Funktionen, Geometrie und Stochastik – Prüfungsteil 1

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P(0\,|\,2)$ und $Q(1\,|\,5)$. Gib ihre Gleichung an.

2. Gib Steigung und $y$-Achsenabschnitt der Geraden $y=-0{,}5x+4$ an.

3. Gib den Scheitelpunkt der Parabel mit $f(x)=(x-2)^2+1$ an.

4. Berechne für $f(x)=3\cdot 2^x$ die Funktionswerte $f(0)$ und $f(3)$.

5. Gib die Amplitude der Funktion $f(x)=2\cdot\sin(x)$ an.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Eine Gerade verläuft durch $A(1\,|\,2)$ und $B(3\,|\,8)$. Bestimme ihre Gleichung.

2. Prüfe, ob $P(4\,|\,10)$ auf dem Graphen von $f(x)=2x+1$ liegt.

3. Bestimme die Nullstellen von $f(x)=x^2-6x+8$.

4. Eine Algenfläche von $200\,\text{m}^2$ wächst täglich um $10\,\%$. Gib einen Funktionsterm für die Fläche nach $t$ Tagen an.

5. Gib Amplitude und Periode der Funktion $f(x)=3\cdot\sin(2x)$ an ($x$ im Bogenmaß).

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Gegeben ist $f(x)=x^2-4x+3$. Bestimme die Scheitelpunktform und die Koordinaten des Scheitelpunkts.

2. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+2$.

3. Der Graph von $f(x)=a\cdot q^x$ mit $q>0$ verläuft durch $P(0\,|\,4)$ und $Q(2\,|\,36)$. Bestimme $a$ und $q$.

4. Eine Sinusfunktion $f(x)=a\cdot\sin(bx)$ hat den größten Funktionswert $4$ und die Periode $\pi$. Gib einen passenden Funktionsterm an.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Ein Rechteck ist $8\,\text{cm}$ lang und $5\,\text{cm}$ breit. Berechne Umfang und Flächeninhalt.

2. Ein Kreis hat den Radius $3\,\text{cm}$. Gib den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $\pi$ an.

3. Ein Quader hat die Kantenlängen $4\,\text{cm}$, $3\,\text{cm}$ und $2\,\text{cm}$. Berechne sein Volumen.

4. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $6\,\text{cm}$ und $8\,\text{cm}$. Berechne die Länge der Hypotenuse.

5. Ein Zylinder hat den Radius $2\,\text{cm}$ und die Höhe $5\,\text{cm}$. Gib sein Volumen in Abhängigkeit von $\pi$ an.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6\,\text{cm}$ und die Höhe $9\,\text{cm}$. Berechne ihr Volumen.

2. Ein Kegel hat den Radius $3\,\text{cm}$ und die Höhe $4\,\text{cm}$. Berechne die Länge der Mantellinie und die Mantelfläche in Abhängigkeit von $\pi$.

3. Ein Kreissektor hat den Radius $6\,\text{cm}$ und den Mittelpunktswinkel $60^\circ$. Berechne Flächeninhalt und Bogenlänge in Abhängigkeit von $\pi$.

4. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $10\,\text{cm}$ lang und ein Winkel beträgt $30^\circ$. Bestimme mit $\sin 30^\circ=0{,}5$ die Länge der Gegenkathete dieses Winkels.

5. Eine Kugel hat den Radius $3\,\text{cm}$. Gib ihr Volumen in Abhängigkeit von $\pi$ an.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Ein Zylinder hat den Radius $5\,\text{cm}$ und das Volumen $250\pi\,\text{cm}^3$. Bestimme seine Höhe.

2. Die Kantenlänge eines Würfels wird verdoppelt. Begründe, um welchen Faktor das Volumen wächst.

3. Eine Leiter der Länge $5\,\text{m}$ steht mit dem Fußpunkt $3\,\text{m}$ von einer senkrechten Wand entfernt. Berechne die Höhe, in der sie die Wand berührt, und gib $\tan\alpha$ für den Winkel $\alpha$ zwischen Leiter und Boden an.

4. Ein Kreis hat den Flächeninhalt $36\pi\,\text{cm}^2$. Bestimme seinen Umfang.

5. Ein senkrecht stehender Stab von $2\,\text{m}$ Höhe wirft einen Schatten von $3\,\text{m}$. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen Schatten von $12\,\text{m}$. Bestimme die Höhe des Baumes.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl.

2. In einer Urne liegen 3 rote und 5 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel.

3. Eine Münze wird zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für zweimal „Zahl“.

4. Ein Glücksrad hat drei Sektoren mit den Mittelpunktswinkeln $90^\circ$, $90^\circ$ und $180^\circ$. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der $180^\circ$-Sektor getroffen wird.

5. Gegeben sind die Werte $3;\ 5;\ 5;\ 7;\ 10$. Bestimme Mittelwert und Median.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. In einer Urne liegen 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln.

2. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 4 beträgt.

3. In einem Jahrgang mit 100 Schülerinnen und Schülern sind 40 Mädchen. 25 Personen tragen eine Brille, darunter 10 Mädchen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Schülerin eine Brille trägt.

4. Für zwei Ereignisse gilt $P(A)=0{,}3$ und $P_A(B)=0{,}5$. Berechne $P(A\cap B)$.

5. Eine Münze wird dreimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal „Zahl“.

Bearbeite die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner.

1. Von 1.000 Personen sind $10\,\%$ infiziert. Ein Test erkennt $90\,\%$ der Infizierten und zeigt bei $5\,\%$ der Nicht-Infizierten fälschlich ein positives Ergebnis. Bestimme die Anzahl der Personen mit positivem Testergebnis.

2. Bestimme den Anteil der tatsächlich Infizierten unter den positiv Getesteten aus Aufgabe 1.

3. Für zwei Ereignisse gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ und $P(A\cap B)=0{,}2$. Zeige, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

4. Berechne für die Ereignisse aus Aufgabe 3 die Wahrscheinlichkeit $P(A\cup B)$.

5. Bei einem Glücksrad gilt $P(\text{rot})=0{,}2$. Das Rad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal rot.