Rotationskörper: Zylinder, Kegel und Kugel

Stell dir ein rechteckiges Stück Karton mit $10\text{ cm}$ Breite und $15\text{ cm}$ Höhe vor. Wenn du es schnell um eine seiner Seiten der Länge $15\text{ cm}$ drehst (die in der Abbildung als Drehachse markierte Seite), welcher Rotationskörper entsteht dann? Zeichne den entstehenden Körper und gib an, wie groß sein Radius und seine Höhe sind.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ein Rotationskörper entsteht, wenn man ein Rechteck mit der Grundseite $4\text{ cm}$ und der Höhe $7\text{ cm}$ um eine seiner langen Seiten rotieren lässt.

1. Welcher geometrische Körper entsteht?

2. Berechne seinen Oberflächeninhalt.

3. Hätte er dasselbe Volumen, wenn das Rechteck um die kurze Seite rotieren würde? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man das folgende rechtwinklige Trapez $360^\circ$ um die Seite $AB$ rotieren lässt. Die Seite $AD$ misst $6 \text{ cm}$ (kürzere Grundseite), die Seite $BC$ misst $10 \text{ cm}$ (längere Grundseite) und die Höhe des Trapezes (Seite $AB$) misst $8 \text{ cm}$. Bestimme den entstehenden Körper und berechne seinen Oberflächeninhalt.

Eine handelsübliche Getränkedose hat die Form eines Zylinders. Der Radius der Grundfläche beträgt $3,25\text{ cm}$ und die Höhe $12\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt des Papieretiketts, das die Dose seitlich umgibt (Mantelfläche). Verwende $\pi \approx 3,14$.

Berechne das Volumen eines zylindrischen Wassertanks mit einem Radius von $2\text{ Meter}$ und einer Höhe von $5\text{ Meter}$. Wenn $1\text{ m}^3$ gleich $1000\text{ Liter}$ ist, wie viele Liter Wasser fasst der Tank?

Ein Glas hat die Form eines Zylinders mit dem Innenradius $3,5\text{ cm}$. Wenn wir eine Limonade mit einem Volumen von $250\text{ cm}^3$ hineingießen, welche Höhe erreicht dann die Flüssigkeit im Glas? Runde das Ergebnis auf Hundertstel.

Ein Kurierdienst verwendet zylindrische Pappröhren zum Versand von Plänen. Wenn jede Röhre einen Mantelflächeninhalt von $942\text{ cm}^2$ und eine Höhe von $50\text{ cm}$ hat:

1. Berechne den Radius der Grundfläche der Röhre.

2. Berechne die Menge an Pappe, die für die beiden kreisförmigen Deckel jeder Röhre nötig ist. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Betrachte das folgende Netz eines Rotationskörpers.

1. a) Um welchen Körper handelt es sich?
2. b) Wenn der Radius des Kreises $R = 5\text{ cm}$ und die Höhe des Rechtecks $H = 10\text{ cm}$ beträgt, berechne den gesamten Flächeninhalt der Figur.

Ein Nudelholz aus Stein hat die Form eines Zylinders mit dem Radius $4 \text{ cm}$ und der Länge $25 \text{ cm}$. Es soll in einer zylinderförmigen Kiste aufbewahrt werden, in die das Nudelholz genau passt (es berührt die Wände und die Grundflächen). Das Nudelholz soll durch ein anderes ersetzt werden, das den halben Radius, aber die doppelte Länge hat:

1. Verändert sich das Volumen des verwendeten Steins? Begründe deine Antwort mit Rechnungen.

2. Welches der beiden Nudelhölzer würde eine Kiste mit größerem Oberflächeninhalt erfordern?

Für ein Zauberer-Kostüm hat ein Schüler einen kegelförmigen Hut gebastelt. Der Radius der Grundfläche beträgt $10\text{ cm}$ und die Höhe des Huts $24\text{ cm}$. Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Mantellinie ($g$) des Kegels.

Eine Eiswaffel hat die Form eines Kegels. Der Radius der oberen Öffnung beträgt $3\text{ cm}$ und die Tiefe (Höhe) $10\text{ cm}$. Welches Volumen Eis passt genau in die Waffel? (Nimm an, dass das Eis bündig mit dem Rand abschließt und nicht übersteht.)

Für ein Dorffest möchte Sarah die Außenseite von $20$ kegelförmigen Papphüten mit glänzendem Papier bekleben. Jeder Hut hat einen Grundkreisradius von $9\text{ cm}$ und eine Höhe von $12\text{ cm}$ (die Hüte sind hohl und haben keinen Boden). Ihr Mitschüler Hugo macht die folgenden Rechnungen, um das Papier für einen einzigen Hut zu bestimmen:

Also folgert Hugo, dass sie für die $20$ Hüte genau $20 \cdot 339,12 = 6.782,4\text{ cm}^2$ Papier brauchen.

