Steigungswinkel, Höhen und Entfernungen
Auf der Straße nach Winterberg zeigt ein Schild „12 %“. Wie steil ist das eigentlich, und welchen Winkel hat die Straße gegenüber der Waagerechten? Am Ende dieser Seite kannst du das beantworten, auch für Höhen, die du nicht direkt messen kannst.
Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $C$ liegt die Hypotenuse $c$ gegenüber von $C$. Für einen Winkel $\alpha$ gilt:
Warum funktioniert das? Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel $\alpha$ sind zueinander ähnlich. Ihre Seitenverhältnisse sind deshalb immer gleich.
Seite berechnen: Winkel und eine Seite sind bekannt. Wähle die Formel, in der die gesuchte und die gegebene Seite vorkommen, und löse nach der Unbekannten auf.
Winkel berechnen: Zwei Seiten sind bekannt. Bilde das passende Verhältnis und benutze die Umkehrfunktion am Taschenrechner ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$). Stelle den Taschenrechner auf DEG.
In einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit dem rechten Winkel bei $C$ gilt $\alpha = 35^\circ$ und $c = 12 \text{ cm}$. Berechne die Länge der Kathete $a$ und die Länge…
In einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit dem rechten Winkel bei $C$ gilt $\alpha = 35^\circ$ und $c = 12 \text{ cm}$. Berechne die Länge der Kathete $a$ und die Länge der Kathete $b$. Runde auf eine Nachkommastelle.
Ein Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel. Es gilt $a = 7 \text{ cm}$ und $b = 10 \text{ cm}$. Berechne den Winkel $\alpha$ und den Winkel $\beta$. Runde auf…
Ein Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel. Es gilt $a = 7 \text{ cm}$ und $b = 10 \text{ cm}$. Berechne den Winkel $\alpha$ und den Winkel $\beta$. Runde auf eine Nachkommastelle.
Steigung und Steigungswinkel
Eine Straße steigt auf $100\,\text{m}$ in waagerechter Richtung um $12\,\text{m}$. Das Steigungsdreieck hat die waagerechte Strecke als Ankathete und den Höhenunterschied als Gegenkathete.
Die Steigung ist also genau der Tangens des Winkels. Eine Steigung von $100\,\%$ bedeutet $\tan\alpha = 1$, also $\alpha = 45^\circ$, nicht $90^\circ$.
Eine Straße in Winterberg steigt auf einer horizontalen Strecke von $200 \text{ m}$ um $24 \text{ m}$ an. a) Berechne die Steigung in Prozent. b) Berechne den…
Eine Straße in Winterberg steigt auf einer horizontalen Strecke von $200 \text{ m}$ um $24 \text{ m}$ an.
- a) Berechne die Steigung in Prozent.
- b) Berechne den Steigungswinkel.
Eine Seilbahn in Willingen überwindet auf einer Länge von $1.250 \text{ m}$ (Seillänge) einen Höhenunterschied von $320 \text{ m}$. a) Berechne den mittleren…
Eine Seilbahn in Willingen überwindet auf einer Länge von $1.250 \text{ m}$ (Seillänge) einen Höhenunterschied von $320 \text{ m}$.
- a) Berechne den mittleren Steigungswinkel der Seilbahn.
- b) Berechne die horizontale Entfernung zwischen Tal- und Bergstation.
- c) Gib die Steigung in Prozent an.
Ein Wanderweg hat auf dem ersten Abschnitt eine Steigung von $12\,\%$ und auf dem zweiten Abschnitt einen Steigungswinkel von $9^\circ$. Der erste Abschnitt ist…
Ein Wanderweg hat auf dem ersten Abschnitt eine Steigung von $12\,\%$ und auf dem zweiten Abschnitt einen Steigungswinkel von $9^\circ$. Der erste Abschnitt ist $1,5 \text{ km}$ lang (Weglänge), der zweite $2,0 \text{ km}$.
- a) Berechne den Steigungswinkel des ersten Abschnitts.
