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Gymnasium 10 · Mathematik
Anwendungen im Gymnasium Klasse 10: Trigonometrie, Wachstum und Prüfungsvorbereitung · Vorbereitung auf die Zentralen Prüfungen

Basiskompetenzen ohne Hilfsmittel

Im Prüfungsteil 1 der Zentralen Prüfung 10 (ZP10) hast du 30 Minuten Zeit, und weder Taschenrechner noch Formelsammlung sind erlaubt. Lena fragt sich: „Wie soll ich $3{,}6 : 0{,}4$ oder das Volumen einer Pyramide ohne Hilfsmittel schaffen?“ Mit ein paar Tricks geht das schnell. Am Ende der Seite weißt du, wie.

Kopfrechnen, Brüche und Prozent

Ohne Taschenrechner helfen dir drei Ideen: zerlegen, vereinfachen und Prozent über 10 % und 1 %.

  • Zerlegen: $25 \cdot 12 = 25 \cdot 4 \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300$.

  • Vereinfachen: Bei $3{,}6 : 0{,}4$ multiplizierst du beide Zahlen mit 10 und rechnest $36 : 4 = 9$. Der Quotient bleibt gleich.

  • Brüche addieren: Du brauchst den gemeinsamen Nenner.

Üben★☆☆
Rechne ohne Taschenrechner: a) $25 \cdot 12$ b) $3{,}6 : 0{,}4$ c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ d) $15\,\%$ von $240 \text{ €}$

Rechne ohne Taschenrechner:

  1. a) $25 \cdot 12$
  1. b) $3{,}6 : 0{,}4$
  1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$
  1. d) $15\,\%$ von $240 \text{ €}$
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Lineare Gleichungen und Einheiten

Eine lineare Gleichung löst du mit Äquivalenzumformungen: Was du auf der einen Seite tust, tust du auch auf der anderen. Ziel ist $x = \ldots$

Einheiten umrechnen: Beachte den richtigen Faktor.

Größe Umrechnung
Länge $1\,\text{km} = 1.000\,\text{m}$, $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$
Fläche $1\,\text{m}^2 = 10.000\,\text{cm}^2$
Volumen $1\,\text{l} = 1.000\,\text{cm}^3$
Geschwindigkeit $1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Zum Beispiel: $90\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 90 : 3{,}6 = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Üben★☆☆
Löse ohne Taschenrechner die Gleichungen: a) $3x - 7 = 11$ b) $5(x + 2) = 2x + 19$ c) $\frac{x}{4} + 3 = 8$

Löse ohne Taschenrechner die Gleichungen:

  1. a) $3x - 7 = 11$
  1. b) $5(x + 2) = 2x + 19$
  1. c) $\frac{x}{4} + 3 = 8$
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Üben★☆☆
Wandle um: a) $2{,}5 \text{ km}$ in m b) $350 \text{ cm}^2$ in $\text{m}^2$ c) $0{,}8 \text{ L}$ in $\text{cm}^3$ d) $90 \text{ km/h}$ in m/s

Wandle um:

  1. a) $2{,}5 \text{ km}$ in m
  1. b) $350 \text{ cm}^2$ in $\text{m}^2$
  1. c) $0{,}8 \text{ L}$ in $\text{cm}^3$
  1. d) $90 \text{ km/h}$ in m/s
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Üben★★★
Lena und Tom haben zusammen $84 \text{ €}$. Dann gibt Tom $6 \text{ €}$ aus. Danach hat Lena doppelt so viel wie Tom. a) Stelle eine Gleichung auf. b) Löse sie ohne…

Lena und Tom haben zusammen $84 \text{ €}$. Dann gibt Tom $6 \text{ €}$ aus. Danach hat Lena doppelt so viel wie Tom.

  1. a) Stelle eine Gleichung auf.
  1. b) Löse sie ohne Taschenrechner.
  1. c) Überprüfe das Ergebnis durch eine Probe.
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Prozentrechnung und Durchschnittsgeschwindigkeit

Beim Grundwert $G$ ist 100 %. Nach einem Rabatt von $20\,\%$ bezahlst du nur $80\,\%$. Dann gilt: $80\,\% \cdot G = $ Preis.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $\bar v = \frac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}}$. Es ist nicht der Mittelwert der Geschwindigkeiten, wenn die Zeiten verschieden lang sind.

Üben★★☆
Ein Fahrrad kostet im Angebot $360 \text{ €}$ nach einem Rabatt von $20\,\%$. a) Wie teuer war es vorher? b) Wie viel Euro spart man? c) Nach dem Angebot wird der Preis…

Ein Fahrrad kostet im Angebot $360 \text{ €}$ nach einem Rabatt von $20\,\%$.

  1. a) Wie teuer war es vorher?
  1. b) Wie viel Euro spart man?
  1. c) Nach dem Angebot wird der Preis um $20\,\%$ erhöht. Ist er wieder der alte Preis? Begründe ohne Taschenrechner.
Lösen
Üben★★★
Ein Zug fährt $45 \text{ min}$ lang mit $120 \text{ km/h}$ und anschließend $30 \text{ min}$ lang mit $80 \text{ km/h}$. a) Berechne die gesamte Strecke. b) Berechne die…

Ein Zug fährt $45 \text{ min}$ lang mit $120 \text{ km/h}$ und anschließend $30 \text{ min}$ lang mit $80 \text{ km/h}$.

