Stochastik · Mathematik Gymnasium 10

Baumdiagramm und Pfadregeln

Ein zweistufiger Zufallsversuch lässt sich im Baumdiagramm darstellen. Jeder Ast trägt seine Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen 1.

Lea trifft beim Elfmeterschießen mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}7$. Sie schießt zweimal.

(T = Treffer, N = Niete.)

Warum? Von 100 Versuchen enden etwa 70 mit einem Treffer, und von diesen 70 treffen wieder 70 %. Das sind $0{,}7 \cdot 0{,}7$ des Ganzen. Das Produkt entlang des Pfades ist also ein „Anteil vom Anteil“. Die Summe brauchst du, wenn mehrere Pfade zum selben Ereignis führen.

Ziehen ohne Zurücklegen

Wird nicht zurückgelegt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe, denn die Urne ist danach anders gefüllt.

Üben★☆☆

An einer Bude auf der Cranger Kirmes gewinnt man beim Drehen eines Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}2$. Das Rad wird zweimal gedreht. a) Zeichne ein…

An einer Bude auf der Cranger Kirmes gewinnt man beim Drehen eines Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}2$. Das Rad wird zweimal gedreht.

a) Zeichne ein Baumdiagramm und trage alle Wahrscheinlichkeiten ein.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zweimal Niete.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau einen Gewinn.

Lösen

Üben★☆☆

In einer Klasse mit 28 Schülerinnen und Schülern wurde nach dem Schulweg gefragt: 12 kommen mit dem Fahrrad, 9 mit dem Bus und 7 zu Fuß. a) Gib die relativen…

In einer Klasse mit 28 Schülerinnen und Schülern wurde nach dem Schulweg gefragt: 12 kommen mit dem Fahrrad, 9 mit dem Bus und 7 zu Fuß.

a) Gib die relativen Häufigkeiten in Prozent an (auf eine Nachkommastelle gerundet).

b) Eine Person wird zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht mit dem Bus kommt.

c) Zwei Personen werden nacheinander ohne Zurücklegen ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide mit dem Fahrrad kommen.

Lösen

Üben★★☆

Eine Urne enthält 6 rote und 4 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander gezogen. a) Berechne ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene…

Eine Urne enthält 6 rote und 4 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander gezogen.

a) Berechne ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Farben.

b) Berechne ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine schwarze Kugel.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln einmal mit und einmal ohne Zurücklegen und vergleiche beide Ergebnisse.

Lösen

Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Wenn zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen vorkommen, ist die Vierfeldertafel übersichtlich. In der Mitte stehen die Häufigkeiten (oder Wahrscheinlichkeiten) für „beides“, am Rand die Summen (Randhäufigkeiten). Aus zwei Zeilen und zwei Spalten kannst du die fehlenden Felder durch Addieren und Subtrahieren bestimmen.

Fußball im Verein

In einer Jahrgangsstufe mit 150 Schülerinnen und Schülern sind 90 Mädchen. 60 Personen spielen im Verein Fußball, darunter 20 Mädchen. Dabei steht F für „spielt Fußball im Verein“.

Trage zuerst ein, was gegeben ist: 150 insgesamt, 90 Mädchen, 60 Fußballer, 20 Mädchen mit Fußball.

Ergänze durch Rechnen: Jungen $150 - 90 = 60$. Nicht-Fußballer $150 - 60 = 90$. Mädchen ohne Fußball $90 - 20 = 70$. Jungen mit Fußball $60 - 20 = 40$. Jungen ohne Fußball $60 - 40 = 20$.

	F	kein F	Summe
Mädchen	20	70	90
Jungen	40	20	60
Summe	60	90	150

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Mädchen ist, das Fußball spielt?

$P(\text{Mädchen} \cap F) = \frac{20}{150} = \frac{2}{15} \approx 0{,}133$.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Oft ist nach einem Teil der Gesamtheit gefragt: „Unter den Fußballern …“. Dann ist die Bedingung der neue Grundwert, du teilst also durch die Randsumme dieser Zeile oder Spalte:

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Gelesen: Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$ (auch $P(B \mid A)$ geschrieben).

Im Beispiel: $P_F(\text{Mädchen}) = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$. Aber $P_{\text{Mädchen}}(F) = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$. Das ist nicht dasselbe!

Üben★☆☆

In Bochum wurden 200 Personen befragt, davon 110 Frauen. 120 Personen nutzen den ÖPNV regelmäßig, darunter 70 Frauen. a) Vervollständige die Vierfeldertafel. | | ÖPNV |…

In Bochum wurden 200 Personen befragt, davon 110 Frauen. 120 Personen nutzen den ÖPNV regelmäßig, darunter 70 Frauen.

a) Vervollständige die Vierfeldertafel.

