Geometrie und Trigonometrie · Trigonometrie für beliebige Winkel
Kosinussatz
Zwei Wanderwege im Sauerland gabeln sich unter einem Winkel von $58^\circ$. Der eine Abschnitt ist 7 km lang, der andere 8 km. Wie lang wäre ein direkter Weg, der die beiden Enden verbindet? Mit dem Satz des Pythagoras allein geht das nicht, denn das Dreieck ist nicht rechtwinklig. Dafür brauchst du den Kosinussatz.
Eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck gilt $c^2 = a^2 + b^2$. Ist der Winkel $\gamma$ kein rechter, so stimmt das nicht mehr: Die Seite $c$ ist kürzer als $\sqrt{a^2+b^2}$, wenn $\gamma$ spitz ist, und länger, wenn $\gamma$ stumpf ist. Der Kosinussatz liefert genau den fehlenden Korrekturterm.
Beweisidee: Zeichne die Höhe $h_b$ von $B$ auf die Seite $b$. Sie teilt $b$ in die Teile $c\cdot\cos\alpha$ und $b - c\cdot\cos\alpha$ und es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Der Satz des Pythagoras in beiden Dreiecken und $h_b^2 = c^2 - (c\cos\alpha)^2$ liefern nach Zusammenfassen $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$.
Üben★☆☆Nicht begonnen
In einem Dreieck $ABC$ sind die Seiten $b=5$ cm, $c=8$ cm und der eingeschlossene Winkel $A=60^\circ$ bekannt. Berechnen Sie die Länge der Seite $a$.
In einem Dreieck $ABC$ sind die Seiten $b=5$ cm, $c=8$ cm und der eingeschlossene Winkel $A=60^\circ$ bekannt. Berechnen Sie die Länge der Seite $a$.
In einem Dreieck $ABC$ sind die Seiten $a=10$ cm und $b=12$ cm lang und der eingeschlossene Winkel beträgt $C=45^\circ$. Stellen Sie den Kosinussatz auf, um den exakten…
In einem Dreieck $ABC$ sind die Seiten $a=10$ cm und $b=12$ cm lang und der eingeschlossene Winkel beträgt $C=45^\circ$. Stellen Sie den Kosinussatz auf, um den exakten Wert der Seite $c$ zu berechnen.
Eine Seite berechnen: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
Kennst du zwei Seiten und den Winkel dazwischen (SWS), setzt du direkt in die Formel ein.
Zurück zum Anfang: Der direkte Weg im Sauerland wäre etwa 7,3 km lang.
Üben★☆☆Nicht begonnen
Ein Parallelogramm hat zwei benachbarte Seiten mit 4 cm und 6 cm Länge. Wenn der von ihnen eingeschlossene Winkel $120^\circ$ beträgt, berechnen Sie die Länge der…
Ein Parallelogramm hat zwei benachbarte Seiten mit 4 cm und 6 cm Länge. Wenn der von ihnen eingeschlossene Winkel $120^\circ$ beträgt, berechnen Sie die Länge der längeren Diagonale.
Berechnen Sie die Entfernung zwischen zwei unzugänglichen Punkten $A$ und $B$, wenn von einem Beobachtungspunkt $C$ aus die Entfernungen $CA = 15$ m und $CB = 20$ m…
Berechnen Sie die Entfernung zwischen zwei unzugänglichen Punkten $A$ und $B$, wenn von einem Beobachtungspunkt $C$ aus die Entfernungen $CA = 15$ m und $CB = 20$ m gemessen wurden und der Sehwinkel $ACB$ gleich $40^\circ$ ist.
Zwei Flugzeuge starten gleichzeitig vom selben Flughafen. Flugzeug A fliegt mit $800$ km/h auf einem Kurs von $040^\circ$ und Flugzeug B fliegt mit $650$ km/h auf einem…
Zwei Flugzeuge starten gleichzeitig vom selben Flughafen. Flugzeug A fliegt mit $800$ km/h auf einem Kurs von $040^\circ$ und Flugzeug B fliegt mit $650$ km/h auf einem Kurs von $115^\circ$. Wie weit sind sie nach 1,5 Stunden Flug in Luftlinie voneinander entfernt?
Sind alle drei Seiten bekannt (SSS), löst du die Formel nach dem Kosinus auf und benutzt die Umkehrfunktion $\cos^{-1}$ deines Taschenrechners (Modus DEG!).
Üben★☆☆Nicht begonnen
In einem Dreieck $ABC$ betragen die Seitenlängen $a=3$ cm, $b=5$ cm und $c=7$ cm. Berechnen Sie die Größe des Winkels $C$.
In einem Dreieck $ABC$ betragen die Seitenlängen $a=3$ cm, $b=5$ cm und $c=7$ cm. Berechnen Sie die Größe des Winkels $C$.
Wann benutzt du den Kosinussatz? Immer dann, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) oder drei Seiten (SSS) kennst, aber kein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel.
Üben★★☆Nicht begonnen
Um die Entfernung über einen See zwischen den Punkten $A$ und $B$ zu messen, stellt sich ein Landvermesser im Punkt $C$ auf. Er misst die Entfernungen $CA = 125,5$ m und…
Um die Entfernung über einen See zwischen den Punkten $A$ und $B$ zu messen, stellt sich ein Landvermesser im Punkt $C$ auf. Er misst die Entfernungen $CA = 125,5$ m und $CB = 180,2$ m sowie den Winkel $ACB = 75^\circ$. Berechnen Sie die Entfernung $AB$.
In einem Dreieck haben die Seiten die Längen $x$, $x+2$ und $x+4$. Der größte Winkel beträgt $120^\circ$. Stellen Sie die zugehörige Gleichung auf, bestimmen Sie den…
In einem Dreieck haben die Seiten die Längen $x$, $x+2$ und $x+4$. Der größte Winkel beträgt $120^\circ$. Stellen Sie die zugehörige Gleichung auf, bestimmen Sie den Wert von $x$ und die exakten Längen der drei Seiten.
In einem Sehnenviereck (alle Ecken liegen auf einem Kreis) ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu $180^\circ$, also $\gamma=180^\circ-\alpha$ und damit $\cos\gamma=-\cos\alpha$. Stellst du den Kosinussatz für die Diagonale $e$ in den beiden Teildreiecken auf, kommt in beiden $\cos\alpha$ vor, einmal mit Plus und einmal mit Minus. So kannst du $\cos\alpha$ eliminieren und $e$ bestimmen.
Üben★★★Nicht begonnen
Ein Sehnenviereck $ABCD$ hat die Seitenlängen $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm und $DA=6$ cm. Berücksichtigen Sie die Eigenschaften gegenüberliegender Winkel im…
Ein Sehnenviereck $ABCD$ hat die Seitenlängen $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm und $DA=6$ cm. Berücksichtigen Sie die Eigenschaften gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck, stellen Sie mithilfe des Kosinussatzes in den Dreiecken $ABC$ und $ADC$ ein Gleichungssystem auf und berechnen Sie die exakte Länge der Diagonalen $AC$.