Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Bei exponentiellem Wachstum oder Zerfall gilt $N(t) = N_0 \cdot q^t$ mit dem Anfangswert $N_0$ und dem Wachstumsfaktor $q > 0$ (in den Aufgaben auch mit $b$ bezeichnet). Es gilt $q = 1 + \frac{p}{100}$, wobei $p\,\%$ die Wachstumsrate ist.

Die Besonderheit: Beide Zeiten sind konstant. Egal, wo du startest, nach jeder Zeitspanne $T_H$ ist nur noch die Hälfte da.

Du kannst die Menge also mit der Halbwertszeit direkt berechnen:

Das ist dieselbe Funktion wie $N_0 \cdot q^t$, nur mit $q = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/T_H}$. Für Wachstum gilt entsprechend $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T_V}$.

Linear oder exponentiell? Eignung des Modells

Bei linearem Wachstum kommt pro Zeitschritt immer dieselbe Menge dazu, bei exponentiellem Wachstum immer derselbe Faktor. Eine Verdopplungszeit gibt es deshalb nur beim exponentiellen Modell: Linear von 100 auf 200 dauert es gleich lange wie von 200 auf 300, exponentiell dauert es von 200 auf 400 genauso lange wie von 100 auf 200.

Langfristige Entwicklung: Bei Zerfall nähert sich $N(t)$ immer mehr der $t$-Achse, wird aber nie $0$. Bei Wachstum wächst $N(t)$ ohne Grenze. Im echten Leben stößt Wachstum an Grenzen (Platz, Nahrung), das Modell passt dann nur für einen begrenzten Zeitraum. Prüfe deshalb immer, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

Zeit durch systematisches Probieren bestimmen

Oft ist nicht die Halbwertszeit gegeben, sondern die prozentuale Änderung pro Zeitschritt. Dann bestimmst du erst den Faktor: $b = 1 + \frac{p}{100}$ bei Wachstum um $p\,\%$, bei Abnahme um $p\,\%$ gilt $b = 1 - \frac{p}{100}$.

Danach suchst du die Zeit $t$ mit $b^t = 2$ (Verdopplung) bzw. $b^t = 0{,}5$ (Halbierung). Mit dem Taschenrechner probierst du Werte für $t$ aus und grenzt die Lösung ein.

Mit dem Logarithmus rechnen

Probieren ist oft mühsam. Der Logarithmus liefert die Lösung von $b^t = c$ direkt:

Auf dem Taschenrechner nutzt du die Taste $\lg$ (oder $\ln$; der Quotient ist derselbe). Für die Verdopplungszeit also $t = \frac{\lg 2}{\lg b}$, für die Halbwertszeit $t = \frac{\lg 0{,}5}{\lg b}$.

Auch andere Zielwerte als „doppelt“ gehen so: Soll aus $4\,\text{m}^2$ der Wert $50\,\text{m}^2$ werden, gilt $4 \cdot b^t = 50$, also $b^t = 12{,}5$ und $t = \frac{\lg 12{,}5}{\lg b}$.

Um aus einer Verdopplungszeit den Tagesfaktor zu bekommen, ziehst du die Wurzel: Verdoppelt sich etwas in 5 Tagen, gilt $b^5 = 2$, also $b = 2^{1/5} = \sqrt[5]{2} \approx 1{,}1487$.

Unabhängigkeit vom Anfangswert und Anwendungen

Warum hängt die Halbwertszeit nicht vom Anfangswert ab? Aus $N_0 \cdot b^t = \tfrac{1}{2} N_0$ kürzt sich $N_0$ heraus: $b^t = \tfrac{1}{2}$. Die Zeit hängt nur von $b$ ab. Genauso gilt es bei jedem anderen Anteil: Um auf $10\,\%$ des Anfangswerts zu fallen, löst du $b^t = 0{,}1$.

Bei weniger als $1\,\%$ Restgehalt wird die Methode unzuverlässig: Die verbleibende Menge ist so klein, dass schon winzige Messfehler oder Verunreinigungen einen großen Fehler im berechneten Alter verursachen.

Zurück zum Anfang: Das Medikament mit $T_H = 6$ Stunden ist nach 24 Stunden vier Halbwertszeiten lang abgebaut, es sind nur noch $\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \tfrac{1}{16} \approx 6\,\%$ der Anfangsmenge im Blut – unabhängig davon, wie viel gegeben wurde.

Auf einen Blick

• Verdopplungszeit $T_V$ (Wachstum) und Halbwertszeit $T_H$ (Zerfall) sind konstant und unabhängig vom Anfangswert.

• Mit Halbwertszeit: $N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_H}$; mit Verdopplungszeit: $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T_V}$.

• Faktor aus Prozentsatz: $b = 1 + \frac{p}{100}$ (Wachstum), $b = 1 - \frac{p}{100}$ (Zerfall).

• Zeit bestimmen: durch systematisches Probieren oder mit $t = \frac{\lg c}{\lg b}$ aus $b^t = c$ ($c = 2$ bzw. $c = 0{,}5$).

• Aus einer Verdopplungs- oder Halbwertszeit $T$ erhältst du den Faktor mit $b = 2^{1/T}$ bzw. $b = 0{,}5^{1/T}$.