Indices, indice des prix à la consommation et taux

Le prix d'un ticket de bus était de $2,50\ \text{ €}$ en 2023 et de $2,65\ \text{ €}$ en 2024.

1. a) Calculer l'indice du prix en 2024 en base 2023.

1. b) Quelle a été l'évolution du prix en pourcentage ?

L'indice du prix du menu du jour dans une ville, en base 2021, vaut $108,5$ en 2024.

1. a) Expliquer avec vos propres mots ce que signifie cette valeur.

1. b) Si un menu coûtait $11\ \text{ €}$ en 2021, combien coûte-t-il en 2024 si son prix a suivi cet indice ? Arrondir au centime.

Le tableau donne le prix d'un jeu vidéo sur trois années : 2022 : $60\ \text{ €}$ ; 2023 : $66\ \text{ €}$ ; 2024 : $69\ \text{ €}$.

1. a) Construire la série des indices en base 2022.

1. b) En quelle année le prix a-t-il le plus augmenté, en pourcentage, par rapport à l'année précédente ?

La série des indices du prix des transports urbains, en base 2018, est : 2018 : $100$ ; 2019 : $103,2$ ; 2020 : $107,5$ ; 2021 : $112,1$.

1. a) Construire la même série en prenant 2021 comme base (indice $100$ en 2021), en arrondissant au dixième.

1. b) Quelle information se conserve et laquelle change lors du changement de base ?

Une chaîne de supermarchés dispose d'une série d'indices de ses ventes en base 2020 et d'une autre en base 2023, mais le raccordement manque. Les données connues sont :

• Base 2020 : indice de 2021 $= 104$, indice de 2022 $= 109$, indice de 2023 $= 115$.

• Base 2023 : indice de 2024 $= 106$, indice de 2025 $= 110$.

1. a) Calculer les indices de 2024 et 2025 en base 2020 (c'est-à-dire raccorder les deux séries).

1. b) Quelle a été l'évolution en pourcentage totale des ventes entre 2020 et 2025 ?

1. c) Et l'évolution annuelle moyenne sur cette période ? L'exprimer en pourcentage arrondi au dixième (utiliser la racine de l'indice global).

Une salariée percevait un salaire net de $1\,500$ € par mois en 2018 et perçoit $1\,720$ € par mois en 2024. Pour évaluer si elle a gagné ou perdu du pouvoir d'achat, elle consulte les séries de l'indice des prix de l'INSEE, mais constate qu'un changement de base a eu lieu en 2021 :\n- Ancienne série (base $2016 = 100$) : indice en 2018 $= 103,5$ ; indice en 2021 $= 110,0$.\n- Nouvelle série (base $2021 = 100$) : indice en 2021 $= 100,0$ ; indice en 2024 $= 114,2$.\n\nPour calculer l'inflation cumulée entre 2018 et 2024, deux démarches sont envisagées :\n- Méthode 1 (raccorder vers l'ancienne base) : multiplier les indices de la nouvelle série par le coefficient de raccordement $k = \frac{110,0}{100,0}$ pour exprimer l'année 2024 en base 2016, puis calculer l'évolution en pourcentage entre 2018 et 2024.\n- Méthode 2 (ramener la série en base 2021) : changer directement la base de l'année 2018 en base 2021 en divisant son indice par $110,0$ et en multipliant par $100$, puis calculer l'évolution entre 2018 et 2024 dans cette même base.\n\na) Développer entièrement les deux méthodes avec les données numériques et démontrer algébriquement qu'elles conduisent exactement au même pourcentage d'évolution cumulée de l'indice des prix.\nb) Comparer les deux procédés et justifier lequel est préférable ou plus efficace s'il fallait actualiser tout un tableau de prix d'une entreprise entre 2015 et 2024.\nc) À l'aide de l'inflation cumulée calculée, déterminer le salaire réel perçu par la salariée en 2024 en prix constants de 2018, puis conclure en justifiant si elle a gagné ou perdu du pouvoir d'achat et de quel pourcentage exact par rapport à sa situation initiale.

L'inflation annuelle sur trois années consécutives a été de $3,5 \%$, $2,8 \%$ et $4,1 \%$.

