Funktionen – Vorbereitung auf die ZP10 (Teil 2)
Im Prüfungsteil 2 der ZP10 darfst du Taschenrechner und Formelsammlung benutzen. Typische Aufgaben: Eine Bakterienkultur wächst, ein Medikament wird abgebaut, das Wasser an der Nordsee steigt und fällt. Welche Funktionstypen stecken dahinter, und wie liest du aus einem Term ab, was passiert?
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot q^x$ mit $a>0$ und $q>0$ heißt Exponentialfunktion. Die Variable steht im Exponenten, bei jedem Schritt von $x$ auf $x+1$ wird der Funktionswert mit demselben Faktor $q$ multipliziert.
Beispiel: $N(t)=500\cdot 1{,}2^t$ bedeutet Anfangsbestand 500, Wachstumsfaktor $1{,}2$, Wachstumsrate $20\,\%$ pro Stunde. Bei Abnahme um $15\,\%$ ist $q=1-0{,}15=0{,}85$.
Das Kapital bei Zinseszins ist ebenfalls exponentiell: $K(n)=K_0\cdot q^n$. Bei linearem Wachstum kommt dagegen in jedem Schritt dieselbe Zahl dazu, bei exponentiellem wird mit demselben Faktor multipliziert.
In einem Labor in Wuppertal wird eine Bakterienkultur untersucht. Die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden wird durch $N(t)=500\cdot 1{,}2^t$ beschrieben. a) Gib den…
In einem Labor in Wuppertal wird eine Bakterienkultur untersucht. Die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden wird durch $N(t)=500\cdot 1{,}2^t$ beschrieben.
- a) Gib den Anfangsbestand, den Wachstumsfaktor und die Wachstumsrate an.
- b) Berechne die Anzahl der Bakterien nach 5 Stunden.
- c) Vervollständige die Wertetabelle.
| $t$ in h | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $N(t)$ |
Familie Schulte legt bei der Sparkasse $3\,000\,€$ zu einem Zinssatz von $2{,}5\,\%$ pro Jahr an. Die Zinsen werden jeweils mitverzinst. a) Gib einen Funktionsterm…
Familie Schulte legt bei der Sparkasse $3\,000\,€$ zu einem Zinssatz von $2{,}5\,\%$ pro Jahr an. Die Zinsen werden jeweils mitverzinst.
- a) Gib einen Funktionsterm $K(n)$ für das Kapital nach $n$ Jahren an.
- b) Berechne das Kapital nach 10 Jahren.
- c) Begründe, dass das Kapital nicht linear wächst.
Der Graph einer Funktion $f(x)=a\cdot q^x$ mit $a>0$ und $q>0$ verläuft durch die Punkte $P(1\,|\,6)$ und $Q(3\,|\,24)$. a) Bestimme $a$ und $q$. b) Berechne $f(6)$. c)…
Der Graph einer Funktion $f(x)=a\cdot q^x$ mit $a>0$ und $q>0$ verläuft durch die Punkte $P(1\,|\,6)$ und $Q(3\,|\,24)$.
- a) Bestimme $a$ und $q$.
- b) Berechne $f(6)$.
- c) Bestimme $x$ so, dass $f(x)=1\,000$ gilt.
- d) Begründe, dass der Graph von $f$ die $x$-Achse nicht schneidet.
Exponentialgleichungen lösen
Oft ist gefragt, wann ein Wert erreicht wird. Dann musst du $b^x=c$ nach $x$ auflösen. Es gibt zwei Wege.
Systematisches Probieren: Setze mit dem Taschenrechner Werte ein und grenze die Lösung ein (Wertetabelle).
Logarithmieren: Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens: $b^x=c \Rightarrow x=\log_b(c)=\frac{\lg c}{\lg b}$ (oder mit $\ln$ statt $\lg$).
Verdopplungszeit und Halbwertszeit: Verdoppelt sich ein Bestand alle $T$ Einheiten, gilt $A(t)=A_0\cdot 2^{t/T}$. Bei Halbierung nimmst du $\left(\frac12\right)^{t/T}$.
Ein Patient erhält ein Medikament. Zu Beginn befinden sich $80\,\text{mg}$ des Wirkstoffs im Blut. Pro Stunde nimmt die Wirkstoffmenge um $15\,\%$ ab. a) Gib einen…
Ein Patient erhält ein Medikament. Zu Beginn befinden sich $80\,\text{mg}$ des Wirkstoffs im Blut. Pro Stunde nimmt die Wirkstoffmenge um $15\,\%$ ab.
- a) Gib einen Funktionsterm $M(t)$ für die Wirkstoffmenge in mg nach $t$ Stunden an.
- b) Berechne die Wirkstoffmenge nach 4 Stunden.
- c) Bestimme, nach wie vielen Stunden die Wirkstoffmenge erstmals unter $20\,\text{mg}$ liegt.
Auf einem Baggersee bei Haltern breiten sich Algen aus. Zu Beobachtungsbeginn bedecken sie $12\,\text{m}^2$. Die bedeckte Fläche verdoppelt sich alle 4 Tage. a) Zeige,…
Auf einem Baggersee bei Haltern breiten sich Algen aus. Zu Beobachtungsbeginn bedecken sie $12\,\text{m}^2$. Die bedeckte Fläche verdoppelt sich alle 4 Tage.
- a) Zeige, dass $A(t)=12\cdot 2^{t/4}$ ($t$ in Tagen, $A$ in $\text{m}^2$) das Wachstum beschreibt.
