Suites arithmétiques

Indiquer lesquelles des suites suivantes sont arithmétiques et, le cas échéant, donner leur raison :

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Une suite arithmétique a pour premier terme $a_1 = 5$ et pour raison $d = 3$.

1. a) Écrire ses cinq premiers termes.

1. b) Écrire le terme général $a_n$.

1. c) Calculer $a_{10}$.

Dans une suite arithmétique, $a_1 = 2$ et $a_5 = 14$.

1. a) Calculer la raison.

1. b) Écrire le terme général.

1. c) Quel rang occupe le terme $26$ ?

Les mesures des trois côtés d'un triangle rectangle forment une suite arithmétique de raison $d > 0$.

1. a) Exprimer les trois côtés en fonction du côté intermédiaire $b$ et de la raison $d$, puis appliquer le théorème de Pythagore.

1. b) Démontrer que les côtés sont nécessairement proportionnels à $3$, $4$ et $5$.

1. c) Donner un exemple concret de triangle rectangle dont les côtés forment une suite arithmétique de raison $7$.

Dire si les affirmations suivantes sur les suites arithmétiques sont vraies ou fausses, en les démontrant ou en donnant un contre-exemple :

1. a) « Trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $b = \frac{a + c}{2}$. »

1. b) « Dans une suite arithmétique, la somme de deux termes équidistants des extrémités est toujours la même : $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$ »

1. c) « Si l'on ajoute une même quantité à tous les termes d'une suite arithmétique, la raison change. »

La figure représente par des barres les six premiers termes d'une suite arithmétique.

1. a) Lire sur le graphique le premier terme $a_1$ et la raison $d$, et expliquer pourquoi les hauteurs des barres sont alignées sur une droite.

1. b) Écrire le terme général $a_n$.

1. c) Calculer $a_{20}$ et la somme des $20$ premiers termes.

On considère les suites arithmétiques $a_n$, de premier terme $a_1 = 7$ et de raison $2$, et $b_n$, de premier terme $b_1 = 40$ et de raison $-1$.

1. a) Écrire le terme général de chacune.

1. b) Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $a_n = b_n$ ? La calculer.

1. c) Interpréter le résultat : décrire avec des mots l'évolution de chaque suite et ce que signifie le terme commun.

Un livret d'épargne à intérêts simples au taux annuel de $3 \%$ part d'un capital de $2\,000\ \text{ €}$ qui n'est pas retiré : chaque année, les mêmes intérêts calculés sur le capital initial sont ajoutés.

1. a) Pourquoi les capitaux d'année en année forment-ils une suite arithmétique ? Indiquer son premier terme et sa raison.

1. b) Écrire le terme général du capital accumulé au bout de $n$ années.

1. c) Quel sera le capital au bout de $6$ ans ? Et au bout de $15$ ?

Insérer quatre termes entre $3$ et $18$ pour former une suite arithmétique (c'est-à-dire construire une suite arithmétique de six termes dont les extrémités sont $3$ et $18$).

1. a) Calculer la raison de la suite.

1. b) Écrire les six termes.

1. c) Vérifier que la somme des six termes coïncide avec la formule $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

L'amphithéâtre d'un parc compte $22$ places au premier rang, et chaque rang suivant compte $4$ places de plus que le précédent.

1. a) Combien de places compte le rang $8$ ?

1. b) Combien y a-t-il de places au total dans les $8$ premiers rangs ?

1. c) Pour un concert, il faut $600$ places. Combien de rangs complets faut-il au minimum ?

Un père propose à sa fille deux formules d'argent de poche mensuel :

• Formule A : $20\ \text{ €}$ le premier mois, avec une augmentation de $2\ \text{ €}$ chaque mois.

• Formule B : $8\ \text{ €}$ le premier mois, avec une augmentation de $3\ \text{ €}$ chaque mois.

1. a) Écrire le terme général de l'argent de poche de chaque formule au mois $n$.

1. b) À quel mois l'argent de poche mensuel des deux formules coïncide-t-il pour la première fois ?

1. c) À partir de quel mois le total cumulé de la formule B dépasse-t-il pour la première fois celui de la formule A ? Le justifier avec les formules de la somme et par un tâtonnement raisonné.

Considérer la suite arithmétique $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calculer la somme de ses $10$ premiers termes.

1. b) Vérifier le résultat en calculant d'abord $a_{10}$ puis en appliquant la formule de la somme.

Pour le voyage de fin d'année, une élève décide d'épargner en escalier : $10\ \text{ €}$ la première semaine, puis chaque semaine $5\ \text{ €}$ de plus que la précédente, comme le montre la figure.

1. a) Combien épargnera-t-elle la semaine $12$ ?

1. b) Combien aura-t-elle accumulé au total après ces $12$ semaines ?

1. c) Le voyage coûte $650\ \text{ €}$. Lui suffira-t-il de $16$ semaines d'épargne ? Justifier.

Combien de termes de la suite arithmétique $5, 9, 13, \ldots$ faut-il additionner pour obtenir $377$ ?

1. a) Écrire le terme général $a_n$ et l'expression de la somme $S_n$ des $n$ premiers termes.

1. b) Poser l'équation $S_n = 377$ et la résoudre. Pourquoi faut-il écarter l'une des solutions de l'équation du second degré ?