	ÖPNV	kein ÖPNV	Summe
Frauen
Männer
Summe			200

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Frau ist, die den ÖPNV nutzt.

c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau den ÖPNV nutzt.

Lösen

Totale Wahrscheinlichkeit und Umkehrung

Oft kommt ein Ergebnis auf mehreren Wegen zustande, und man fragt rückwärts: „Das Bauteil ist defekt – von welcher Maschine stammt es?“

Zwei Werke

Werk 1 liefert $70\,\%$ der Smartphones, Werk 2 liefert $30\,\%$. Der Ausschussanteil ist bei Werk 1 $2\,\%$, bei Werk 2 $4\,\%$.

Baumdiagramm: erste Stufe Werk (0,7 und 0,3), zweite Stufe defekt (0,02 bzw. 0,04) oder in Ordnung.

Totale Wahrscheinlichkeit (1. und 2. Pfadregel): $P(\text{defekt}) = 0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}04 = 0{,}014 + 0{,}012 = 0{,}026$.

Umkehrung: Ein Gerät ist defekt. Von welchem Werk? Der Pfad „Werk 1 und defekt“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,014, alle defekten Geräte zusammen 0,026:

$P_{\text{defekt}}(\text{Werk 1}) = \frac{0{,}014}{0{,}026} = \frac{7}{13} \approx 0{,}538$.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Gerät aus Werk 2 stammt?

$\frac{0{,}012}{0{,}026} = \frac{6}{13} \approx 0{,}462$. Probe: $\frac{7}{13} + \frac{6}{13} = 1$.

Schnelltest mit der Vierfeldertafel

Bei Tests mit Prozentangaben hilft eine Tafel mit absoluten Häufigkeiten: Stelle dir 1.000 Personen vor, und verteile sie.

Das überrascht viele: Weil fast alle Personen gesund sind, kommen die falsch positiven Ergebnisse der vielen Gesunden zahlenmäßig stark ins Gewicht. Ohne diese Deutung im Sachzusammenhang ist die Aufgabe nicht vollständig gelöst.

Üben★★☆

In einer Fabrik in Dortmund stellt Maschine A $60\,\%$ und Maschine B $40\,\%$ der Bauteile her. Von Maschine A sind $3\,\%$ der Teile defekt, von Maschine B $5\,\%$. a)…

In einer Fabrik in Dortmund stellt Maschine A $60\,\%$ und Maschine B $40\,\%$ der Bauteile her. Von Maschine A sind $3\,\%$ der Teile defekt, von Maschine B $5\,\%$.

a) Zeichne ein Baumdiagramm.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil defekt ist.

c) Ein ausgewähltes Bauteil ist defekt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine A stammt.

Lösen

Üben★★☆

Ein Schnelltest wird bei 10.000 Personen eingesetzt. Davon sind $2\,\%$ infiziert. Der Test erkennt $95\,\%$ der Infizierten (positives Ergebnis). Bei $2\,\%$ der nicht…

Ein Schnelltest wird bei 10.000 Personen eingesetzt. Davon sind $2\,\%$ infiziert. Der Test erkennt $95\,\%$ der Infizierten (positives Ergebnis). Bei $2\,\%$ der nicht Infizierten zeigt er fälschlich ein positives Ergebnis.

a) Stelle die Situation in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar.

b) Bestimme die Anzahl der Personen mit positivem Testergebnis.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich infiziert ist, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Lösen

Üben★★★

Auf dem Schulweg hängt Toms Verkehrsmittel vom Wetter ab. Mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}3$ regnet es. Bei Regen fährt Tom mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$ mit dem…

Auf dem Schulweg hängt Toms Verkehrsmittel vom Wetter ab. Mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}3$ regnet es. Bei Regen fährt Tom mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$ mit dem Bus, sonst mit dem Fahrrad. Bei trockenem Wetter fährt er mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ mit dem Bus, sonst mit dem Fahrrad.

a) Zeichne ein Baumdiagramm.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom mit dem Bus fährt.

c) Tom kommt mit dem Bus an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet.

d) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom innerhalb von 5 Schultagen an mindestens einem Tag mit dem Bus fährt. Nimm dazu an, dass die Tage unabhängig voneinander sind.

