Calcul numérique, fractions, puissances et pourcentages

Pourcentages et coefficient multiplicateur

Prendre un pourcentage d'une quantité. Dire « $p\ \%$ de $A$ », c'est calculer $\dfrac{p}{100}\times A$. En calcul mental, on s'appuie sur quelques repères :

• $10\ \%$ : on divise par $10$ ;

• $50\ \%$ : on divise par $2$ ;

• $25\ \%$ : on divise par $4$ ;

• $1\ \%$ : on divise par $100$.

On combine ces repères. Par exemple, $15\ \%$ de $60$ vaut $10\ \%+5\ \%$ de $60$, soit $6+3=9$.

Pourquoi $CM=1+t$ ? Augmenter de $t$, c'est garder la valeur de départ (le « $1$ ») et lui ajouter $t$ fois cette valeur.

Pour retrouver le taux, on lit le coefficient dans l'autre sens : $CM=1{,}08$ donne $t=+8\ \%$, et $CM=0{,}975$ donne $t=-2{,}5\ \%$.

TVA, prix HT et prix TTC. Avec une TVA de $20\ \%$, on a $\text{prix TTC}=\text{prix HT}\times1{,}2$. Un article à $40\ €$ HT coûte donc $48\ €$ TTC. Pour retrouver le prix HT, on divise : un article à $60\ €$ TTC vaut $60\div1{,}2=50\ €$ HT.

Évolutions successives et évolution réciproque

Si une quantité subit plusieurs évolutions de suite, on multiplie les coefficients multiplicateurs.

Ici, $CM_{global}=1{,}1\times0{,}9=0{,}99$, donc $t_{global}=-1\ \%$. Une hausse de $10\ \%$ suivie d'une baisse de $10\ \%$ ne ramène pas à la valeur de départ.

Évolution réciproque. C'est l'évolution qui annule une première évolution. Si l'évolution de départ a pour coefficient $CM$, la réciproque a pour coefficient $CM'=\dfrac{1}{CM}$.

Autre cas, une hausse de $50\ \%$ a pour coefficient $1{,}5=\dfrac{3}{2}$. Le coefficient réciproque est $\dfrac{2}{3}$, soit une baisse d'environ $33{,}3\ \%$. Le taux réciproque n'est donc pas l'opposé du taux de départ.

Retrouver une valeur de départ. Si $V_1=V_0\times CM$, alors $V_0=\dfrac{V_1}{CM}$.

Taux d'évolution moyen. Une quantité subit $n$ évolutions identiques de coefficient $CM$. Alors $CM_{global}=CM^n$, d'où $CM=CM_{global}^{1/n}$.

Fractions et écritures d'un nombre

Passer d'une écriture à une autre. Un même nombre peut s'écrire sous forme décimale, de fraction ou de pourcentage.

Pour obtenir l'écriture décimale de $\dfrac{2}{5}$, on cherche un dénominateur égal à $10$ ou $100$ : $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$. Pour un pourcentage, on se ramène à une fraction de dénominateur $100$ : $\dfrac{7}{100}=7\ \%=0{,}07$.

On simplifie toujours le résultat pour obtenir une fraction irréductible, en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Pour calculer une fraction d'une quantité, on multiplie : les $\dfrac{2}{3}$ de $90$ valent $\dfrac{2}{3}\times90=60$.

Ordre des opérations. Les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. Ainsi, $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$.

Comparer des nombres. On les met sous la même écriture, en général décimale. Par exemple, $\dfrac{1}{4}=0{,}25$, donc $0{,}3>\dfrac{1}{4}$.

Puissances, puissances de 10 et ordres de grandeur

Pour un entier $n\geqslant1$, $a^n=a\times a\times\cdots\times a$ ($n$ facteurs). Ainsi $2^5=32$ et $3^3=27$. On pose aussi $a^0=1$ et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, d'où $10^{-2}=\dfrac{1}{100}=0{,}01$.

Ces règles viennent du comptage des facteurs : $10^3\times10^2$ est $3$ facteurs puis $2$ facteurs, donc $5$ facteurs, soit $10^5$.

Écriture scientifique et décimale. Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite, et par $10^{-n}$ de $n$ rangs vers la gauche. Ainsi $2{,}5\times10^{-3}=0{,}0025$ et $0{,}6\times10^4=6\,000$. Une écriture scientifique s'écrit $a\times10^n$ avec $1\leqslant a<10$.

Quotients avec des puissances de 10. On traite séparément les nombres et les puissances : $\dfrac{0{,}6\times10^{4}}{3\times10^{-2}}=\dfrac{0{,}6}{3}\times10^{4-(-2)}=0{,}2\times10^{6}=200\,000$.

Ordre de grandeur. On remplace chaque nombre par une valeur proche et simple, puis on calcule. Pour $3{,}1\times10^{2}\times1{,}9\times10^{3}$, on prend $3\times2\times10^{5}=6\times10^{5}$. Cet ordre de grandeur est de l'ordre de $10^{6}$.

Conversions d'unités et intérêts simples

Durées. Une heure a $60$ minutes, donc $x$ minutes valent $\dfrac{x}{60}$ heure. Ainsi $150$ min $=2\times60+30$, soit $2$ h $30$ min, et $45$ min $=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}$ h.

Vitesses. $1\ \text{km}=1\,000\ \text{m}$ et $1\ \text{h}=3\,600\ \text{s}$, donc

Pour passer de km/h à m/s, on divise par $3{,}6$. Ainsi $36\ \text{km/h}=10\ \text{m/s}$. Pour faire l'inverse, on multiplie par $3{,}6$.

Intérêts simples. Avec des intérêts simples, les intérêts sont calculés chaque année sur le capital de départ uniquement. Pour un capital $C$ placé au taux annuel $t$, les intérêts annuels valent $C\times t$ et sont les mêmes chaque année. Au bout de $n$ ans, le total des intérêts est $C\times t\times n$.

Retour au début : un sweat à $60\ €$ avec $-30\ \%$ a pour coefficient $0{,}7$, donc il coûte $42\ €$. Léa a payé son sweat en moins de dix secondes de calcul mental.

L'essentiel

• Pourcentages : $p\ \%$ de $A$ vaut $\dfrac{p}{100}\times A$. On utilise les repères $10\ \%$, $50\ \%$ et $25\ \%$.

• Évolutions : $CM=1+t$ et $t=\dfrac{V_1-V_0}{V_0}$. Pour des évolutions successives, $CM_{global}=CM_1\times CM_2\times\cdots$ (on ne les additionne pas).

• Évolution réciproque : $CM'=\dfrac{1}{CM}$. Pour $n$ évolutions identiques, $CM=CM_{global}^{1/n}$.

• TVA et prix : $\text{TTC}=\text{HT}\times1{,}2$. On retrouve le HT en divisant par $1{,}2$.

• Fractions : on met au même dénominateur pour additionner, on multiplie pour multiplier, on multiplie par l'inverse pour diviser, et on simplifie à la fin.

• Puissances : $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$ et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

• Unités : pour passer de km/h à m/s, on divise par $3{,}6$. Les intérêts simples valent $C\times t\times n$.