Nombre dérivé et tangente
Dans un TGV Paris–Lyon, le compteur affiche 290 km/h à un instant précis. Pourtant, le train ne parcourt pas 290 km pendant cet instant : comment parler de vitesse « à un instant donné » ? C'est exactement la question à laquelle répond le nombre dérivé.
Taux d'accroissement et nombre dérivé
Pour une fonction $f$, le taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$ (avec $h \neq 0$) est
$$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$C'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points d'abscisses $a$ et $a+h$ de la courbe. Si $f$ est la position d'un train, c'est sa vitesse moyenne sur l'intervalle de temps.
Quand $h$ se rapproche de $0$, les deux points se rapprochent et la droite tourne autour du point d'abscisse $a$ : elle prend une position limite, la tangente.
Soit $f(x)=x^2$. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $1+h$ pour $h\neq 0$, puis en déduire $f'(1)$.
Soit $f(x)=x^2$. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $1+h$ pour $h\neq 0$, puis en déduire $f'(1)$.
Dérivées usuelles
Calculer un taux d'accroissement à chaque fois est long. On utilise les résultats suivants (admis dans cette classe), valables pour tout réel $x$.
Pourquoi $(x^2)'=2x$ ? L'exemple précédent donnait $4$ en $2$, soit $2\times 2$ : le taux d'accroissement de $x^2$ en $a$ vaut $2a+h$.
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : a) $f(x)=3x^2-5x+1$ b) $g(x)=x^3+2x$ c) $h(x)=7$
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
- a) $f(x)=3x^2-5x+1$
- b) $g(x)=x^3+2x$
- c) $h(x)=7$
La position d'un train en gare de Dijon, en mètres, est donnée par $d(t)=2t^2+10t$ où $t$ est en secondes. a) Calculer la vitesse moyenne entre $t=0$ et $t=5$. b)…
La position d'un train en gare de Dijon, en mètres, est donnée par $d(t)=2t^2+10t$ où $t$ est en secondes.
- a) Calculer la vitesse moyenne entre $t=0$ et $t=5$.
- b) Calculer la vitesse instantanée $d'(t)$ à l'instant $t=5$.
- c) À quel instant la vitesse instantanée est-elle égale à $30$ m/s ?
Équation de la tangente
La tangente en $a$ passe par le point $\bigl(a ; f(a)\bigr)$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$.
Cela vient de l'équation d'une droite : $y-f(a)=m\,(x-a)$ avec $m=f'(a)$.
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : on résout $f'(a)=0$. Une tangente parallèle à la droite $y=mx+p$ vérifie $f'(a)=m$.
Soit $f(x)=x^2-4x$. Calculer $f(3)$ et $f'(3)$, puis donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$.
Soit $f(x)=x^2-4x$. Calculer $f(3)$ et $f'(3)$, puis donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$.
Soit $f(x)=-x^2+4x+1$. a) Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$. b) Déterminer le point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation…
Soit $f(x)=-x^2+4x+1$.
- a) Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
- b) Déterminer le point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=-2x+5$.
- c) Étudier les variations de $f$.
Signe de la dérivée et variations
Intuition : la tangente monte quand $f'>0$ et descend quand $f'<0$. Là où $f'$ change de signe, la courbe change de sens : c'est un extremum.
Soit $f(x)=x^3-3x$. a) Calculer $f'(x)$. b) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. c) Déterminer les points où la tangente est…
Soit $f(x)=x^3-3x$.
- a) Calculer $f'(x)$.
- b) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
- c) Déterminer les points où la tangente est horizontale.
Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $[0;5]$. a) Calculer $f'(x)$ et la factoriser. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Déterminer le nombre de solutions de…
Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $[0;5]$.
- a) Calculer $f'(x)$ et la factoriser.
- b) Dresser le tableau de variations de $f$.
- c) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$ sur $[0;5]$ en justifiant.
Optimisation
Trouver le maximum d'un bénéfice, l'aire maximale d'un enclos, le coût minimal… revient à chercher un extremum d'une fonction. Méthode :
Les étapes à retenir : choisir la variable et son intervalle, exprimer la grandeur à optimiser, dériver, étudier le signe, conclure avec la valeur de l'extremum.
Pour un bénéfice : $B(x)=R(x)-C(x)$, recette moins coût. Le coût marginal est la dérivée $C'(x)$ : il mesure le coût d'une unité supplémentaire.
Une entreprise de Toulouse fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x\in[0;8]$. Le coût total en milliers d'euros est $C(x)=x^3-6x^2+15x+10$ et la recette est $R(x)=30x$.…
Une entreprise de Toulouse fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x\in[0;8]$. Le coût total en milliers d'euros est $C(x)=x^3-6x^2+15x+10$ et la recette est $R(x)=30x$.
- a) Exprimer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$.
- b) Étudier les variations de $B$ sur $[0;8]$.
- c) En déduire la production maximisant le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal.
On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur de ferme en Normandie (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note $x$ la…
On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur de ferme en Normandie (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note $x$ la largeur, perpendiculaire au mur.
- a) Exprimer la longueur parallèle au mur et l'aire $A(x)$ de l'enclos.
- b) Déterminer l'intervalle de définition de $x$.
- c) Utiliser la dérivée pour déterminer les dimensions qui maximisent l'aire, et calculer cette aire.
Vers le début : à un instant donné, la vitesse du TGV est le nombre dérivé de la fonction position. C'est la limite des vitesses moyennes sur des intervalles de plus en plus petits.
L'essentiel
-
Le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers le nombre dérivé $f'(a)$, coefficient directeur de la tangente.
-
$(k)'=0$, $(x)'=1$, $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$ ; la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et $(ku)'=ku'$.
-
Tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
-
Si $f'\ge 0$, $f$ est croissante ; si $f'\le 0$, elle est décroissante. Un extremum demande un changement de signe de $f'$.
-
Optimisation : intervalle, expression, dérivée, signe, tableau de variations, conclusion.