Exercices: Suites arithmétiques

Indiquer lesquelles des suites suivantes sont arithmétiques et, le cas échéant, donner leur raison :

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Une suite arithmétique a pour premier terme $a_1 = 5$ et pour raison $d = 3$.

1. a) Écrire ses cinq premiers termes.

1. b) Écrire le terme général $a_n$.

1. c) Calculer $a_{10}$.

Dans une suite arithmétique, $a_1 = 2$ et $a_5 = 14$.

1. a) Calculer la raison.

1. b) Écrire le terme général.

1. c) Quel rang occupe le terme $26$ ?

Considérer la suite arithmétique $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calculer la somme de ses $10$ premiers termes.

1. b) Vérifier le résultat en calculant d'abord $a_{10}$ puis en appliquant la formule de la somme.

Hélène veut économiser pour son voyage de fin d'année. Elle commence par mettre de côté $25\text{ €}$ le premier mois et décide d'augmenter son versement de $5\text{ €}$ chaque mois pendant une année complète (12 mois). Pour savoir combien d'argent elle réunira, elle écrit dans son cahier :

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\cdot 5 = 25 + 55 = 80\text{ €}$$

Et elle conclut : « Génial ! À la fin de l'année, j'aurai $80\text{ €}$ d'économies pour le voyage ».

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Hélène dans l'interprétation du résultat de $a_{12}$. Que représente réellement ce chiffre de $80\text{ €}$ ?
2. b) Corriger le calcul en appliquant la formule adaptée pour déterminer la somme totale qu'Hélène aura accumulée dans sa tirelire au bout des 12 mois.
3. c) Si le voyage coûte $600\text{ €}$, déterminer en justifiant si l'argent économisé lui suffira, ou combien il lui manquera ou lui restera.

Un étudiant ouvre un compte porte-monnaie pour payer ses déplacements en bus pendant l'année scolaire. Le premier mois, il verse $40\text{ €}$ et, chaque mois, il ajoute $10\text{ €}$ de plus que le mois précédent, en maintenant ce plan pendant 10 mois.

1. a) Avant tout calcul détaillé, estimer en justifiant si le total épargné à la fin des 10 mois sera plus proche de $400\text{ €}$, de $850\text{ €}$ ou de $1\,500\text{ €}$. Justifier cette estimation en considérant un versement mensuel représentatif (le versement moyen entre le premier et le dernier mois).
2. b) Modéliser la situation par une suite arithmétique : identifier le premier terme $a_1$, la raison $d$ et calculer le montant exact versé le dixième mois ($a_{10}$).
3. c) Calculer la somme totale accumulée $S_{10}$ et déterminer si l'estimation initiale était correcte ou non, en expliquant la cause de la coïncidence ou de l'écart.

Un livret d'épargne à intérêts simples au taux annuel de $3 \%$ part d'un capital de $2\,000\ \text{ €}$ qui n'est pas retiré : chaque année, les mêmes intérêts calculés sur le capital initial sont ajoutés.

1. a) Pourquoi les capitaux d'année en année forment-ils une suite arithmétique ? Indiquer son premier terme et sa raison.

1. b) Écrire le terme général du capital accumulé au bout de $n$ années.

1. c) Quel sera le capital au bout de $6$ ans ? Et au bout de $15$ ?

Pour le voyage de fin d'année, une élève décide d'épargner en escalier : $10\ \text{ €}$ la première semaine, puis chaque semaine $5\ \text{ €}$ de plus que la précédente, comme le montre la figure.

1. a) Combien épargnera-t-elle la semaine $12$ ?

1. b) Combien aura-t-elle accumulé au total après ces $12$ semaines ?

1. c) Le voyage coûte $650\ \text{ €}$. Lui suffira-t-il de $16$ semaines d'épargne ? Justifier.

Insérer quatre termes entre $3$ et $18$ pour former une suite arithmétique (c'est-à-dire construire une suite arithmétique de six termes dont les extrémités sont $3$ et $18$).

1. a) Calculer la raison de la suite.

1. b) Écrire les six termes.

1. c) Vérifier que la somme des six termes coïncide avec la formule $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

L'amphithéâtre d'un parc compte $22$ places au premier rang, et chaque rang suivant compte $4$ places de plus que le précédent.

1. a) Combien de places compte le rang $8$ ?

