Baumdiagramme

Eine Kiste enthält $4$ rote und $6$ blaue Kugeln. Es wird zufällig eine Kugel gezogen, ihre Farbe notiert, die Kugel zurückgelegt und eine zweite Kugel gezogen. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

Vervollständige das folgende Baumdiagramm, das das zweimalige Werfen einer unfairen Münze darstellt, wobei die Wahrscheinlichkeit für Kopf $\frac{1}{3}$ beträgt. Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, zuerst Kopf und dann Zahl zu erhalten.

Ein Basketballspieler trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $0,8$. Er wirft zwei Freiwürfe unabhängig voneinander. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er beide Würfe verfehlt.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

In einem Schrank liegen $5$ weiße und $3$ schwarze T-Shirts. Es werden zufällig zwei T-Shirts nacheinander gezogen, ohne das erste zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide T-Shirts weiß sind.

In einer Cafeteria werden zwei Menüs angeboten: $60\,\%$ der Kunden wählen das Tagesmenü und $40\,\%$ wählen das vegetarische Menü. Von denen, die das Tagesmenü wählen, bestellen $70\,\%$ Kaffee zum Nachtisch. Von denen, die das vegetarische Menü wählen, bestellen $80\,\%$ Tee. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde das Tagesmenü gewählt und außerdem Kaffee bestellt hat.

Gegeben ist ein spanisches Kartenspiel mit $40$ Karten. Es werden nacheinander drei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Karten zur selben Farbe gehören (Münzen, Kelche, Schwerter oder Stäbe).

Auf dem Weg zur Arbeit kann Yasmin mit dem Bus (mit der Wahrscheinlichkeit $0,7$) oder mit dem Fahrrad (mit der Wahrscheinlichkeit $0,3$) fahren. Fährt sie mit dem Bus, beträgt die Wahrscheinlichkeit, zu spät zu kommen, $0,2$. Fährt sie mit dem Fahrrad, beträgt die Wahrscheinlichkeit, zu spät zu kommen, $0,05$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Yasmin mit dem Fahrrad fährt und pünktlich ankommt?

In einer Fabrik für elektronische Bauteile stellen drei Maschinen (A, B und C) jeweils $50\,\%$, $30\,\%$ und $20\,\%$ der Teile her. Die Anteile fehlerhafter Teile der einzelnen Maschinen betragen $2\,\%$, $4\,\%$ und $5\,\%$. Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil fehlerhaft ist.

Bei einem Diagnosetest auf eine Allergie hat $5\,\%$ der Bevölkerung tatsächlich die Allergie. Hat eine Person die Allergie, fällt der Test in $90\,\%$ der Fälle positiv aus. Hat sie die Allergie nicht, fällt der Test in $95\,\%$ der Fälle negativ aus. Zeichne ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung der Situation und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein positives Testergebnis erhält.

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Gegeben sind zwei Kisten. Kiste 1 enthält $4$ blaue und $2$ rote Spielsteine. Kiste 2 enthält $3$ blaue und $5$ rote Spielsteine. Aus Kiste 1 wird zufällig ein Stein gezogen und in Kiste 2 gelegt. Anschließend wird ein Stein aus Kiste 2 gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der aus Kiste 2 gezogene Stein blau ist.

Nach den Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes regnet es in einem Ort im Norden im November an $10\,\%$ der Tage. Die Daten des städtischen Verkehrsunternehmens zeigen: Bei Regen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buslinie eine deutliche Verspätung hat, $0,40$; bei Trockenheit sinkt diese Wahrscheinlichkeit auf $0,05$.\na) Schätze, bevor du etwas berechnest, intuitiv: Wenn die Linie an einem beliebigen Novembertag eine deutliche Verspätung hat, ist es dann wahrscheinlicher, dass es geregnet hat, oder dass es nicht geregnet hat? Begründe deine Intuition kurz, indem du das Gewicht jeder Tagesart berücksichtigst.\nb) Modelliere die Situation mit einem Baumdiagramm und berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der Bus an einem Novembertag eine deutliche Verspätung hat.\nc) Berechne mit dem Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit, dass es geregnet hat, wenn der Bus verspätet angekommen ist. Überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung aus Teilaufgabe a) richtig war oder ob du dem „Basisratenfehler“ aufgesessen bist.

In einer Stadt sind $20\,\%$ der Autofahrer jung (unter 25 Jahren) und $80\,\%$ erwachsen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein junger Fahrer in einem Jahr einen Unfall hat, beträgt $0,15$, bei einem Erwachsenen $0,05$. Es wird zufällig ein Fahrer ausgewählt, und er hatte in diesem Jahr einen Unfall. Berechne mithilfe der Äste eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fahrer jung ist. (Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.)

Die Alarmanlage eines Tresorraums hat 3 Bewegungssensoren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sensor A bei einem Einbruch versagt, beträgt $0,1$; die, dass Sensor B versagt, $0,05$; und die, dass Sensor C versagt, $0,2$. Die Sensoren arbeiten völlig unabhängig voneinander. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem tatsächlichen Einbruch mindestens ein Sensor anspringt und der Alarm ertönt.

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