Exercices: Nombre dérivé et tangente

Soit $f(x)=x^2$. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $1+h$ pour $h\neq 0$, puis en déduire $f'(1)$.

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1. a) $f(x)=3x^2-5x+1$

1. b) $g(x)=x^3+2x$

1. c) $h(x)=7$

Soit $f(x)=x^2-4x$. Calculer $f(3)$ et $f'(3)$, puis donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$.

Soit $f(x)=x^3-3x$.

1. a) Calculer $f'(x)$.

1. b) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

1. c) Déterminer les points où la tangente est horizontale.

La position d'un train en gare de Dijon, en mètres, est donnée par $d(t)=2t^2+10t$ où $t$ est en secondes.

1. a) Calculer la vitesse moyenne entre $t=0$ et $t=5$.

1. b) Calculer la vitesse instantanée $d'(t)$ à l'instant $t=5$.

1. c) À quel instant la vitesse instantanée est-elle égale à $30$ m/s ?

Soit $f(x)=-x^2+4x+1$.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.

1. b) Déterminer le point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=-2x+5$.

1. c) Étudier les variations de $f$.

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $[0;5]$.

1. a) Calculer $f'(x)$ et la factoriser.

1. b) Dresser le tableau de variations de $f$.

1. c) Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$ sur $[0;5]$ en justifiant.

Une entreprise de Toulouse fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x\in[0;8]$. Le coût total en milliers d'euros est $C(x)=x^3-6x^2+15x+10$ et la recette est $R(x)=30x$.

1. a) Exprimer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$.

1. b) Étudier les variations de $B$ sur $[0;8]$.

1. c) En déduire la production maximisant le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal.

On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur de ferme en Normandie (le côté contre le mur n'est pas clôturé). On note $x$ la largeur, perpendiculaire au mur.

1. a) Exprimer la longueur parallèle au mur et l'aire $A(x)$ de l'enclos.

1. b) Déterminer l'intervalle de définition de $x$.

1. c) Utiliser la dérivée pour déterminer les dimensions qui maximisent l'aire, et calculer cette aire.