Exercices: Modélisation quadratique

Un ballon est lancé et sa hauteur (en m) est $h(t)=-5t^2+10t$, avec $t$ en secondes.

1. a) Calculer $h(0)$, $h(1)$ et $h(2)$.

1. b) À quel instant le ballon retouche-t-il le sol ?

Soit $f(x)=x^2-6x+5$.

1. a) Calculer $f(0)$ et résoudre $f(x)=0$.

1. b) Déterminer l'abscisse du sommet de la parabole, donnée par $-\dfrac{b}{2a}$.

Un tableur donne les valeurs d'une fonction $g$ : $g(0)=3$, $g(1)=4$, $g(2)=7$, $g(3)=12$.

1. a) Calculer les différences successives entre deux valeurs consécutives.

1. b) Calculer les différences secondes. Que constate-t-on ?

La distance de freinage d'un véhicule est modélisée par $d(v)=0,006\,v^2$ où $v$ est la vitesse en km/h et $d$ en m.

1. a) Calculer $d$ pour $v=50$, $v=90$ et $v=130$.

1. b) Par quel facteur $d$ est-elle multipliée quand $v$ est doublée ?

1. c) Déterminer la vitesse pour laquelle la distance de freinage vaut $54$ m.

Un fabricant de vélos à Saint-Étienne modélise son bénéfice mensuel (en centaines d'euros) par $B(x)=-x^2+12x-20$, où $x$ est le nombre de vélos vendus (en dizaines).

1. a) Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $B(x)=0$.

1. b) Déterminer le nombre de vélos assurant le bénéfice maximal.

1. c) Calculer ce bénéfice maximal en euros.

Des mesures donnent $(0;2)$, $(1;5)$, $(2;12)$ pour une grandeur $y$ en fonction de $x$. On cherche une modélisation $y=ax^2+bx+c$.

1. a) Déterminer $c$.

1. b) Écrire le système vérifié par $a$ et $b$ et le résoudre.

1. c) Prédire $y$ pour $x=3$.

Un jet d'eau d'une fontaine de Bordeaux suit la parabole $h(x)=-0,5x^2+2x+0,5$ (en m), où $x$ est la distance horizontale à la buse.

1. a) Déterminer la hauteur maximale atteinte et la distance correspondante.

1. b) Déterminer où l'eau touche le sol (valeur arrondie au centimètre).

1. c) Une vasque, dont le bord est à $0,5$ m de hauteur, occupe au sol l'intervalle $[3 ; 5]$ (distances en m à partir de la buse). L'eau retombe-t-elle dans la vasque ? Justifier.

Un tableur donne le nombre $N$ d'abonnés (en milliers) d'une application en fonction du mois $m$ : $(1;11)$, $(2;18)$, $(3;27)$, $(4;38)$, $(5;51)$.

1. a) Calculer les différences premières et secondes, et justifier qu'un modèle quadratique convient.

1. b) Déterminer $N(m)=am^2+bm+c$ à l'aide des trois premiers points.

1. c) Vérifier le modèle sur les deux derniers points et prévoir $N(8)$.

On considère les rectangles de périmètre $20$ m.

1. a) Exprimer l'aire $A$ en fonction de la largeur $x$.

1. b) Montrer que $A(x)\leq 25$ pour tout $x$ réel, avec égalité pour une seule valeur de $x$.

1. c) Un modèle de coût de peinture est $P(x)=2A(x)+3x$ en euros. Déterminer la largeur qui maximise $P$ et sa valeur, puis dire si ce maximum coïncide avec celui de l'aire. Justifier.