Suites géométriques

Un jeune créateur de contenu sur un réseau social observe que le nombre de vues de ses vidéos augmente de façon constante. Le premier jour, il a obtenu $200$ vues, le deuxième $600$, le troisième $1800$, et ainsi de suite selon une suite géométrique.

1. a) Déterminer la raison $r$ de la suite.
2. b) Calculer combien de vues il recevra le sixième jour si cette tendance se maintient.

Un grand-père ouvre un compte d'épargne pour son petit-fils nouveau-né avec un capital initial de $2000$ €. La banque offre un intérêt simple annuel de $2,5 \%$.

1. a) Calculer les intérêts que générera le compte au bout de $10$ ans.
2. b) À combien s'élèvera le capital total accumulé au terme de cette période ?

Une banque propose un dépôt à intérêts composés avec un taux annuel de $3 \%$. Si l'on dépose $5000$ € sans effectuer aucun autre versement ni retrait :

1. a) Quel sera le capital final au bout de $4$ ans ?
2. b) Quel montant aura-t-on gagné uniquement grâce aux intérêts ?

Une jeune femme décide de placer ses économies de $2500 €$ dans un produit financier offrant un intérêt composé de $3,2 \%$ par an.

1. a) Quel sera le capital final si les intérêts sont capitalisés annuellement pendant 6 ans ?
2. b) Quelle serait la différence si la capitalisation était mensuelle plutôt qu'annuelle sur cette même période ?

En raison de l'inflation, le prix des loyers dans un quartier jeune de la ville augmente de $4 \%$ chaque année de façon cumulative. Si le prix actuel d'un studio est de $650$ € par mois :

1. a) Quel sera le prix du loyer dans $3$ ans ?
2. b) Identifier les éléments de la suite géométrique qui modélise cette situation (capital initial $C_0$ et raison $r$).

La valeur marchande d'un modèle de console de jeux vidéo se déprécie de $12 \%$ chaque année. Si le prix de lancement est de $499$ € :

1. a) Écrire les trois premiers termes de la suite des prix annuels.
2. b) Calculer la valeur de la console après $5$ ans.

Une entreprise de messagerie à Toulouse achète une camionnette de livraison électrique pour une valeur initiale de $28\,000$ €. L'entreprise sait que ce type de véhicule subit une dépréciation annuelle continue de $12\,\%$ par rapport à sa valeur de l'année précédente. Marc, le comptable stagiaire, calcule la valeur du véhicule au bout de $4$ ans de la manière suivante :

« Comme le véhicule perd $12\,\%$ chaque année, en $4$ ans il aura perdu $4 \cdot 12\,\% = 48\,\%$ de sa valeur d'origine. Par conséquent, la valeur comptable au bout de $4$ ans sera $28\,000 \cdot (1 - 0{,}48) = 14\,560$ € ».

1. a) Expliquer avec ses propres mots l'erreur conceptuelle commise par Marc et pourquoi sa méthode confond le modèle linéaire (intérêts simples) avec le processus géométrique de dépréciation.
2. b) Modéliser la valeur du véhicule par une suite géométrique : identifier le terme initial $a_1$ (valeur après la première année), la raison $r$ et écrire le terme général $a_n$ qui donne la valeur du véhicule à la fin de l'année $n$.
3. c) Calculer la valeur comptable réelle de la camionnette au bout de $4$ ans et déterminer de combien d'euros Marc a surestimé ou sous-estimé la valeur de l'actif.

D'après les données de l'INSEE, une commune du Massif central comptait $3\,200$ habitants recensés au $1$ janvier $2020$. En raison du vieillissement de la population et du manque de renouvellement des générations, sa population diminue chaque année à un rythme régulier de $4\,\%$ par rapport à celle de l'année précédente.

1. a) Modéliser l'évolution de la population par une suite géométrique : déterminer la raison $r$, écrire le terme général $P_n$ qui estime la population au bout de $n$ années écoulées depuis $2020$, et calculer la population prévue au $1$ janvier $2025$.
2. b) Si cette tendance se poursuit de façon constante, en quelle année la population de la commune passera-t-elle pour la première fois sous les $2\,000$ habitants ? Poser l'inéquation correspondante, la résoudre à l'aide des logarithmes (en prêtant une attention particulière aux propriétés des inégalités lors d'une division par un nombre négatif) et justifier la réponse temporelle.
3. c) À l'aide de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, calculer combien d'habitants la commune aura perdus au total du $1$ janvier $2020$ au $1$ janvier $2030$.