1. a) Calculer le coefficient multiplicateur global sur les trois ans et la hausse totale cumulée, arrondie au centième.

1. b) Si un litre de lait coûtait $0,95\ \text{ €}$ au début de la première année et que son prix a augmenté exactement comme l'indice des prix, combien coûte-t-il à la fin de la troisième année ? Arrondir au centime.

La figure montre l'évolution d'un indice de prix en base $100$ en 2021.

1. a) Quelle a été l'évolution totale en pourcentage des prix entre 2021 et 2025 ?

1. b) En quelle année la plus forte hausse annuelle a-t-elle eu lieu ? La calculer à partir des indices, sans la lire à l'œil.

1. c) Calculer le taux d'évolution annuel moyen sur la période (celui qui, répété quatre fois, donnerait le même indice final). Arrondir au centième.

Lors d'un débat télévisé, un intervenant affirme : « l'indice des prix a augmenté de $5 \%$ en 2023 et baissé de $5 \%$ en 2024, donc les prix sont revenus exactement là où ils étaient en 2022 ».

1. a) Montrer avec un prix concret (par exemple $100\ \text{ €}$) que l'affirmation est fausse, et calculer le coefficient multiplicateur global sur les deux ans.

1. b) De quel pourcentage les prix auraient-ils dû baisser en 2024 pour revenir exactement au niveau de 2022 ? Arrondir au centième.

1. c) Expliquer, en une phrase compréhensible par n'importe quel citoyen, pourquoi une hausse de $5 \%$ suivie d'une baisse de $5 \%$ ne se compensent pas.

La figure compare l'évolution de l'indice des prix et de l'indice des salaires d'un pays (tous deux en base $100$ trois ans plus tôt).

1. a) Quelle a été la hausse totale en pourcentage des prix et celle des salaires sur la période ?

1. b) Les salaires ont-ils gagné ou perdu du pouvoir d'achat ? Calculer l'indice d'évolution réelle (indice des salaires divisé par l'indice des prix, multiplié par $100$) de la dernière année et l'interpréter.

1. c) Si, la dernière année, un salarié gagnait $1\,650\ \text{ €}$ par mois, quel salaire lui faudrait-il pour retrouver le pouvoir d'achat d'il y a trois ans ?

En 2022, le loyer d'un appartement était de $850\ \text{ €}$ par mois. Le bail est révisé chaque année selon l'indice des prix : en 2023 l'inflation a été de $3,1 \%$ et en 2024 de $2,6 \%$.

1. a) Calculer le loyer mensuel en 2024 après les deux révisions, arrondi au centime.

1. b) Le locataire veut comparer le loyer de 2024 « en euros de 2022 ». Comme les prix ont augmenté autant que son loyer, expliquer quel indice il utiliserait et quelle conclusion il en tire.

1. c) Si en 2025 l'inflation est de $5 \%$ et que le propriétaire décide de ne pas réviser le loyer, de quel pourcentage le loyer a-t-il baissé en termes réels ? Arrondir au centième.

Pour analyser le panier de consommation d'une famille moyenne, on considère uniquement trois postes de consommation avec leurs pondérations (poids) et leurs indices de prix par rapport à l'année précédente :\n- Alimentation : pondération $p_1 = 0,35$ ; indice des prix $I_1 = 108$ (hausse de $8\,\%$).\n- Logement et charges : pondération $p_2 = 0,45$ ; indice des prix $I_2 = 102$ (hausse de $2\,\%$).\n- Loisirs et transport : pondération $p_3 = 0,20$ ; indice des prix $I_3 = 99$ (baisse de $1\,\%$).\n\na) Avant de calculer le résultat numérique exact, estimer de façon argumentée dans quel intervalle se situera l'indice des prix global. Sera-t-il plus proche de $102$, de $105$ ou de $108$ ? Justifier l'estimation en s'appuyant sur le poids de chaque poste de dépenses.\nb) Calculer l'indice pondéré exact.\nc) Vérifier si l'estimation initiale était cohérente et en déduire le taux d'inflation globale annuel (évolution en pourcentage) de cette famille.

