Modélisation quadratique
Un ballon de handball est lancé en l'air. Sa hauteur monte, atteint un maximum, puis redescend. Quand touche-t-il le sol ? À quelle hauteur monte-t-il au plus ? Dans ce chapitre, tu vas apprendre à répondre à ces questions avec une fonction du second degré, dont la courbe est une parabole.
Fonctions du second degré et paraboles
Beaucoup de phénomènes ne sont ni linéaires ni exponentiels : la distance de freinage d'une voiture, la trajectoire d'un jet d'eau, l'aire d'un rectangle dont on fait varier un côté. Tous se modélisent par une fonction de la forme suivante.
Le signe de $a$ donne la forme de la parabole :
-
si $a>0$, elle est « ouverte vers le haut » et elle a un point le plus bas (un minimum) ;
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si $a<0$, elle est « ouverte vers le bas » et elle a un point le plus haut (un maximum).
Ce point extrême s'appelle le sommet de la parabole. La droite verticale qui passe par le sommet est un axe de symétrie de la courbe.
Pour calculer une image, on remplace $x$ : si $f(x)=x^2+4x+3$, alors $f(2)=4+8+3=15$.
Un tableur permet aussi de construire un tableau de valeurs : on remplit une colonne avec les valeurs de $x$ et on écrit la formule de $f$ dans la colonne voisine.
Essaie de faire varier les coefficients ci-dessous. Observe ce qui change quand $a$ passe de positif à négatif.
Un ballon est lancé et sa hauteur (en m) est $h(t)=-5t^2+10t$, avec $t$ en secondes. a) Calculer $h(0)$, $h(1)$ et $h(2)$. b) À quel instant le ballon retouche-t-il le…
Un ballon est lancé et sa hauteur (en m) est $h(t)=-5t^2+10t$, avec $t$ en secondes.
- a) Calculer $h(0)$, $h(1)$ et $h(2)$.
- b) À quel instant le ballon retouche-t-il le sol ?
La distance de freinage d'un véhicule est modélisée par $d(v)=0,006\,v^2$ où $v$ est la vitesse en km/h et $d$ en m. a) Calculer $d$ pour $v=50$, $v=90$ et $v=130$. b)…
La distance de freinage d'un véhicule est modélisée par $d(v)=0,006\,v^2$ où $v$ est la vitesse en km/h et $d$ en m.
- a) Calculer $d$ pour $v=50$, $v=90$ et $v=130$.
- b) Par quel facteur $d$ est-elle multipliée quand $v$ est doublée ?
- c) Déterminer la vitesse pour laquelle la distance de freinage vaut $54$ m.
Sommet, variations et optimisation
Pour trouver le maximum d'une hauteur ou le minimum d'un coût, il suffit de trouver le sommet de la parabole.
Pourquoi cette formule ? La parabole est symétrique par rapport à son axe. Si $f(x)=ax^2+bx$ (avec $c=0$), alors $f(x)=0$ pour $x=0$ et pour $x=-\dfrac{b}{a}$. L'axe de symétrie passe au milieu de ces deux valeurs, donc en $-\dfrac{b}{2a}$. Ajouter $c$ ne fait que décaler la courbe verticalement.
Voici le tableau de variations pour $a<0$ :
| $x$ | $-\infty$ | $x_S$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $\nearrow$ | $f(x_S)$ | $\searrow$ |
Pour résoudre $f(x)=0$, on peut utiliser le sommet, la symétrie de la parabole et un tableur ou la lecture graphique, comme dans l'exemple suivant.
Soit $f(x)=x^2-6x+5$. a) Calculer $f(0)$ et résoudre $f(x)=0$. b) Déterminer l'abscisse du sommet de la parabole, donnée par $-\dfrac{b}{2a}$.
Soit $f(x)=x^2-6x+5$.
- a) Calculer $f(0)$ et résoudre $f(x)=0$.
- b) Déterminer l'abscisse du sommet de la parabole, donnée par $-\dfrac{b}{2a}$.
Un fabricant de vélos à Saint-Étienne modélise son bénéfice mensuel (en centaines d'euros) par $B(x)=-x^2+12x-20$, où $x$ est le nombre de vélos vendus (en dizaines). a)…
Un fabricant de vélos à Saint-Étienne modélise son bénéfice mensuel (en centaines d'euros) par $B(x)=-x^2+12x-20$, où $x$ est le nombre de vélos vendus (en dizaines).
- a) Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $B(x)=0$.
- b) Déterminer le nombre de vélos assurant le bénéfice maximal.
- c) Calculer ce bénéfice maximal en euros.