1. a) Erkenne und erkläre die beiden inhaltlichen Fehler, die Hugo gemacht hat: einen in der verwendeten Formel für die Oberfläche und einen, weil er eine wichtige Größe des Kegels nicht berechnet hat.
2. b) Korrigiere die Rechnung, indem du zuerst die Mantellinie des Kegels mit dem Satz des Pythagoras bestimmst, und ermittle die tatsächlich mindestens benötigte Menge glänzendes Papier für die $20$ Hüte.

Ein Fotostudio verwendet einen kegelförmigen Reflektor, um das Licht zu bündeln. Wenn der Reflektor eine Höhe von $12\text{ cm}$ hat und der Durchmesser seiner kreisförmigen Öffnung $10\text{ cm}$ beträgt, berechne die gesamte Fläche an reflektierendem Material, die für die Herstellung nötig ist (ohne den Deckel der Grundfläche).

Berechne den Mantelflächeninhalt und das Volumen eines Kegelstumpfes (wie ein Popcorn-Eimer), dessen Grundflächen die Radien $10\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$ haben, wenn seine Höhe $15\text{ cm}$ beträgt. Hinweis: Du musst zuerst die Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Ein Lampendesigner möchte einen Lampenschirm in Form eines Kegelstumpfes herstellen. Der Schirm hat eine Höhe von $24 \text{ cm}$, einen oberen Durchmesser von $18 \text{ cm}$ und einen unteren Durchmesser von $30 \text{ cm}$. Um die Materialkosten zu berechnen, muss er den Flächeninhalt der Mantelfläche kennen. Um ihn aus einem flachen Stück zu fertigen, muss er jedoch zuerst die Höhe des ursprünglichen vollständigen Kegels bestimmen, aus dem der Stumpf hervorgeht. Berechne diese Gesamthöhe und den Mantelflächeninhalt des Schirms (ohne die Grundflächen).

Für die Herstellung des Schirms einer Designerlampe in Form eines an beiden Grundflächen offenen Kegelstumpfes geht eine Lichtwerkstatt in Düsseldorf von folgenden Maßen aus: oberer Radius $r = 10\text{ cm}$, unterer Radius $R = 25\text{ cm}$ und senkrechte Höhe des Stumpfes $h = 20\text{ cm}$. Zwei Mitglieder des technischen Teams schlagen unterschiedliche Methoden vor, um die benötigten Quadratmeter Stoff (Mantelfläche) zu berechnen:

• Albas Methode: Die Mantellinie des Stumpfes direkt über das rechtwinklige Dreieck aus der Höhe und der Differenz der Radien berechnen und die Formel für die Mantelfläche des Kegelstumpfes anwenden: $A_L = \pi \cdot (R + r) \cdot g$.

• Brunos Methode: Den Stumpf zum ursprünglichen Kegel ergänzen. Über die Ähnlichkeit von Dreiecken die Mantellinie des vollständigen Kegels und die des gedachten oberen Kegels berechnen und die Mantelfläche als Differenz beider Kegelmantelflächen erhalten: $A_L = A_{L,\text{groß}} - A_{L,\text{klein}}$.

1. a) Wende Albas Methode an, um den genauen Wert der Mantelfläche zu erhalten.
2. b) Wende Brunos Methode an: Stelle das Verhältnis der Ähnlichkeit auf, um die benötigten Mantellinien zu bestimmen, und berechne die Mantelfläche als Differenz.
3. c) Vergleiche beide Methoden: Stimmen die Ergebnisse exakt überein? Begründe, welches der beiden Verfahren für diese numerische Rechnung effizienter ist, und erkläre, in welcher Phase des realen Entwurfs (zum Beispiel beim Zuschneiden des flachen Stoffschnittmusters vor dem Biegen) die mit Brunos Methode erhaltenen Maße unverzichtbar sind.

Ein Tennisball hat einen Durchmesser von etwa $6,7\text{ cm}$. Berechne die gesamte Filzfläche, die nötig ist, um den Ball zu überziehen, wenn du ihn als perfekte Kugel betrachtest. Gib das Ergebnis in $\text{cm}^2$ an.

Wenn wir eine Orange in der Mitte durchschneiden, erhalten wir zwei Halbkugeln. Wenn der Radius der Orange $4\text{ cm}$ beträgt, berechne das Volumen einer dieser Hälften.

Die Gemeinde einer Ortschaft möchte eine kugelförmige Stahlskulptur in einem Kreisverkehr restaurieren und streichen. Ihr Durchmesser beträgt genau $4\text{ m}$. Der beauftragte Maler hat Dosen mit Rostschutzfarbe, von denen laut Hersteller jede $12\text{ m}^2$ abdeckt.