Le service statistique d'une mairie élabore un indice local des prix à trois composantes principales :\n- Alimentation (poids $p_1 = 0,30$).\n- Logement et loyer (poids $p_2 = 0,50$).\n- Transport municipal (poids $p_3 = 0,20$).\n\nÀ la fin de l'année, la mairie annonce que l'indice des prix général de la commune a augmenté exactement de $4,1\,\%$ par rapport à l'année de base (c'est-à-dire que l'indice global pondéré vaut $104,1$). En examinant les séries partielles, on constate que l'indice Logement et loyer a augmenté de $3\,\%$ ($I_2 = 103$) et que le Transport a baissé de $2\,\%$ ($I_3 = 98$), mais que l'enregistrement de l'indice Alimentation ($I_1$) a été perdu.\n\na) Poser une équation du premier degré faisant intervenir la moyenne pondérée de l'indice des prix et dont l'inconnue est $I_1$.\nb) Résoudre l'équation et calculer l'indice de l'Alimentation ainsi que son taux d'évolution en pourcentage.\nc) Si l'équipe municipale s'était fixé comme objectif que l'inflation globale de la commune ne dépasse pas $3,5\,\%$, quel aurait dû être, au maximum, le pourcentage d'augmentation des prix de l'alimentation, les évolutions du logement et du transport restant constantes ?

L'indice des prix d'un pays se calcule comme une moyenne pondérée des indices de plusieurs postes de dépenses. Une année, les données sont :

• Alimentation et boissons : pondération $25 \%$, hausse de $9 \%$.

• Logement et charges : pondération $30 \%$, hausse de $4 \%$.

• Transport : pondération $15 \%$, hausse de $6 \%$.

• Autres postes : pondération $30 \%$, hausse de $2 \%$.

1. a) Calculer l'indice des prix global de l'année, arrondi au centième.

1. b) Un salarié dont le salaire a augmenté de $3,5 \%$ cette année affirme qu'il « a perdu du pouvoir d'achat ». A-t-il raison ? Justifier en calculant le coefficient multiplicateur réel de son salaire.

1. c) Un autre salarié dépense la moitié de son salaire en logement et l'autre moitié en autres postes à parts égales. Expliquer pourquoi son « inflation personnelle » peut être différente de l'indice des prix officiel.

Une plateforme immobilière analyse la série des prix du loyer au mètre carré dans une capitale entre 2019 et 2024, en prenant $2019 = 100$ comme année de base :\n- En 2020, le prix a subi une baisse de $4\,\%$ par rapport à 2019.\n- En 2021, le prix a augmenté de $5\,\%$ par rapport à 2020.\n- Pendant la période 2021-2023, le prix a augmenté avec un taux d'évolution annuel moyen constant de $6\,\%$ chaque année.\n- Pour 2024, l'entreprise souhaite ajuster ses tarifs de sorte que le taux d'évolution annuel moyen sur l'ensemble du quinquennat (la période complète 2019-2024, soit $5$ ans) soit exactement de $4\,\%$ par an.\n\na) Modéliser l'évolution de la série en calculant l'indice des prix en 2020, 2021 et 2023 en base 2019 (arrondir les indices à deux décimales).\nb) Écrire l'équation qui permet d'obtenir l'indice des prix de l'année 2024 pour satisfaire la condition du taux annuel moyen quinquennal de $4\,\%$, et calculer la valeur de cet indice $I_{2024}$.\nc) À partir des résultats précédents, en déduire quelle évolution exacte en pourcentage doit être appliquée au loyer en 2024 par rapport aux prix de 2023.\nd) Un conseiller commercial propose : « Comme en 2020 le prix a varié de $-4\,\%$, en 2021 de $+5\,\%$, en 2022 de $+6\,\%$ et en 2023 de $+6\,\%$, la somme cumulée est $-4 + 5 + 6 + 6 = 13\,\%$. Pour atteindre en cinq ans une moyenne de $4\,\%$ par an (soit au total $20\,\%$), il suffira en 2024 d'augmenter de $7\,\%$ (car $13 + 7 = 20$) ». Argumenter avec rigueur mathématique pourquoi le raisonnement du conseiller est faux en calcul financier et en indices, et indiquer si son estimation est supérieure ou inférieure à la valeur réelle nécessaire.

Dans un pays de $2,1$ millions d'habitants, le taux de natalité est de $7,1$ naissances pour $1\,000$ habitants.