Un jet d'eau d'une fontaine de Bordeaux suit la parabole $h(x)=-0,5x^2+2x+0,5$ (en m), où $x$ est la distance horizontale à la buse. a) Déterminer la hauteur maximale…
Un jet d'eau d'une fontaine de Bordeaux suit la parabole $h(x)=-0,5x^2+2x+0,5$ (en m), où $x$ est la distance horizontale à la buse.
- a) Déterminer la hauteur maximale atteinte et la distance correspondante.
- b) Déterminer où l'eau touche le sol (valeur arrondie au centimètre).
- c) Une vasque, dont le bord est à $0,5$ m de hauteur, occupe au sol l'intervalle $[3 ; 5]$ (distances en m à partir de la buse). L'eau retombe-t-elle dans la vasque ? Justifier.
On considère les rectangles de périmètre $20$ m. a) Exprimer l'aire $A$ en fonction de la largeur $x$. b) Montrer que $A(x)\leq 25$ pour tout $x$ réel, avec égalité pour…
On considère les rectangles de périmètre $20$ m.
- a) Exprimer l'aire $A$ en fonction de la largeur $x$.
- b) Montrer que $A(x)\leq 25$ pour tout $x$ réel, avec égalité pour une seule valeur de $x$.
- c) Un modèle de coût de peinture est $P(x)=2A(x)+3x$ en euros. Déterminer la largeur qui maximise $P$ et sa valeur, puis dire si ce maximum coïncide avec celui de l'aire. Justifier.
Trouver un modèle quadratique à partir de données
Souvent, on ne connaît pas la formule : on a seulement des mesures. Comment savoir si un modèle quadratique convient ?
Pour une fonction affine, les différences entre deux valeurs consécutives (pour des $x$ espacés de $1$) sont constantes. Pour une fonction du second degré, ce sont les différences secondes (les différences des différences) qui sont constantes, et elles valent $2a$.
Pour trouver $a$, $b$ et $c$, on utilise trois points connus : chaque point donne une équation.
Un tableur donne les valeurs d'une fonction $g$ : $g(0)=3$, $g(1)=4$, $g(2)=7$, $g(3)=12$. a) Calculer les différences successives entre deux valeurs consécutives. b)…
Un tableur donne les valeurs d'une fonction $g$ : $g(0)=3$, $g(1)=4$, $g(2)=7$, $g(3)=12$.
- a) Calculer les différences successives entre deux valeurs consécutives.
- b) Calculer les différences secondes. Que constate-t-on ?
Des mesures donnent $(0;2)$, $(1;5)$, $(2;12)$ pour une grandeur $y$ en fonction de $x$. On cherche une modélisation $y=ax^2+bx+c$. a) Déterminer $c$. b) Écrire le…
Des mesures donnent $(0;2)$, $(1;5)$, $(2;12)$ pour une grandeur $y$ en fonction de $x$. On cherche une modélisation $y=ax^2+bx+c$.
- a) Déterminer $c$.
- b) Écrire le système vérifié par $a$ et $b$ et le résoudre.
- c) Prédire $y$ pour $x=3$.
Un tableur donne le nombre $N$ d'abonnés (en milliers) d'une application en fonction du mois $m$ : $(1;11)$, $(2;18)$, $(3;27)$, $(4;38)$, $(5;51)$. a) Calculer les…
Un tableur donne le nombre $N$ d'abonnés (en milliers) d'une application en fonction du mois $m$ : $(1;11)$, $(2;18)$, $(3;27)$, $(4;38)$, $(5;51)$.
- a) Calculer les différences premières et secondes, et justifier qu'un modèle quadratique convient.
- b) Déterminer $N(m)=am^2+bm+c$ à l'aide des trois premiers points.
- c) Vérifier le modèle sur les deux derniers points et prévoir $N(8)$.
Reprends le ballon du début : il retouche le sol quand $h(t)=0$, et sa hauteur maximale est atteinte au sommet de la parabole. Ces deux questions se traitent avec $x_S=-\dfrac{b}{2a}$ et la factorisation.
L'essentiel
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Une fonction du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ ; sa courbe est une parabole.
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Si $a>0$, la parabole a un minimum ; si $a<0$, elle a un maximum. Ce point est le sommet, d'abscisse $x_S=-\dfrac{b}{2a}$.
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Le maximum (ou minimum) vaut $f(x_S)$ ; ne confonds pas l'abscisse du sommet et la valeur de l'extremum.
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Pour résoudre $f(x)=k$ : utiliser un tableur ou la courbe, et la symétrie de la parabole par rapport à $x=x_S$.
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Des différences secondes constantes indiquent un modèle quadratique, avec $a=\dfrac{\text{différence seconde}}{2}$ ; trois points donnent un système pour trouver $a$, $b$, $c$.