1. b) Combien y a-t-il de places au total dans les $8$ premiers rangs ?

1. c) Pour un concert, il faut $600$ places. Combien de rangs complets faut-il au minimum ?

La figure représente par des barres les six premiers termes d'une suite arithmétique.

1. a) Lire sur le graphique le premier terme $a_1$ et la raison $d$, et expliquer pourquoi les hauteurs des barres sont alignées sur une droite.

1. b) Écrire le terme général $a_n$.

1. c) Calculer $a_{20}$ et la somme des $20$ premiers termes.

On considère les suites arithmétiques $a_n$, de premier terme $a_1 = 7$ et de raison $2$, et $b_n$, de premier terme $b_1 = 40$ et de raison $-1$.

1. a) Écrire le terme général de chacune.

1. b) Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $a_n = b_n$ ? La calculer.

1. c) Interpréter le résultat : décrire avec des mots l'évolution de chaque suite et ce que signifie le terme commun.

Une coopérative de crédit d'Andalousie conçoit un programme de microcrédits de $3\,960\text{ €}$ pour des entrepreneurs, à rembourser en 12 mensualités décroissantes formant une suite arithmétique. Par politique sociale de l'établissement, deux conditions sont imposées : la somme des 12 mensualités doit amortir exactement le total dû ($3\,960\text{ €}$) et la première mensualité doit être exactement le double de la dernière ($a_1 = 2\cdot a_{12}$).

1. a) À partir de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, poser une équation reliant $a_1$ et $a_{12}$ au capital total, et en déduire le montant exact de la première mensualité ($a_1$) et de la dernière ($a_{12}$).
2. b) Avec les valeurs trouvées, calculer la raison $d$ de la suite et écrire le terme général $a_n$ qui détermine le paiement de n'importe quel mois $n$.
3. c) Interpréter le signe de la raison $d$ dans ce contexte financier et justifier par un raisonnement pourquoi un schéma de mensualités décroissantes peut être avantageux pour une entreprise qui démarre, par rapport à une mensualité constante classique.

Pour financer les frais d'inscription d'un master universitaire, qui s'élèvent à $5\,400\text{ €}$, une diplômée met en place un plan d'épargne mensuel sur 2 ans (24 mois). Le premier mois, elle verse $110\text{ €}$ et s'engage à augmenter son versement mensuel d'une somme fixe constante $d$ chaque mois suivant.

1. a) Modéliser le plan d'épargne par une suite arithmétique et obtenir l'expression littérale simplifiée du capital total accumulé $S_{24}$ en fonction de la raison $d$.
2. b) Calculer l'augmentation mensuelle exacte $d$ à appliquer pour réunir exactement $5\,400\text{ €}$ à la fin du mois 24. Avec cette valeur de $d$, déterminer quel sera le versement du dernier mois ($a_{24}$).
3. c) Au bout de 12 mois (exactement la moitié du temps prévu), aura-t-elle réussi à épargner la moitié du coût de l'inscription ($2\,700\text{ €}$) ? Calculer $S_{12}$ et expliquer de façon quantitative pourquoi, dans les plans à versements croissants, l'épargne accumulée n'est pas proportionnelle au temps écoulé.

Combien de termes de la suite arithmétique $5, 9, 13, \ldots$ faut-il additionner pour obtenir $377$ ?

1. a) Écrire le terme général $a_n$ et l'expression de la somme $S_n$ des $n$ premiers termes.

1. b) Poser l'équation $S_n = 377$ et la résoudre. Pourquoi faut-il écarter l'une des solutions de l'équation du second degré ?

Les mesures des trois côtés d'un triangle rectangle forment une suite arithmétique de raison $d > 0$.

1. a) Exprimer les trois côtés en fonction du côté intermédiaire $b$ et de la raison $d$, puis appliquer le théorème de Pythagore.

1. b) Démontrer que les côtés sont nécessairement proportionnels à $3$, $4$ et $5$.

1. c) Donner un exemple concret de triangle rectangle dont les côtés forment une suite arithmétique de raison $7$.