1. a) Schätze im Kopf, ohne Taschenrechner und indem du $\pi \approx 3$ rundest, die Oberfläche der Kugel und die mindestens benötigte Anzahl an Dosen. Erkläre die Schritte deiner Kopfrechnung.
2. b) Berechne genau mit der Formel für die Kugeloberfläche ($A = 4\pi r^2$) und dem Wert $\pi$ des Taschenrechners (runde den Flächeninhalt auf zwei Dezimalstellen).
3. c) Überprüfe und vergleiche das genaue Ergebnis mit deiner Schätzung: Hätte es gereicht, die mit $\pi \approx 3$ geschätzte Anzahl an Dosen zu kaufen, oder wäre dem Maler die Farbe vor dem Ende ausgegangen? Begründe, warum durch das Runden von $\pi$ dieser Unterschied entsteht.

Ein kugelförmiger Gastank hat einen Außendurchmesser von $6\text{ Meter}$. Die Ingenieure wollen eine rostschützende Farbschicht auftragen, die $14,50\text{ €}$ pro Quadratmeter kostet. Wie viel kostet es, die gesamte Oberfläche des Tanks zu streichen? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Ein Parfümflakon hat die Form einer Kugel mit dem Radius $R = 5 \text{ cm}$. Der Flakon befindet sich in einer Schachtel in Form eines geraden Zylinders, der denselben Radius und als Höhe den Durchmesser der Kugel hat.

1. Berechne die Differenz zwischen dem Volumen der zylindrischen Schachtel und dem Volumen der Kugel.

2. Zeige, dass der Mantelflächeninhalt des Zylinders gleich dem Oberflächeninhalt der Kugel ist.

Eine Marke für Vitaminpräparate entwirft ihre Kapseln in Form eines Zylinders mit zwei Halbkugeln an den Enden. Die Gesamtlänge der Kapsel beträgt $22\text{ mm}$ und der Durchmesser des mittleren Zylinders ist $8\text{ mm}$. Berechne das Gesamtvolumen der Kapsel in Kubikmillimetern.

In einer Eisdiele wird eine perfekt kugelförmige Eiskugel mit dem Durchmesser $6\text{ cm}$ auf eine Waffeltüte in Kegelform mit der Höhe $10\text{ cm}$ und demselben Durchmesser wie die Kugel gesetzt. Wenn das Eis schmilzt und genau in der Waffeltüte bleibt, läuft es dann über oder bleibt noch Platz frei? Antworte, indem du die Volumina von Kugel und Kegel vergleichst.

Die Seenotrettungsgesellschaft SASEMAR prüft eine zylindrisch-kegelförmige Seezeichentonne im Hafen von Gijón. Die Tonne besteht aus einem zylindrischen Unterteil mit $1,2\text{ m}$ Durchmesser und $1,5\text{ m}$ Höhe, auf das oben eine kegelförmige Spitze mit demselben Durchmesser und einer Höhe von $0,8\text{ m}$ aufgesetzt ist. Die gesamte sichtbare Außenfläche soll mit einem speziellen Schiffsanstrich gestrichen werden: die Mantelfläche des Zylinders, die ebene, kreisförmige Grundfläche unten, die unter Wasser liegt, und die Mantelfläche des Kegels (die kreisförmige Verbindung zwischen Zylinder und Kegel liegt innen und wird nicht gestrichen).

1. a) Berechne die Mantellinie der Kegelspitze.
2. b) Berechne den gesamten Flächeninhalt der Außenfläche, die gestrichen werden muss (runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen).
3. c) Jede Dose Schiffsfarbe reicht für höchstens $4,5\text{ m}^2$ pro Anstrich. Die technischen Vorschriften verlangen zwei vollständige Anstriche, und die Dosen werden nur ganz zu je $28,50\text{ \euro}$ verkauft. Wie viele Dosen müssen gekauft werden, und wie hoch sind die Gesamtkosten für das Material?

Ein Konservenhersteller für Gemüse in Murcia entwirft eine neue zylindrische Blechdose mit Deckel und Boden. Aus Gründen der Festigkeit und Stapelbarkeit soll die Höhe des Zylinders genau das Dreifache des Basisradius betragen ($h = 3r$). Außerdem soll die gesamte Blechfläche jeder Dose, um das Fertigungsbudget einzuhalten, genau $128\pi\text{ cm}^2$ betragen (etwa $402,12\text{ cm}^2$).