  1. a) Berechne die gesamte Strecke.
  1. b) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit ohne Taschenrechner.
  1. c) Begründe, warum der Durchschnitt nicht $100 \text{ km/h}$ ist.
Lösen

Schätzen und Überschlagen

Schätzen heißt: mit gerundeten, einfachen Zahlen rechnen und das Ergebnis auf Plausibilität prüfen.

  • $4{,}9 \cdot 20{,}2 \approx 5 \cdot 20 = 100$. (Genauer: etwas weniger, da 4,9 kleiner als 5 ist, aber 20,2 größer als 20 ist.)

  • $\sqrt{50}$: Es ist $7^2 = 49$ und $8^2 = 64$, also $\sqrt{50} \approx 7{,}1$. Wegen $7{,}1^2 = 50{,}41$ ist 7,1 sogar etwas zu groß, aber auf eine Nachkommastelle stimmt es.

  • Sekunden pro Tag: $24 \cdot 60 \cdot 60 = 24 \cdot 3.600 \approx 25 \cdot 3.600 = 90.000$. Größenordnung: etwa $10^5$ Sekunden (genau $86.400$).

Üben★★☆
Schätze ohne Taschenrechner und gib die Rechnung an: a) $\sqrt{50}$ (auf eine Nachkommastelle) b) $4{,}9 \cdot 20{,}2$ c) Wie viele Sekunden hat ein Tag (Größenordnung)?

Schätze ohne Taschenrechner und gib die Rechnung an:

  1. a) $\sqrt{50}$ (auf eine Nachkommastelle)
  1. b) $4{,}9 \cdot 20{,}2$
  1. c) Wie viele Sekunden hat ein Tag (Größenordnung)?
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Das Pyramidenvolumen im Kopf

Im Teil 1 gibt es keine Formelsammlung. Du musst diese Formel auswendig wissen:

Warum der Faktor $\frac{1}{3}$? Drei gleiche Pyramiden passen zu einem Würfel zusammen, wenn die Spitze in einer Würfelecke liegt und die Grundflächen die drei Seiten sind, die nicht an die Ecke grenzen. Jede hat $\frac{1}{3}$ des Würfelvolumens.

Ähnlichkeit: Wird eine Pyramide mit dem Faktor $k$ verkleinert, gilt für Längen $k$, für Flächen $k^2$ und für Volumen $k^3$. Halbe Höhe bedeutet $k = \frac{1}{2}$ und damit $\frac{1}{8}$ des Volumens.

Pyramide mit Spitze unten, bis zur halben Höhe mit Wasser gefüllt Kante oben 4 m h = 3 m Wasser: k = 1/2
Üben★★☆
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante $6 \text{ cm}$ und die Höhe $10 \text{ cm}$. a) Berechne das Volumen ohne Taschenrechner. b) Die Höhe wird verdoppelt, die…

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante $6 \text{ cm}$ und die Höhe $10 \text{ cm}$.

  1. a) Berechne das Volumen ohne Taschenrechner.
  1. b) Die Höhe wird verdoppelt, die Grundkante bleibt gleich. Wie ändert sich das Volumen?
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Üben★★★
Ein Wassertank in Form einer quadratischen Pyramide (Spitze unten) hat die Kantenlänge oben $4 \text{ m}$ und die Höhe $3 \text{ m}$. Er ist zur Hälfte der Höhe gefüllt.…

Ein Wassertank in Form einer quadratischen Pyramide (Spitze unten) hat die Kantenlänge oben $4 \text{ m}$ und die Höhe $3 \text{ m}$. Er ist zur Hälfte der Höhe gefüllt.

  1. a) Berechne das Gesamtvolumen.
  1. b) Berechne das Volumen des Wassers ohne Taschenrechner. Nutze dabei den Ähnlichkeitsfaktor.
  1. c) Wie viel Prozent des Gesamtvolumens ist gefüllt?
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Zurück zum Anfang: $3{,}6 : 0{,}4$ rechnest du als $36 : 4 = 9$, und das Pyramidenvolumen schaffst du mit $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ im Kopf.

Auf einen Blick

  • Kopfrechnen: zerlegen, beim Dividieren Dezimalzahlen durch Erweitern beseitigen; Brüche erst gleichnamig machen.

  • Prozent: über $10\,\%$ und $1\,\%$ rechnen; beim Rückwärtsrechnen gilt: neuer Wert $= q \cdot$ Grundwert.

  • Gleichungen: Äquivalenzumformungen, immer die Probe machen.

  • Einheiten: Flächen mit dem Quadrat, Volumen mit der dritten Potenz des Längenfaktors; $1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Durchschnittsgeschwindigkeit $=$ Gesamtstrecke : Gesamtzeit.

  • Pyramide: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$; bei Ähnlichkeitsfaktor $k$ ändert sich das Volumen um $k^3$.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt
★☆☆ Rechne ohne Taschenrechner: a) $25 \cdot 12$ b) $3{,}6 : 0{,}4$ c)…★☆☆ Löse ohne Taschenrechner die Gleichungen: a) $3x - 7 = 11$ b) $5(x + 2) = 2x + 19$ c)…★☆☆ Wandle um: a) $2{,}5 \text{ km}$ in m b) $350 \text{ cm}^2$ in $\text{m}^2$ c)…
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