Dire si les affirmations suivantes sur les suites arithmétiques sont vraies ou fausses, en les démontrant ou en donnant un contre-exemple :

1. a) « Trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $b = \frac{a + c}{2}$. »

1. b) « Dans une suite arithmétique, la somme de deux termes équidistants des extrémités est toujours la même : $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$ »

1. c) « Si l'on ajoute une même quantité à tous les termes d'une suite arithmétique, la raison change. »

Un père propose à sa fille deux formules d'argent de poche mensuel :

• Formule A : $20\ \text{ €}$ le premier mois, avec une augmentation de $2\ \text{ €}$ chaque mois.

• Formule B : $8\ \text{ €}$ le premier mois, avec une augmentation de $3\ \text{ €}$ chaque mois.

1. a) Écrire le terme général de l'argent de poche de chaque formule au mois $n$.

1. b) À quel mois l'argent de poche mensuel des deux formules coïncide-t-il pour la première fois ?

1. c) À partir de quel mois le total cumulé de la formule B dépasse-t-il pour la première fois celui de la formule A ? Le justifier avec les formules de la somme et par un tâtonnement raisonné.

Un investisseur place un capital initial $C_0$ sur un dépôt bancaire rémunéré à un taux d'intérêt simple annuel de $4\text{ \%}$ ($r = 0,04$). Il veut savoir combien d'années complètes doivent s'écouler pour que le capital total accumulé atteigne au moins le triple du capital initial investi ($C_n \ge 3\cdot C_0$). Deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Xavier (terme général) : il modélise l'évolution par une suite arithmétique dont le premier terme est le capital à la fin de la première année, $a_1 = C_0(1 + 0,04) = 1,04\cdot C_0$, et dont la raison est l'intérêt annuel fixe, $d = 0,04\cdot C_0$. Il pose $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \ge 3\cdot C_0$ et isole $n$.

• Méthode de Myriam (intérêts cumulés) : elle raisonne que, pour tripler le capital total, les intérêts nets générés doivent égaler le double du capital initial ($I = 2\cdot C_0$). Elle applique la formule de l'intérêt simple $I = C_0\cdot r\cdot n$, pose $C_0\cdot 0,04\cdot n \ge 2\cdot C_0$ et isole $n$.

1. a) Résoudre le problème en appliquant les deux méthodes pas à pas. Obtient-on le même résultat ? La durée obtenue dépend-elle du montant du capital initial $C_0$ ?
2. b) Comparer avec esprit critique les deux démarches : laquelle est la plus directe et réduit le risque d'erreur de décalage temporel sur l'indice $n$ ?
3. c) Généraliser le résultat : si l'intérêt simple annuel est de $r\text{ \%}$ et que l'objectif est de multiplier le capital initial par un facteur $k$ ($k > 1$), déduire la formule simplifiée qui donne directement le nombre d'années nécessaires $n$ en fonction de $r$ et $k$. Expliquer quelle méthode vous a permis de la déduire le plus clairement.

Deux collègues de travail, Charles et Lucie, souscrivent chacun un plan d'épargne sur 10 ans (120 mois) auprès d'un établissement financier :

• Plan A (Charles) : il verse $100\text{ €}$ le premier mois et augmente son versement de $2\text{ €}$ chaque mois ($d_A = 2\text{ €}$).

• Plan B (Lucie) : elle commence avec un versement plus faible, $40\text{ €}$ le premier mois, mais augmente sa mensualité plus vite, de $3\text{ €}$ chaque mois ($d_B = 3\text{ €}$).

1. a) Déterminer à quel mois précis le versement mensuel de Lucie dépasse pour la première fois celui de Charles ($b_n > a_n$). Cela signifie-t-il que, ce même mois, Lucie aura déjà accumulé plus d'argent au total que Charles ? Justifier la réponse sans calculer encore les sommes.
2. b) Poser les expressions des sommes cumulées $S_n^A$ et $S_n^B$ et résoudre l'équation $S_n^B = S_n^A$. Interpréter les deux solutions de l'équation du second degré : quelle signification financière a la solution $n = 0$ et à quel mois exact Lucie égalerait-elle Charles en argent total accumulé si le plan se poursuivait indéfiniment ?
3. c) Sachant que le plan arrive à échéance au bout de 120 mois, calculer le capital final accumulé par chacun. Expliquer l'apparente contradiction : pourquoi Charles termine-t-il avec plus d'argent alors que Lucie verse des mensualités supérieures pendant pratiquement la moitié de la durée du plan ?