Exakte Werte von Sinus und Kosinus
Beim Zeichnen eines Dachbinders in einer Zimmerei steht der Neigungswinkel fest: $30^\circ$. Der Meister will die Höhe ohne Taschenrechner und ohne gerundete Dezimalzahl angeben. Geht das? Ja, denn für einige Winkel sind Sinus und Kosinus „schöne“ Zahlen mit Wurzeln. Am Ende dieser Seite beantwortest du die Frage.
Die Werte und woher sie kommen
Für diese fünf Winkel gilt:
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
Auswendig lernen musst du das nicht blind. Du kannst die Werte jederzeit herleiten.
Das Quadrat: $45^\circ$
Ein Quadrat mit Seitenlänge $a$ hat die Diagonale $d = a\sqrt{2}$ (Satz des Pythagoras). Die Diagonale halbiert den rechten Winkel. Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $a$ und der Hypotenuse $d$ gilt:
$$\sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$Wegen der gleich langen Katheten ist $\cos 45^\circ$ derselbe Wert.
Das gleichseitige Dreieck: $30^\circ$ und $60^\circ$
Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a$ hat drei Winkel von $60^\circ$. Die Höhe halbiert die Grundseite und den oberen Winkel. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $a$, einer Kathete $\frac{a}{2}$ und der Höhe $h$. Nach Pythagoras:
$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$Daraus folgt:
$$\sin 60^\circ = \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$Im selben Dreieck liegt bei $30^\circ$ die Kathete $\frac{a}{2}$ gegenüber: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ und $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Gib die exakten Werte an: $\sin 30^\circ$, $\cos 60^\circ$, $\sin 90^\circ$, $\cos 0^\circ$.
Gib die exakten Werte an: $\sin 30^\circ$, $\cos 60^\circ$, $\sin 90^\circ$, $\cos 0^\circ$.
Gib die exakten Werte an: $\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$, $\sin 60^\circ$, $\cos 30^\circ$.
Gib die exakten Werte an: $\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$, $\sin 60^\circ$, $\cos 30^\circ$.
Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a$. Begründe mithilfe der Diagonale, dass $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ gilt.
Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a$. Begründe mithilfe der Diagonale, dass $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ gilt.
Exakt rechnen
Mit den exakten Werten rechnest du wie mit Brüchen und Wurzeln. Du lässt das Ergebnis stehen, ohne zu runden.
Zusammenhänge
Aus den Werten erkennst du zwei wichtige Beziehungen:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad\text{und}\qquad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$Probe für $30^\circ$: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Für $60^\circ$ gilt $\tan 60^\circ = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
Berechne exakt (ohne Taschenrechner): $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ und $\sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.
Berechne exakt (ohne Taschenrechner): $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$ und $\sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.
Berechne exakt ohne Taschenrechner: $\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ$ und $\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$. Zeige, dass der zweite Wert gleich $\tan 60^\circ$ ist.
Berechne exakt ohne Taschenrechner: $\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ$ und $\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$. Zeige, dass der zweite Wert gleich $\tan 60^\circ$ ist.
Anwendungen im Dreieck
Mit den exakten Werten berechnest du Seiten in rechtwinkligen Dreiecken ohne Taschenrechner. Die Definitionen sind $\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
So ist die Eingangsfrage beantwortet: Die Höhe beträgt exakt $3\,\text{m}$, die halbe Breite $3\sqrt{3}\,\text{m}$.
Flächen mit Sechseck und Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck mit Seite $a$ hat die Höhe $h = a\cdot\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ und den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs solchen Dreiecken, also $A = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei $C$ ist $c = 10 \text{ cm}$ und $\alpha = 30^\circ$. Berechne $a$ und $b$ exakt.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei $C$ ist $c = 10 \text{ cm}$ und $\alpha = 30^\circ$. Berechne $a$ und $b$ exakt.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $8 \text{ cm}$. Berechne exakt seine Höhe mithilfe von $\sin 60^\circ$ und den Flächeninhalt.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $8 \text{ cm}$. Berechne exakt seine Höhe mithilfe von $\sin 60^\circ$ und den Flächeninhalt.
Eine Leiter der Länge $4 \text{ m}$ lehnt unter einem Winkel von $60^\circ$ zum Boden an einer Wand. Berechne exakt, wie hoch sie reicht und wie weit der Fuß von der…
Eine Leiter der Länge $4 \text{ m}$ lehnt unter einem Winkel von $60^\circ$ zum Boden an einer Wand. Berechne exakt, wie hoch sie reicht und wie weit der Fuß von der Wand entfernt ist.
Ein regelmäßiges Sechseck hat die Seitenlänge $6 \text{ cm}$. Es besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Berechne exakt den Flächeninhalt des Sechsecks und begründe…
Ein regelmäßiges Sechseck hat die Seitenlänge $6 \text{ cm}$. Es besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Berechne exakt den Flächeninhalt des Sechsecks und begründe die Rechnung mit $\sin 60^\circ$.