Geometrie und Trigonometrie

Zylinder, Kegel und Kugel

Bei Körperaufgaben berechnest du meist Volumen $V$, Mantelfläche $M$ oder Oberflächeninhalt $O$. Diese Formeln findest du in der Formelsammlung:

Die Mantellinie $s$ des Kegels ist die Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche. Sie ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $r$ und $h$. Deshalb gilt nach dem Satz des Pythagoras:

Zusammengesetzte Körper und Plausibilität

Viele Körper im Alltag bestehen aus mehreren Grundkörpern: ein Silo mit Kegeldach, eine Eiswaffel mit Kugel. Gehe so vor:

1. Zerlege den Körper in bekannte Teilkörper und skizziere sie.

2. Lies die Maße ab. Oft ist der Radius für mehrere Teile gleich.

3. Berechne die Teilergebnisse und addiere (oder subtrahiere) sie.

4. Prüfe, ob das Ergebnis passt: Überschlage mit gerundeten Werten.

Beim Oberflächeninhalt zählen nur die Flächen, die außen liegen. Wo zwei Teilkörper zusammenstoßen, verschwinden die Flächen im Inneren.

Die Kugel im Zylinder

Ein berühmter Zusammenhang: Passt eine Kugel mit dem Radius $r$ genau in einen Zylinder, dann hat dieser den Radius $r$ und die Höhe $2r$. Es gilt

Das Verhältnis ist $\dfrac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \tfrac{2}{3}$. Die Kugel füllt also stets $\tfrac{2}{3}$ des Zylinders aus. Das Prinzip von Cavalieri besagt: Körper mit gleicher Höhe und in jeder Höhe gleich großen Querschnittsflächen haben gleiches Volumen.

Zylinder: Ein schiefer Zylinder hat in jeder Höhe einen Kreisquerschnitt mit der Fläche $\pi r^2$, genau wie ein gerader Zylinder gleicher Höhe $h$. Also haben beide das Volumen $V = \pi r^2 \cdot h$.

Kugel: Vergleiche eine Halbkugel (Radius $r$) mit einem Zylinder (Radius $r$, Höhe $r$), aus dem ein Kegel (Radius $r$, Höhe $r$, Spitze unten) herausgenommen ist. In der Höhe $x$ über der Grundfläche hat die Halbkugel nach Pythagoras einen Kreisquerschnitt mit dem Radius $\sqrt{r^2 - x^2}$, also die Fläche $\pi(r^2 - x^2)$. Der Zylinder mit Kegelloch hat dort den Kreisring $\pi r^2 - \pi x^2 = \pi(r^2 - x^2)$, denn der Kegel hat in der Höhe $x$ den Radius $x$. Die Querschnitte sind überall gleich groß, also gilt $V_{\text{Halbkugel}} = \pi r^3 - \tfrac{1}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3$. Für die ganze Kugel folgt $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$.

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Eine Rampe, eine Leiter, ein Dach: Sobald ein Winkel oder eine Steigung vorkommt, hilft das rechtwinklige Dreieck. In allen ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken mit gleichem Winkel $\alpha$ sind die Seitenverhältnisse gleich. Deshalb kann man sie benennen:

Mit dem Taschenrechner (Modus DEG, also Gradmaß) berechnest du:

• eine Seite aus Winkel und Seite: Stelle die Gleichung auf und löse nach der gesuchten Seite auf.

• einen Winkel aus zwei Seiten: Benutze die Umkehrfunktionen $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ (Taste SHIFT oder 2nd).

Der Kosinussatz

Nicht jedes Dreieck hat einen rechten Winkel. Liegt zum Beispiel ein See zwischen zwei Orten, kannst du die Entfernung nicht direkt messen. Du misst aber von einem Punkt $C$ aus die Strecken $a = |BC|$ und $b = |AC|$ sowie den eingeschlossenen Winkel $\gamma$. Dann hilft der Kosinussatz:

Dabei liegt die Seite $c$ dem Winkel $\gamma$ gegenüber.

Für $\gamma = 90^\circ$ ist $\cos 90^\circ = 0$. Dann bleibt $c^2 = a^2 + b^2$. Der Kosinussatz verallgemeinert also den Satz des Pythagoras. Der Term $-2ab\cos\gamma$ korrigiert, falls $\gamma$ kleiner oder größer als $90^\circ$ ist.

Umgestellt erhältst du einen Winkel aus drei Seiten:

Die anderen Winkel bestimmst du anschließend ebenfalls mit dem Kosinussatz (oder mit der Winkelsumme $180^\circ$). Prüfe, ob die Summe $180^\circ$ ergibt.

Kreisbogen, Breitenkreis und Kegelmantel

Für Teile eines Kreises benutzt du den Anteil $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ des vollen Kreises:

Dabei ist $b$ die Länge des Kreisbogens und $A$ der Flächeninhalt des Kreissektors.

Breitenkreise der Erde

Ein Ort mit der geographischen Breite $\varphi$ liegt auf einem Breitenkreis. Dessen Radius ist kleiner als der Erdradius $R$. Im Schnitt durch die Erdachse erkennst du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\varphi$ im Erdmittelpunkt. Daraus folgt:

Kegelmantel aus einem Kreissektor

Wird ein Kreissektor mit dem Radius $s$ und dem Winkel $\alpha$ zu einem Kegelmantel gerollt, dann ist $s$ die Mantellinie. Die Bogenlänge des Sektors ist der Umfang der Grundfläche. Daraus ergibt sich Schritt für Schritt:

1. Bogenlänge $b = \tfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi s$.

2. Grundkreisradius aus $2\pi r = b$.

3. Höhe aus $h = \sqrt{s^2 - r^2}$.

4. Volumen aus $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

Auf einen Blick

• Körper: $V_{\text{Zyl}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{Kegel}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{Kugel}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3$. Beim Kegel gilt $s^2 = r^2 + h^2$ und $M = \pi r s$.

• Zusammengesetzte Körper: zerlegen, Teilergebnisse addieren, bei $O$ nur Außenflächen zählen, überschlagen.

• Rechtwinklig: $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$ mit Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse. Winkel mit $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ (Modus DEG).

• Kosinussatz: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ für Seite aus zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel, umgestellt für Winkel aus drei Seiten.

• Kreisteile: $b = \tfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, Breitenkreis $r = R\cos\varphi$.

• Das Ergebnis immer im Sachzusammenhang prüfen: Einheit, Größenordnung, Rundung.

Zurück zum Anfang: Beim Silo zerlegst du den Körper in Zylinder und Kegel, bei der Rampe nutzt du den Tangens, und bei der Entfernung über den See hilft der Kosinussatz.