Équations, lecture graphique, fonctions et probabilités élémentaires
À l'épreuve anticipée de mathématiques, la partie 1 (6 points) est une série de questions courtes, sans calculatrice. Pas de longue rédaction : il faut aller vite et juste. Lucas a un contrôle demain : il sait qu'il devra résoudre $2x+3=11$ en dix secondes, calculer l'image d'un nombre, puis lire une probabilité dans un tableau. Voyons comment s'entraîner à ces réflexes.
Résoudre les équations du programme
Trois types d'équations reviennent tout le temps : $ax+b=cx+d$, $\dfrac{a}{x}=b$ et $x^2=a$.
Équation du premier degré. On regroupe les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, en faisant la même opération des deux côtés (c'est ce qui garde l'égalité vraie). Puis on divise par le coefficient de $x$.
Équation $\dfrac{a}{x}=b$ (avec $x\neq0$). On a $a=b\,x$, donc $x=\dfrac{a}{b}$. Par exemple $\dfrac{12}{x}=3$ donne $x=\dfrac{12}{3}=4$. Attention aux signes : $\dfrac{18}{x}=-6$ donne $x=-3$.
Équation $x^2=a$.
Ainsi $x^2=25$ a pour solutions $5$ et $-5$ ; $x^2=0{,}16$ a pour solutions $0{,}4$ et $-0{,}4$ ; $x^2=\dfrac{1}{9}$ a pour solutions $\dfrac13$ et $-\dfrac13$.
Moyenne et médiane d'une série. La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre. Pour la série $2$ ; $5$ ; $5$ ; $8$ : $\dfrac{2+5+5+8}{4}=\dfrac{20}{4}=5$. La médiane partage la série rangée par ordre croissant en deux groupes de même effectif : pour $1$ ; $4$ ; $6$ ; $9$ ; $10$, c'est la valeur du milieu, $6$.
1. Résoudre l'équation $2x+3=11$. 2. Résoudre l'équation $x^2=25$. 3. Résoudre l'équation $\dfrac{12}{x}=3$. 4. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par…
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Résoudre l'équation $2x+3=11$.
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Résoudre l'équation $x^2=25$.
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Résoudre l'équation $\dfrac{12}{x}=3$.
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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-2$. Calculer l'image de $4$ par $f$.
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On lance un dé équilibré à six faces. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.
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Calculer la moyenne de la série $4$ ; $6$ ; $8$.
1. Résoudre l'équation $3x+5=x+11$. 2. Résoudre l'équation $2x-4=5x+8$. 3. Résoudre l'équation $\dfrac{18}{x}=-6$. 4. Résoudre l'équation $x^2=0{,}16$. 5. Une fonction…
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Résoudre l'équation $3x+5=x+11$.
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Résoudre l'équation $2x-4=5x+8$.
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Résoudre l'équation $\dfrac{18}{x}=-6$.
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Résoudre l'équation $x^2=0{,}16$.
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Une fonction affine $f$ vérifie $f(1)=5$ et $f(3)=11$. Déterminer son coefficient directeur.
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Déterminer l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
1. Résoudre l'équation $7-2x=3x-3$. 2. Résoudre l'équation $\dfrac{36}{x}=-12$. 3. Résoudre l'équation $x^2=\dfrac{1}{9}$. Une urne contient $4$ boules indiscernables au…
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Résoudre l'équation $7-2x=3x-3$.
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Résoudre l'équation $\dfrac{36}{x}=-12$.
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Résoudre l'équation $x^2=\dfrac{1}{9}$.
Une urne contient $4$ boules indiscernables au toucher : $1$ rouge et $3$ vertes. On tire une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On recommence une seconde fois.
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Calculer la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage.
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Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
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Calculer la probabilité de tirer au moins une boule rouge sur les deux tirages.
Fonctions affines : image, antécédent, coefficient directeur
Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$. Sa courbe est une droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$.
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Image de $4$ : on remplace $x$ par $4$. Pour $f(x)=3x-2$, $f(4)=3\times4-2=10$.
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Antécédent de $16$ : on résout $f(x)=16$.
Pour savoir si un point appartient à la droite, on remplace ses coordonnées dans l'équation. Pour $D : y=2x+1$ et $C(3\,;\,7)$ : $2\times3+1=7$, donc $C\in D$.
Si l'on ne connaît ni $f(0)$ ni $b$ : avec $f(1)=5$ et $f(3)=11$, $a=\dfrac{11-5}{3-1}=3$, puis $3\times1+b=5$ donne $b=2$ et $f(x)=3x+2$.
Dans un repère, la droite $D$ passe par les points $A(0\ ;\ 1)$ et $B(2\ ;\ 5)$. 1. Déterminer le coefficient directeur de la droite $D$. 2. Donner l'équation réduite de…
Dans un repère, la droite $D$ passe par les points $A(0\ ;\ 1)$ et $B(2\ ;\ 5)$.
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Déterminer le coefficient directeur de la droite $D$.
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Donner l'équation réduite de la droite $D$.
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Le point $C(3\ ;\ 7)$ appartient-il à la droite $D$ ?
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Résoudre l'équation $2x+1=9$.
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On lance deux fois une pièce équilibrée. Calculer la probabilité d'obtenir deux fois « pile ».
1. Résoudre l'équation $3x-7=5$. 2. Résoudre l'équation $x^2=9$. 3. Résoudre l'équation $\dfrac{10}{x}=2$. 4. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par…
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Résoudre l'équation $3x-7=5$.
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Résoudre l'équation $x^2=9$.
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Résoudre l'équation $\dfrac{10}{x}=2$.
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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x+1$. Calculer l'image de $3$ par $f$.
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Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit rouge.
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Déterminer la médiane de la série $3$ ; $5$ ; $9$ ; $12$ ; $20$.