- b) Berechne die bedeckte Fläche nach 10 Tagen.
- c) Bestimme, nach wie vielen Tagen die Fläche $500\,\text{m}^2$ beträgt.
Linear oder exponentiell?
Ein Modell muss zum Vorgang passen. Prüfe an der Wertetabelle:
| linear | exponentiell | |
|---|---|---|
| Regel | gleiche Differenz pro Schritt | gleicher Quotient pro Schritt |
| Term | $f(x)=mx+b$ | $f(x)=a\cdot q^x$ |
| Langfristig | gleichmäßig | immer schneller (oder gegen 0) |
Beispiel: Lena startet mit $10\,€$ und spart $5\,€$ pro Monat: $L(n)=10+5n$. Jonas verdoppelt von $1\,€$ aus: $J(n)=2^n$.
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $L(n)$ in € | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| $J(n)$ in € | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
Ab $n=6$ hat Jonas mehr. Der Graph von $a\cdot q^x$ (mit $q>1$) steigt irgendwann steiler als jede Gerade. Der Graph schneidet die x-Achse nie, denn $a\cdot q^x>0$ für alle $x$. Bei $0 Zwei Jugendliche vergleichen Sparpläne. Lena startet mit $10\,€$ und legt jeden Monat $5\,€$ dazu. Jonas startet mit $1\,€$ und verdoppelt seinen Betrag jeden Monat. Der Betrag nach $n$ Monaten sei $L(n)$ bzw. $J(n)$.Zwei Jugendliche vergleichen Sparpläne. Lena startet mit $10\,€$ und legt jeden Monat $5\,€$ dazu. Jonas startet mit $1\,€$ und verdoppelt seinen Betrag jeden Monat. Der…
Sinusfunktionen und periodische Vorgänge
Gezeiten, Wechselstrom und Riesenräder wiederholen sich regelmäßig. Solche Vorgänge beschreibst du mit $f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x)$ (bzw. $f(t)=a\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$).
Stelle den Taschenrechner auf RAD (Bogenmaß), wenn $x$ im Bogenmaß angegeben ist. Bei Winkeln in Grad benutzt du DEG.
Umrechnung: Ein Winkel $\alpha$ im Gradmaß hat im Bogenmaß den Wert $x=\alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$. Es gilt $180^\circ=\pi$. Beispiel: $90^\circ$ entspricht $\frac{\pi}{2}$, und es ist $\sin(90^\circ)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$. Der Taschenrechner liefert dieses Ergebnis in DEG bei Eingabe von $90$ und in RAD bei Eingabe von $\frac{\pi}{2}$.
Die Funktion $f(x)=2\sin(x)$ hat die Wertetabelle $f(0)=0$, $f\left(\frac\pi2\right)=2$, $f(\pi)=0$, $f\left(\frac{3\pi}2\right)=-2$, $f(2\pi)=0$. Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beim Wechselstrom ist $U(t)=325\cdot\sin(100\pi\cdot t)$: Mit $b=100\pi$ ist $T=\frac{2\pi}{100\pi}=0{,}02\,\text{s}$, also $f=50\,\text{Hz}$. Die Effektivspannung ist $\frac{325}{\sqrt2}\approx 230\,\text{V}$. Ersetzt du $100\pi$ durch $50\pi$, wird $b$ halb so groß und die Periode doppelt so lang.
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot\sin(x)$ mit $x$ im Bogenmaß. a) Gib Amplitude und Periode an. b) Berechne $f(0)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(\pi)$ und…
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot\sin(x)$ mit $x$ im Bogenmaß.
- a) Gib Amplitude und Periode an.
- b) Berechne $f(0)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(\pi)$ und $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.
- c) Zeichne den Graphen von $f$ für $0\le x\le 2\pi$.
Der Wasserstand in Cuxhaven schwankt periodisch um den mittleren Wasserstand. Die Abweichung wird näherungsweise durch…
Der Wasserstand in Cuxhaven schwankt periodisch um den mittleren Wasserstand. Die Abweichung wird näherungsweise durch $h(t)=1{,}5\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{12{,}4}\cdot t\right)$ beschrieben ($t$ in Stunden, $h$ in Metern, Taschenrechner im Bogenmaß).
- a) Gib Amplitude und Periode an und bestimme den Tidenhub, das ist der Höhenunterschied zwischen höchstem und niedrigstem Wasserstand.
- b) Berechne die Abweichung $h(2)$.
- c) Bestimme den Zeitpunkt nach $t=0$, zu dem der Wasserstand erstmals am höchsten ist.
Die Netzspannung einer Steckdose wird durch $U(t)=325\cdot\sin(100\pi\cdot t)$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $U$ in Volt, Taschenrechner im Bogenmaß). a) Bestimme…
Die Netzspannung einer Steckdose wird durch $U(t)=325\cdot\sin(100\pi\cdot t)$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $U$ in Volt, Taschenrechner im Bogenmaß).
- a) Bestimme Amplitude, Periode und Frequenz.
- b) Berechne $U(0{,}005)$ und $U(0{,}003)$.
- c) Zeige, dass der Quotient aus der Amplitude und $\sqrt{2}$ näherungsweise der bekannten Effektivspannung von $230\,\text{V}$ entspricht.
- d) Erkläre, wie sich die Periode ändert, wenn im Term $100\pi$ durch $50\pi$ ersetzt wird.
Zurück zum Anfang: Bakterien und Medikament folgen $a\cdot q^x$, Gezeiten und Steckdose einer Sinusfunktion.