Lösen

Stochastische Unabhängigkeit und Systeme

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von $A$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ nicht verändert:

$$P_A(B) = P(B) \quad\Longleftrightarrow\quad P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Zum Überprüfen rechnest du also $P(A) \cdot P(B)$ und vergleichst mit $P(A \cap B)$.

Dieselbe Rechnung funktioniert allgemein: $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A) \cdot P(B) = P(A) \cdot (1 - P(B)) = P(A) \cdot P(\overline{B})$. So begründest du, dass mit $B$ auch $\overline{B}$ unabhängig von $A$ ist.

Bauteile in Reihe und parallel

Zwei Bauteile arbeiten unabhängig mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2$.

Reihenschaltung: Das System funktioniert, wenn beide funktionieren: $P = p_1 \cdot p_2$.
Parallelschaltung: Das System funktioniert, wenn mindestens eines funktioniert: $P = 1 - (1 - p_1)(1 - p_2)$.

„Mindestens einmal“ bei mehreren Wiederholungen

Wiederholt sich ein Vorgang $n$-mal unabhängig mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p$, dann gilt:

$$P(\text{mindestens einmal}) = 1 - (1 - p)^n$$

Beispiel: $p = 0{,}2$, $n = 4$: $1 - 0{,}8^4 = 1 - 0{,}4096 = 0{,}5904$. Das Gegenereignis „nie“ ist nur ein einziger Pfad.

Üben★★★

An einer Schule mit 200 Schülerinnen und Schülern der Oberstufe sei $A$ das Ereignis „spielt ein Instrument“ und $B$ das Ereignis „ist weiblich“. Es gilt $P(A)=0{,}4$,…

An einer Schule mit 200 Schülerinnen und Schülern der Oberstufe sei $A$ das Ereignis „spielt ein Instrument“ und $B$ das Ereignis „ist weiblich“. Es gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}55$ und $P(A\cap B)=0{,}22$.

a) Zeige, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

b) Zeige, dass dann auch $A$ und $\overline{B}$ stochastisch unabhängig sind.

c) Stelle eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten auf.

d) Bestimme die Anzahl der männlichen Personen, die ein Instrument spielen.

Lösen

Üben★★★

Ein technisches System besteht aus zwei Bauteilen. Bauteil 1 funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}9$, Bauteil 2 mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$. Die Bauteile…

Ein technisches System besteht aus zwei Bauteilen. Bauteil 1 funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}9$, Bauteil 2 mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$. Die Bauteile arbeiten unabhängig voneinander.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei Reihenschaltung funktioniert, also beide Bauteile funktionieren müssen.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei Parallelschaltung funktioniert, also mindestens ein Bauteil funktionieren muss.

c) Bauteil 2 wird bei Parallelschaltung durch ein Bauteil mit der Zuverlässigkeit $p$ ersetzt. Bestimme $p$ so, dass das System mit mindestens $99\,\%$ Wahrscheinlichkeit funktioniert.

Lösen

Vom Anfang: Lea gewinnt am Glücksrad mit $p = 0{,}2$ je Drehung. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei zwei Drehungen ist $1 - 0{,}8^2 = 0{,}36$. Ob ein positiver Test viel aussagt, hängt davon ab, wie selten die Krankheit ist, und das siehst du in der Vierfeldertafel.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ An einer Bude auf der Cranger Kirmes gewinnt man beim Drehen eines Glücksrads mit der…★☆☆ In einer Klasse mit 28 Schülerinnen und Schülern wurde nach dem Schulweg gefragt: 12…★☆☆ In Bochum wurden 200 Personen befragt, davon 110 Frauen. 120 Personen nutzen den ÖPNV…

Auf einen Blick

Zusammenfassung

Baumdiagramm: 1. Pfadregel (Produkt entlang des Pfades), 2. Pfadregel (Summe der Pfade); die Äste eines Verzweigungspunktes ergeben zusammen 1. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe.
„Mindestens eine“: über das Gegenereignis, $1 - P(\text{keine})$, bei $n$ unabhängigen Wiederholungen $1 - (1 - p)^n$.
Vierfeldertafel: Randsummen und Felder ergänzen, bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$: Die Bedingung ist der Grundwert.
Totale Wahrscheinlichkeit und Umkehrung: Pfade zum Ereignis addieren, für die Umkehrung „Pfad zu $A$ und $B$“ durch die Summe aller Pfade zu $B$ teilen. Das Ergebnis immer im Sachzusammenhang deuten.
Unabhängigkeit: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$; Reihenschaltung $p_1 \cdot p_2$, Parallelschaltung $1 - (1 - p_1)(1 - p_2)$.