1. Résoudre l'équation $2(x-3)=x+4$. 2. Résoudre l'équation $\dfrac{5}{x}=0{,}5$. 3. Résoudre l'équation $3x^2=48$. 4. Une fonction affine $f$ vérifie $f(0)=4$ et…
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Résoudre l'équation $2(x-3)=x+4$.
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Résoudre l'équation $\dfrac{5}{x}=0{,}5$.
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Résoudre l'équation $3x^2=48$.
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Une fonction affine $f$ vérifie $f(0)=4$ et $f(2)=10$. Déterminer l'expression de $f(x)$.
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Déterminer l'antécédent de $16$ par la fonction $f$.
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On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces. Calculer la probabilité d'obtenir deux fois le numéro $6$.
Fonction exponentielle $a^x$
La fonction $f(x)=a^x$ ($a>0$, $x\geqslant0$) prolonge les suites géométriques : $f(n)=a^n$.
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$a^0=1$ pour tout $a>0$ ;
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si $a>1$, $f$ est croissante ; si $0
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$a^{1/2}=\sqrt a$, et plus généralement $a^{1/n}$ est la racine $n$-ième de $a$.
Pour $f(x)=2^x$ : $f(0)=1$, $f(3)=8$, croissante. Pour $g(x)=\left(\dfrac12\right)^x$ : $g(2)=\dfrac14$, décroissante. Et $4^{1/2}=2$.
Pour résoudre $2^x=16$ sans calculatrice, on teste des puissances : $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$. Donc $x=4$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x\geqslant 0$ par $f(x)=2^x$. 1. Calculer $f(0)$. 2. Calculer $f(3)$. 3. Indiquer si la fonction $f$ est croissante…
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x\geqslant 0$ par $f(x)=2^x$.
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Calculer $f(0)$.
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Calculer $f(3)$.
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Indiquer si la fonction $f$ est croissante ou décroissante.
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Résoudre l'équation $2^x=16$.
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Calculer $4^{1/2}$.
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On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x\geqslant 0$ par $g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$. Calculer $g(2)$.
Lecture graphique
Sur une courbe, on lit une image sur l'axe des abscisses puis on monte jusqu'à la courbe et on lit l'ordonnée. Pour un antécédent ou un seuil, on part de l'axe des ordonnées, on va jusqu'à la courbe et on descend lire l'abscisse. Avant de lire, regarde toujours les unités et l'échelle des axes.
Pour les variations : la courbe qui monte de gauche à droite correspond à une fonction croissante, celle qui descend à une fonction décroissante.
Probabilités et tableaux croisés
Équiprobabilité. $P(A)=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues}}$. Avec un dé : $P(\text{pair})=\dfrac36=\dfrac12$. Avec une urne de $3$ rouges et $2$ bleues : $P(\text{rouge})=\dfrac35$.
Répétitions indépendantes. On multiplie les probabilités le long du chemin. Deux « pile » : $\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$. Deux « 6 » : $\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac1{36}$.
« Au moins un » : on passe par l'événement contraire. Dans l'urne avec $1$ rouge sur $4$, tirages avec remise : $P(\text{aucune rouge})=\dfrac34\times\dfrac34=\dfrac9{16}$, donc $P(\text{au moins une rouge})=1-\dfrac9{16}=\dfrac7{16}$.
Tableau croisé. Reprenons un lycée de $40$ élèves.
| Demi-pensionnaire | Externe | Total | |
|---|---|---|---|
| Fille | 15 | 5 | 20 |
| Garçon | 10 | 10 | 20 |
| Total | 25 | 15 | 40 |
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Fréquence marginale des demi-pensionnaires : $\dfrac{25}{40}=0{,}625$.
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Fréquence conditionnelle des demi-pensionnaires parmi les filles : $\dfrac{15}{20}=0{,}75$ (on se restreint à la ligne des filles).
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Fréquence des filles parmi les demi-pensionnaires : $\dfrac{15}{25}=0{,}6$ (on se restreint à la colonne).
Dans un lycée, on a interrogé $40$ élèves sur leur mode de restauration. Les résultats sont donnés dans le tableau croisé d'effectifs suivant. | | Demi-pensionnaire |…
Dans un lycée, on a interrogé $40$ élèves sur leur mode de restauration. Les résultats sont donnés dans le tableau croisé d'effectifs suivant.
| Demi-pensionnaire | Externe | |
|---|---|---|
| Fille | 15 | 5 |
| Garçon | 10 | 10 |
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Déterminer le nombre de filles parmi les élèves interrogés.
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Calculer la fréquence marginale des élèves demi-pensionnaires.
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Calculer la fréquence des demi-pensionnaires parmi les filles.
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Calculer la fréquence des filles parmi les élèves demi-pensionnaires.
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On choisit au hasard un élève parmi les $40$ élèves interrogés. Calculer la probabilité qu'il soit externe.
Dans une population de $1\,000$ personnes, $100$ sont atteintes d'une maladie. On leur fait passer un test. Parmi les $100$ malades, $90$ ont un test positif. Parmi les…
Dans une population de $1\,000$ personnes, $100$ sont atteintes d'une maladie. On leur fait passer un test. Parmi les $100$ malades, $90$ ont un test positif. Parmi les $900$ personnes non malades, $45$ ont un test positif.
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Déterminer le nombre total de personnes ayant un test positif.
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On choisit une personne au hasard dans la population. Calculer la probabilité que son test soit positif.
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Calculer la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade.
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Calculer la probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
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Calculer la fréquence des tests positifs parmi les personnes non malades, en pourcentage.
Retour au début : avec ces méthodes, chaque question de la partie 1 se traite en quelques lignes, sans calculatrice.