Fonctions et représentations graphiques

Pour convertir une température de $x$ degrés Celsius (°C) en degrés Fahrenheit (°F), on utilise la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=1{,}8x+32$.

1. Calculer $F(0)$ et $F(100)$. Interpréter ces deux résultats.

2. Déterminer l'antécédent de $50$ par $F$. Interpréter le résultat.

3. Le point $A(20\ ;\ 68)$ appartient-il à la courbe représentative de $F$ ? Justifier.

4. Préciser le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la courbe représentative de $F$.

5. Indiquer le sens de variation de $F$. Justifier.

À Marseille, un loueur propose un vélo avec le tarif suivant : $5\ €$ de frais de dossier, plus $2\ €$ par heure de location. On note $f(x)$ le prix, en euros, d'une location de $x$ heures. Un autre loueur propose un tarif sans frais de dossier à $3\ €$ de l'heure. On note $g(x)$ le prix, en euros, d'une location de $x$ heures chez ce second loueur.

1. Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs de $f$.

1. Calculer le prix d'une location de $6$ heures chez le premier loueur.

2. Déterminer la durée de location pour laquelle le prix est de $25\ €$ chez le premier loueur.

3. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ et interpréter le résultat.

4. Pour une location de $8$ heures, déterminer le loueur le moins cher.

Une cuve se vide à débit constant. On note $V(t)$ le volume d'eau, en litres, restant dans la cuve $t$ minutes après le début de la vidange. On sait que $V(2)=180$ et $V(6)=100$.

1. Montrer que $V$ est une fonction affine et déterminer son coefficient directeur. Interpréter ce résultat dans le contexte.

2. Montrer que $V(t)=-20t+220$.

3. Donner le volume d'eau dans la cuve au début de la vidange.

4. Déterminer la durée nécessaire pour vider complètement la cuve.

5. Indiquer l'intervalle de temps sur lequel cette modélisation est valable.

6. Indiquer le sens de variation de $V$.

Une boulangerie de Lyon étudie la vente de paniers de viennoiseries. Pour un prix de $x$ euros le panier, avec $x\in[0\ ;\ 40]$, on modélise :

• la demande hebdomadaire, en centaines de paniers, par $D(x)=-2x+100$ ;

• l'offre hebdomadaire, en centaines de paniers, par $O(x)=3x+10$.

• Indiquer le sens de variation de $D$ et celui de $O$. Interpréter ces résultats dans le contexte.

• Calculer $D(10)$ et $O(10)$.

• Résoudre l'équation $D(x)=O(x)$.

• En déduire le prix d'équilibre et la quantité échangée à l'équilibre. Donner les coordonnées du point d'intersection des courbes représentatives de $D$ et $O$.

• Pour un prix de $15\ €$, calculer $D(15)$ et $O(15)$. L'offre est-elle supérieure à la demande ?

À Nantes, deux sociétés proposent la location de trottinettes électriques. Pour un trajet de $x$ minutes :

• la société A facture $A(x)=0{,}2x+1$ euros ;

• la société B facture $B(x)=0{,}1x+4$ euros.

• Calculer $A(10)$ et $B(10)$.

• Résoudre l'équation $A(x)=B(x)$. Calculer le prix correspondant.

• Résoudre l'inéquation $A(x)

• Dans un repère, on représente les courbes représentatives de $A$ et de $B$ pour $x\in[0\ ;\ 60]$. Décrire ces courbes, préciser leur position relative selon la valeur de $x$ et donner les coordonnées de leur point d'intersection.

• Pour un trajet de $45$ minutes, déterminer la société la moins chère et le prix à payer.

• Un client dispose d'un budget de $6\ €$. Déterminer, pour chaque société, la durée maximale du trajet qu'il peut s'offrir. Quelle société lui permet de rouler le plus longtemps ?

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x\geqslant 0$ par $f(x)=3^x$.

1. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ et $f(4)$.

2. Indiquer le sens de variation de $f$. Justifier.

3. Résoudre l'équation $f(x)=27$.

4. Le point $B(2\ ;\ 9)$ appartient-il à la courbe représentative de $f$ ? Justifier.

5. On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x\geqslant 0$ par $g(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$. Calculer $g(2)$ et indiquer le sens de variation de $g$.

Une culture de bactéries compte $50$ individus au départ. Le nombre de bactéries, en fonction du temps $t$ écoulé en jours, est modélisé pour $t\geqslant 0$ par $N(t)=50\times4^t$.

1. Calculer $N(0)$, $N(1)$ et $N(2)$.

2. Calculer $N\left(\dfrac{1}{2}\right)$. On rappelle que $4^{1/2}=2$.

3. Indiquer le sens de variation de $N$. Justifier.

4. Résoudre l'équation $N(t)=3\,200$.

5. Préciser le taux d'évolution quotidien du nombre de bactéries.

Un laboratoire étudie une substance radioactive dont la quantité, en grammes, est donnée en fonction du temps $t$, exprimé en heures, par $q(t)=80\times0{,}25^{t/2}$ pour $t\geqslant 0$. On admet que les propriétés algébriques des puissances entières s'appliquent aux exposants réels.

1. Calculer $q(0)$, $q(2)$ et $q(4)$.

2. Justifier que $0{,}25^{1/2}=0{,}5$. En déduire $q(1)$.

3. Calculer $q(3)$. On rappelle que $0{,}25^{3/2}=\left(0{,}25^{1/2}\right)^3$.

4. Indiquer le sens de variation de $q$. Justifier.

5. Montrer que pour tout réel $t\geqslant 0$, $q(t+1)=0{,}5\times q(t)$. En déduire le taux d'évolution horaire de la quantité de substance et la demi-vie de la substance.

6. Déterminer à partir de quel instant la quantité de substance est inférieure ou égale à $10$ g.

Un maraîcher dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres, avec $x\in[0\ ;\ 20]$.

1. Montrer que la longueur de l'enclos est $20-x$, puis que son aire, en m², est $A(x)=-x^2+20x$.

2. Calculer $A(5)$ et $A(15)$. Que remarque-t-on ?

3. On donne le tableau de valeurs suivant.

La courbe représentative de $A$ est une parabole. On admet que son sommet est le point $S(10\ ;\ 100)$.

1. a) Dresser le tableau de variations de $A$ sur $[0\ ;\ 20]$.

1. b) En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale, ainsi que cette aire maximale. Quelle est la forme de cet enclos ?

1. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire de l'enclos est de $84$ m². Interpréter ce résultat dans le contexte.