1. a) Combien de naissances ont été enregistrées cette année-là, approximativement ?

1. b) Si le taux de mortalité a été de $9,3$ pour $1\,000$ habitants, la population croît-elle ou décroît-elle pour des causes naturelles ? Le quantifier.

Dans un rapport socioéconomique local, on relève les données suivantes de l'enquête Emploi :\n- Population de $16$ ans ou plus : $500\,000$ personnes.\n- Personnes en emploi : $270\,000$.\n- Personnes au chômage : $30\,000$.\n\nMarc, un lycéen, écrit dans son devoir : « Le taux de chômage du territoire est de $6\,\%$, car on le calcule en divisant les $30\,000$ chômeurs par les $500\,000$ personnes en âge de travailler et en multipliant par $100$ ».\n\na) Repérer l'erreur conceptuelle commise par Marc et rédiger une brève explication de la raison pour laquelle sa démarche ne correspond pas à la définition du taux de chômage.\nb) Calculer correctement le taux d'activité et le taux de chômage de ce territoire (exprimés en pourcentage arrondi au centième).\nc) Si l'année prochaine $10\,000$ personnes parmi les chômeurs décident de cesser de chercher activement un emploi pour s'inscrire à l'université à temps plein, que se passera-t-il qualitativement pour le taux de chômage (il augmentera, diminuera ou ne changera pas), en supposant que les autres variables restent constantes ? Justifier la réponse.

Dans une commune de $48\,300$ habitants, on a enregistré $415$ naissances et $502$ décès sur une année.

1. a) Calculer le taux de natalité et le taux de mortalité (pour $1\,000$ habitants), arrondis au centième.

1. b) Calculer le solde naturel (naissances moins décès) et l'exprimer aussi comme un taux pour $1\,000$ habitants. La population croît-elle ou décroît-elle pour des causes naturelles ?

1. c) Si la population totale a pourtant augmenté de $600$ personnes cette année-là, quelle autre composante démographique explique la différence ? La quantifier.

Dans une région, les données du marché du travail de l'Année 1 selon l'INSEE sont les suivantes :\n- Population de $16$ ans ou plus : $2\,000\,000$ de personnes.\n- Taux d'activité : $60\,\%$.\n- Taux de chômage : $15\,\%$.\n\nEn Année 2, une récession économique survient. La population de $16$ ans ou plus reste de $2\,000\,000$ de personnes, mais deux phénomènes simultanés se produisent : $20\,000$ emplois sont détruits (le nombre de personnes en emploi diminue de $20\,000$, ces personnes passant d'abord au chômage) et, en même temps, $40\,000$ chômeurs sont touchés par l'« effet de découragement » (ils cessent de chercher activement un emploi et quittent la population active pour l'inactivité).\n\na) Déterminer pour l'Année 1 la population active, le nombre de personnes en emploi et le nombre de chômeurs.\nb) Déterminer pour l'Année 2 la nouvelle population active, le nouveau nombre de personnes en emploi et le nouveau nombre de chômeurs. En déduire le nouveau taux d'activité et le nouveau taux de chômage (arrondis à deux décimales).\nc) Interpréter le résultat : pourquoi le taux de chômage a-t-il diminué alors que des emplois nets ont été détruits ? Expliquer quel risque il y a à évaluer la santé de l'emploi en regardant uniquement le taux de chômage sans tenir compte du taux d'activité.

Le tableau présente des données approximatives de l'enquête Emploi de deux régions pour un trimestre :

• Région A : population active $2\,400\,000$ personnes, chômeurs $312\,000$, personnes en emploi $2\,088\,000$.

• Région B : population active $950\,000$ personnes, chômeurs $123\,500$, personnes en emploi $826\,500$.

1. a) Calculer le taux de chômage de chaque région, arrondi au centième.

1. b) Dans la région A, la population de $16$ ans ou plus est de $4\,300\,000$ personnes. Calculer son taux d'activité, arrondi au centième.

1. c) Un titre de presse affirme : « La région B a moins de chômage parce qu'elle a moins de chômeurs ». Critiquer ce titre à l'aide des taux calculés et expliquer pourquoi les taux permettent de comparer des populations de tailles différentes.