- b) Berechne den gesamten Höhenunterschied.
- c) Beurteile, welcher Abschnitt steiler ist, und begründe deine Antwort rechnerisch.
Höhen und Entfernungen bestimmen
Was du nicht direkt messen kannst, berechnest du: die Höhe eines Turms, die Breite eines Flusses. Du misst eine Strecke und einen Winkel (Höhenwinkel, gemessen von der Waagerechten aus).
Zwei Peilungen
Ist der Fußpunkt nicht erreichbar, peilst du von zwei Punkten aus an. Setze $|BF| = x$ und stelle für beide Dreiecke eine Gleichung für die Höhe $h$ auf:
$h = x \cdot \tan 41^\circ$ und $h = (x + 60) \cdot \tan 28^\circ$.
Setze gleich und löse nach $x$ auf.
Ein Schüler in Münster steht $30 \text{ m}$ vom Fuß des Doms entfernt. Er sieht die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von $52^\circ$. Seine Augenhöhe beträgt…
Ein Schüler in Münster steht $30 \text{ m}$ vom Fuß des Doms entfernt. Er sieht die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von $52^\circ$. Seine Augenhöhe beträgt $1,60 \text{ m}$.
- a) Berechne die Höhe des Turms über dem Boden.
- b) Wie ändert sich der Höhenwinkel, wenn er sich auf $50 \text{ m}$ Entfernung zurückzieht?
Vom Rheinufer in Köln aus peilt man einen Punkt $B$ am gegenüberliegenden Ufer an. Am Ufer markiert man die Punkte $A$ und $C$ mit $|AC| = 80 \text{ m}$, wobei die…
Vom Rheinufer in Köln aus peilt man einen Punkt $B$ am gegenüberliegenden Ufer an. Am Ufer markiert man die Punkte $A$ und $C$ mit $|AC| = 80 \text{ m}$, wobei die Strecke $BC$ senkrecht zum Ufer verläuft. Der Winkel bei $A$ zwischen $AC$ und $AB$ beträgt $66^\circ$. Berechne die Breite des Flusses, also die Länge von $BC$, und die Entfernung $|AB|$.
Von zwei Punkten $A$ und $B$ auf einer waagerechten Straße, die $60 \text{ m}$ auseinanderliegen, wird die Spitze eines Funkturms $T$ angepeilt. $A$, $B$ und der…
Von zwei Punkten $A$ und $B$ auf einer waagerechten Straße, die $60 \text{ m}$ auseinanderliegen, wird die Spitze eines Funkturms $T$ angepeilt. $A$, $B$ und der Fußpunkt $F$ des Turms liegen auf einer Geraden, $B$ liegt zwischen $A$ und $F$. Der Höhenwinkel in $A$ beträgt $28^\circ$, in $B$ beträgt er $41^\circ$. Berechne die Höhe des Turms und die Entfernung $|BF|$.
Dachformen und zusammengesetzte Aufgaben
Bei einem gleichschenkligen Dach teilt die Firsthöhe das Dreieck in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke. Die halbe Spannweite ist die Ankathete des Neigungswinkels, die Firsthöhe die Gegenkathete, der Sparren die Hypotenuse.
Ein gleichschenkliges Dach hat eine Spannweite (Gebäudebreite) von $9,60 \text{ m}$ und einen Neigungswinkel von $38^\circ$. Das Haus ist $12 \text{ m}$ lang. Die…
Ein gleichschenkliges Dach hat eine Spannweite (Gebäudebreite) von $9,60 \text{ m}$ und einen Neigungswinkel von $38^\circ$. Das Haus ist $12 \text{ m}$ lang. Die Dachfläche soll mit Ziegeln gedeckt werden.
- a) Berechne die Höhe des Dachfirsts über der Traufe.
- b) Berechne die Länge eines Sparrens (Dachschräge) und die gesamte Dachfläche.
- c) Der Neigungswinkel soll so geändert werden, dass die Firsthöhe $4,00 \text{ m}$ beträgt. Berechne den neuen Winkel.