Soit la suite géométrique définie par les termes $a_2 = 12$ et $a_5 = 324$ :

1. a) Déterminer la raison $r$ et le premier terme $a_1$.
2. b) Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite.
3. c) Serait-il possible de calculer la somme de tous ses termes, en nombre infini ? Justifier la réponse.

Sarah dépose $5\,000$ € sur un compte à terme d'un établissement bancaire français qui lui garantit un intérêt de $4\,\%$ par an, composé, sans autres versements ni retraits.

1. a) Estimer, avant tout calcul analytique avec les logarithmes, au bout de combien d'années environ elle aura accumulé au moins $7\,000$ € (une augmentation de $40\,\%$ du capital initial). Pour cela, faire un calcul mental approché en ne considérant que l'intérêt simple de la première année et expliquer si la durée réelle avec intérêts composés sera un peu plus longue ou plus courte que cette estimation.
2. b) Poser l'équation du capital final $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$ et l'isoler à l'aide des logarithmes pour calculer le nombre exact de périodes nécessaires pour atteindre ou dépasser $7\,000$ €.
3. c) Comparer le résultat analytique avec l'estimation initiale et justifier quel nombre entier d'années Sarah doit attendre pour pouvoir retirer au minimum cette somme.

Un étudiant achète un ordinateur portable dernier cri pour $1200\ €$. On estime que la valeur de l'appareil se déprécie de $15\,\%$ chaque année de façon cumulative.

1. a) Quelle sera la valeur de l'ordinateur après 3 ans d'utilisation ?

1. b) Combien d'années doivent s'écouler pour que la valeur de l'ordinateur soit inférieure au quart de son prix d'origine ? (Utiliser les logarithmes pour le calcul.)

Calculer le capital final obtenu en plaçant $1500$ € pendant $2$ ans à un intérêt composé de $4 \%$ par an, si la période de capitalisation des intérêts est mensuelle (c'est-à-dire que les intérêts sont versés chaque mois).

Un investisseur étudie deux comptes d'épargne différents :

• Compte A : offre un intérêt de $4 \%$ par an avec capitalisation trimestrielle.

• Compte B : offre un intérêt de $4,05 \%$ par an avec capitalisation annuelle.

Déterminer en justifiant, en calculant le taux annuel effectif (TAE) du compte A, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour l'investisseur.

On compare deux produits d'investissement pour un capital de $10\,000$ € sur 4 ans :

• Produit A : intérêts composés annuels de $5\%$.

• Produit B : taux nominal de $4,8\%$ par an avec capitalisation mensuelle des intérêts.

Déterminer lequel des deux produits est le plus rentable en calculant le taux annuel effectif (TAE) de chacun. Expliquer pourquoi, bien que le produit B ait un taux nominal plus faible, la fréquence de capitalisation influe sur le résultat final.

Un collectionneur d'art achète une sculpture pour $12\,000$ €. On estime que sa valeur augmentera de $8\%$ chaque année de façon constante. Parallèlement, l'inflation moyenne prévue pour la prochaine décennie est de $2,5\%$ par an.

1. a) Quelle sera la valeur nominale de la sculpture au bout de 10 ans ?
2. b) Quelle sera la valeur réelle de la sculpture au bout de ces 10 ans, exprimée en « euros d'aujourd'hui » ? Pour cela, il faut déflater la valeur nominale à l'aide de l'indice des prix issu de l'inflation (qui suit lui aussi une progression géométrique).

Pour s'acheter un vélo électrique, une étudiante décide de relever le « défi de l'épargne hebdomadaire » : elle met de l'argent de côté chaque semaine de sorte que chaque versement soit le double du précédent. La première semaine, elle met de côté $2$ €, la deuxième $4$ €, la troisième $8$ €, et ainsi de suite.

1. a) Écrire le terme général $a_n$ de cette suite.
2. b) Utiliser la formule de la somme d'une suite géométrique pour déterminer combien d'argent elle aura accumulé au total au bout de $8$ semaines.

Une jeune entrepreneuse décide d'ouvrir un compte d'épargne pour financer son projet de marque de vêtements durables dans 5 ans. Pour cela, elle s'engage à verser $150$ € au début de chaque mois. La banque lui propose un taux d'intérêt nominal annuel de $4,5\%$, avec capitalisation mensuelle des intérêts.

Calculer le capital total accumulé au bout des 5 ans. Pour cela, il faut d'abord obtenir le taux d'intérêt mensuel équivalent, puis appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique (annuité de capitalisation).