $3 \%$, quel capital initial doit-il placer aujourd'hui pour atteindre son objectif ? (Arrondir le résultat au centime.)

Un échantillon d'un isotope radioactif a une masse initiale de $200$ grammes. On sait que sa masse est divisée par deux tous les $10$ ans. Écrire l'expression de la fonction qui donne la masse restante en fonction du temps (en années) et calculer combien de grammes il restera exactement au bout de $30$ ans.

Le prix d'un téléphone portable haut de gamme tout juste mis sur le marché est de $800$ €. En raison de l'obsolescence technologique, sa valeur diminue de $20 \%$ chaque année. Écrire la fonction qui modélise le prix du portable en fonction du nombre d'années écoulées et calculer sa valeur au bout de $4$ ans.

Dans un hôpital, on administre à un patient une dose de $80\text{ mg}$ d'un médicament. La masse $M(t)$ de médicament qui reste dans son organisme (en milligrammes) après $t$ heures est décrite par la fonction exponentielle $M(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.

1. a) Sans calculer la valeur exacte avec la formule, estimer par un raisonnement entre quelles deux dizaines consécutives de milligrammes se situera la quantité de médicament au bout de 10 heures (indication : calculer mentalement la quantité exacte restante au bout de 8 et de 12 heures).
2. b) Calculer maintenant la valeur numérique exacte de $M(10)$ en arrondissant au centième et vérifier si votre estimation de la question précédente était correcte.
3. c) En vous appuyant sur les propriétés de la fonction exponentielle (son asymptote horizontale et son ensemble image), expliquer si l'organisme du patient peut, selon ce modèle, arriver un jour à contenir exactement $0\text{ mg}$ du médicament.

D'après des données démographiques inspirées des recensements de l'INSEE, une commune rurale comptait $1200$ habitants début 2015. En raison du vieillissement et de l'émigration, sa population diminue à un rythme constant de $5\,\%$ par an.

1. a) Écrire la formule de la fonction $P(t)$ qui exprime le nombre d'habitants en fonction du temps $t$ écoulé, en années, depuis 2015. Justifier si la fonction est croissante ou décroissante en analysant la valeur de sa base.
2. b) Calculer la population prévue pour cette commune début 2023, en arrondissant à l'entier le plus proche.
3. c) Un porte-parole de la mairie affirme dans la presse : « En perdant $5\,\%$ chaque année, en 20 ans nous aurons perdu $100\,\%$ de la population et le village comptera $0$ habitants ». Justifier mathématiquement pourquoi ce raisonnement linéaire est faux et calculer quel pourcentage de la population initiale de 2015 restera réellement au bout de ces 20 ans.

L'évolution d'une certaine invasion d'insectes suit un modèle exponentiel de la forme $N(t) = k \cdot a^t$, où $N(t)$ est le nombre d'insectes et $t$ le temps en semaines. Sachant qu'à l'instant initial ($t=0$) il y avait $5$ insectes et qu'au bout de $2$ semaines il y en avait $45$, calculer les valeurs des constantes $k$ et $a$. Déterminer ensuite combien d'insectes il y aura au bout de $4$ semaines.

Deux frères reçoivent chacun un héritage de $10000$ €. Le premier décide de placer son argent à intérêts simples au taux annuel de $5 \%$, tandis que le second le place à intérêts composés au taux annuel de $4 \%$. Écrire les fonctions qui décrivent le capital de chaque frère au fil du temps. Qui aura le plus d'argent au bout de $10$ ans ? Et au bout de $20$ ans ?

La population d'une ville A est actuellement de $100000$ habitants et augmente à un rythme constant de $4 \%$ par an. La population d'une ville B est de $150000$ habitants et diminue de $2 \%$ par an. Écrire les fonctions de population des deux villes. Vérifier, à la calculatrice par essais successifs (ou avec les logarithmes), en quelle année exactement la ville A dépassera la ville B en population.

D'après la loi de refroidissement de Newton, la température d'une tasse de thé dans une pièce est modélisée par la fonction $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, où $T(t)$ est la température en degrés Celsius et $t$ le temps en minutes écoulé depuis le service.

• a) Quelle était la température initiale du thé ?

• b) Quelle est la température ambiante de la pièce ? (Expliquer ce qui se passe lorsque le temps $t$ devient très grand.)

• c) Poser l'équation permettant de calculer à quelle minute la température du thé sera exactement de $55$ °C et la résoudre.

La pharmacocinétique étudie comment un médicament est éliminé du corps humain. On administre à un patient une dose initiale de $50$ mg d'un médicament. La quantité dans le sang diminue de façon exponentielle de sorte que, toutes les $6$ heures, la quantité est divisée par deux.

• a) Écrire la fonction $C(t)$ qui exprime les milligrammes de médicament dans le sang en fonction du temps $t$ mesuré en heures.

• b) Quelle quantité de médicament restera-t-il dans le sang du patient au bout d'une journée complète ($24$ heures) ?

Une banque propose un produit de placement avec un taux d'intérêt nominal annuel de $6 \%$.

• a) Écrire la fonction qui modélise le capital final si l'on place $3000$ € et que les intérêts sont versés annuellement (intérêts composés annuels).

• b) Écrire la fonction si les intérêts sont versés mensuellement (intérêts composés mensuels).

• c) Calculer la différence exacte de capital obtenu entre les deux modalités au bout de $5$ ans.

Dans un laboratoire de microbiologie, on analyse la croissance simultanée de deux colonies bactériennes distinctes, la souche A et la souche B, dans des conditions de culture contrôlées :

• La souche A compte initialement 150 bactéries et sa population double toutes les 3 heures, selon le modèle $N_A(t) = 150 \cdot 2^{t/3}$ ($t$ mesuré en heures).

• La souche B part d'une population plus importante, avec 1200 bactéries, mais se reproduit plus lentement, doublant toutes les 6 heures : $N_B(t) = 1200 \cdot 2^{t/6}$.

1. a) Écrire chaque fonction sous la forme $N(t) = N_0 \cdot b^t$ en déterminant la base horaire $b$ de chacune. À partir de la valeur de ces bases, justifier laquelle des deux souches croît au taux le plus élevé en pourcentage par heure.
2. b) Bien que la souche B parte avec 8 fois plus de bactéries que la souche A, la souche A finira-t-elle par la rattraper ? Poser l'équation $N_A(t) = N_B(t)$ et la résoudre en utilisant uniquement les propriétés des puissances pour trouver à quelle heure exacte elles auront le même nombre de bactéries.
3. c) Calculer le nombre de bactéries de chaque souche au bout de 24 heures et déterminer la différence entre les deux. Interpréter si le résultat obtenu est cohérent avec ce qui a été établi dans les questions précédentes.