1. a) Stelle den Term für die Oberfläche des Zylinders allein in Abhängigkeit vom Radius $r$ auf, stelle die zugehörige Gleichung auf und bestimme den exakten Wert des Radius und der Höhe der Dose.
2. b) Berechne, wie viel Prozent der Gesamtoberfläche der Dose auf die Mantelfläche und wie viel Prozent auf die beiden ebenen Grundflächen entfallen.
3. c) Begründe, ob sich diese Prozentsätze ändern würden, wenn wir Radius und Höhe der Dose verdoppeln und dabei das Verhältnis $h = 3r$ beibehalten.

Ein Eisbecher hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit der Höhe $12 \text{ cm}$ und einem Durchmesser von $10 \text{ cm}$ an der Öffnung. Er wird genau bis zur halben Höhe mit Schokoladenshake gefüllt. Ein Schüler behauptet, der Becher sei „halb voll“, ein anderer sagt, es sei viel weniger als die Hälfte des Gesamtvolumens. Berechne, wie viel Prozent des Gesamtvolumens des Bechers der Shake tatsächlich einnimmt, um zu überprüfen, wer recht hat.

Es soll ein Wassertank aus Stahl gebaut werden, der einen Zylinder mit der Höhe $4 \text{ m}$ und dem Radius $3 \text{ m}$ mit einer perfekten Halbkugel auf der Oberseite kombiniert. Der Stahl kostet $45 \text{ €}$ pro Quadratmeter Außenfläche und das Abdichten der Verbindung zwischen Halbkugel und Zylinder kostet $15 \text{ €}$ pro laufendem Meter Kreislinie. Berechne das Gesamtbudget für die Materialien der Außenfläche des Tanks (einschließlich der ebenen unteren Grundfläche).

Zwei Städte, $P$ und $Q$, liegen auf demselben Breitenkreis bei einer geografischen Breite von $60^\circ \text{ N}$. Die Stadt $P$ liegt auf der Länge $15^\circ \text{ E}$ und die Stadt $Q$ auf $45^\circ \text{ E}$. Der Erdradius beträgt ungefähr $6371 \text{ km}$:

1. Berechne den Radius des Breitenkreises $60^\circ \text{ N}$ (Tipp: Verwende Trigonometrie oder beachte, dass im entstehenden Dreieck der Radius des Breitenkreises $R \cdot \cos(60^\circ)$ ist).

2. Bestimme die kürzeste Entfernung zwischen den beiden Städten, gemessen auf dem Bogen dieses Breitenkreises.

Eine kugelförmige Bleikugel mit dem Durchmesser $6 \text{ cm}$ wurde vollständig in ein zylinderförmiges, mit Wasser gefülltes Gefäß mit dem Radius $10 \text{ cm}$ getaucht.

1. Um wie viel ist der Wasserspiegel im Gefäß nach dem Eintauchen der Kugel gestiegen?

2. Wenn wir die Bleikugel anschließend einschmelzen und daraus einen Kegel herstellen, dessen Grundfläche denselben Radius wie die ursprüngliche Kugel hat ($3 \text{ cm}$), welche Höhe hat der Kegel dann?

Das Zentrum für Kosmosphysik plant eine Schutzkuppel für einen neuen Sensor im Observatorium von Javalambre (Teruel). Die kreisförmige Betongrundfläche, auf der die Konstruktion steht, hat einen festen Radius von $4\text{ m}$. Die Architekten untersuchen zwei Überdachungen, die dieselbe maximale Höhe von $4\text{ m}$ über dem Boden erreichen:

• Option A (halbkugelförmig): Eine Kuppel in Form einer Halbkugel mit dem Radius $r = 4\text{ m}$.

• Option B (kegelförmig): Eine Kegelüberdachung mit dem Grundflächenradius $r = 4\text{ m}$ und der Scheitelhöhe $h = 4\text{ m}$.

1. a) Berechne für beide Optionen den Flächeninhalt der der Witterung ausgesetzten Außenfläche (ohne die kreisförmige Bodenfläche). Gib die Ergebnisse in Abhängigkeit von $\pi$ und als Dezimalnäherung auf Hundertstel an.
2. b) Zeige algebraisch, dass das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Kegelüberdachung und dem der halbkugelförmigen Kuppel ein konstanter, vom Radius unabhängiger Wert ist, sofern die Höhe des Kegels mit seinem Radius übereinstimmt ($h = r$). Wie lautet dieses Verhältnis exakt, mit Wurzeln ausgedrückt?
3. c) Wenn die äußere Dämmverkleidung $130\text{ \euro/m}^2$ kostet, berechne die genaue Kosteneinsparung, die die Wahl der Option mit der kleineren Außenfläche bringt. Welchen zusätzlichen physikalischen Vorteil hat die kostengünstigere geometrische Option im Hinblick auf das Abtragen des Gewichts angesammelten Schnees, wenn man das Hochgebirgsklima mit starkem Schneefall berücksichtigt?