Modellierung im Sachkontext
In der ZP10 steht oft kein fertiger Term da, sondern eine Geschichte: ein Fahrradverleih, ein Handballwurf, ein Kaffee, der abkühlt. Du sollst die Situation in Mathe übersetzen, rechnen und das Ergebnis wieder zurückübersetzen. Und am Ende fragt die Aufgabe oft: „Wie gut passt das Modell eigentlich?“ Dafür brauchst du einen festen Ablauf.
Der Modellierungskreislauf
Modellieren heißt: Wirklichkeit vereinfachen, rechnen, zurückdeuten.
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Verstehen und vereinfachen: Was ist gegeben, was gesucht? Welche Größen spielen eine Rolle?
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Mathematisieren: Passenden Funktionstyp wählen und Term aufstellen.
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Rechnen: Einsetzen, Gleichung lösen, mit dem Taschenrechner arbeiten.
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Deuten: Ergebnis im Sachzusammenhang mit Einheit formulieren („Der Ball landet nach … m.“).
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Prüfen und beurteilen: Ist das Ergebnis realistisch? Welche Vereinfachung steckt im Modell?
Welchen Funktionstyp du wählst, erkennst du an der Art der Änderung:
| Typ | Term | Erkennungsmerkmal | Beispiel |
|---|---|---|---|
| linear | $f(t)=m\cdot t+b$ | gleiche Differenz in gleichen Schritten | Grundgebühr + Preis pro Stunde |
| quadratisch | $f(x)=ax^2+bx+c$ | Parabel, Höchst- oder Tiefpunkt | Wurf eines Balls |
| exponentiell | $f(t)=a\cdot q^t$ | gleicher Quotient in gleichen Schritten | Bevölkerung, Algen, Zerfall |
| Sinus | $f(t)=a\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$ | regelmäßiges Auf und Ab | Riesenrad, Gezeiten |
Ein Fahrradverleih in Münster verlangt $8\,€$ Grundgebühr plus $2{,}50\,€$ pro Stunde. a) Gib einen Funktionsterm für die Kosten $K(t)$ bei einer Leihdauer von $t$…
Ein Fahrradverleih in Münster verlangt $8\,€$ Grundgebühr plus $2{,}50\,€$ pro Stunde.
- a) Gib einen Funktionsterm für die Kosten $K(t)$ bei einer Leihdauer von $t$ Stunden an.
- b) Berechne die Kosten für 5 Stunden.
- c) Bestimme, wie viele Stunden man für $33\,€$ leihen kann.
Lineare und quadratische Modelle
Linear: Ein fester Betrag plus ein fester Betrag pro Einheit. Beim Fahrradverleih in Münster: $K(t)=2{,}5\,t+8$. Die Zahl $8$ ist der Wert bei $t=0$ (Grundgebühr), $2{,}5$ ist die Steigung (Preis pro Stunde).
Quadratisch: Ein Ballwurf wird durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben, z. B. $h(x)=-0{,}05x^2+0{,}5x+2$. Was die Aufgaben meist fragen:
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Abwurfhöhe: $h(0)$, also der Wert bei $x=0$ (hier $c=2$).
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Größte Höhe: Scheitelpunkt, entweder per Scheitelpunktform oder mit $x_S=-\frac{b}{2a}$. Hier $x_S=-\frac{0{,}5}{2\cdot(-0{,}05)}=5$ und $h(5)=-1{,}25+2{,}5+2=3{,}25$. Der Ball steigt auf $3{,}25\,\text{m}$.
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Auftreffen auf dem Boden: $h(x)=0$ lösen (pq-Formel oder abc-Formel).
Ein Handball wird abgeworfen. Seine Flughöhe in Metern wird in Abhängigkeit von der waagerechten Entfernung $x$ (in Metern) durch $h(x)=-0{,}05x^2+0{,}5x+2$ beschrieben.…
Ein Handball wird abgeworfen. Seine Flughöhe in Metern wird in Abhängigkeit von der waagerechten Entfernung $x$ (in Metern) durch $h(x)=-0{,}05x^2+0{,}5x+2$ beschrieben.
- a) Gib die Abwurfhöhe an.
- b) Berechne die Höhe in $4\,\text{m}$ Entfernung.
- c) Bestimme die größte Höhe des Balls.
- d) Berechne die Entfernung, in der der Ball den Boden erreicht.
Exponentielle Modelle: Wachstum und Zerfall
Der Term $f(t)=a\cdot q^t$ hat zwei Parameter:
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$a$ ist der Anfangswert (Wert bei $t=0$).
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$q$ ist der Wachstumsfaktor. Bei $p\,\%$ Zunahme gilt $q=1+\frac{p}{100}$, bei Abnahme $q<1$.
Beim Zerfall mit Halbwertszeit $T_H$ gilt $N(t)=N_0\cdot\left(\frac12\right)^{t/T_H}$. Nach jeder Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte da. Das ist exponentiell, weil sich bei jedem Schritt derselbe Faktor ergibt.
Linear oder exponentiell? Bilde aus der Wertetabelle Differenzen und Quotienten aufeinanderfolgender Werte. Gleiche Differenzen: linear. Gleiche Quotienten: exponentiell.
Gleichungen $q^t=c$ löst du durch systematisches Probieren oder mit dem Logarithmus: $t=\frac{\lg c}{\lg q}$.
Genauso: Der Teich ist voll bei $5\cdot1{,}4^t=400$, also $1{,}4^t=80$ und $t=\frac{\lg 80}{\lg 1{,}4}\approx 13{,}0$ Wochen.
Eine radioaktive Probe enthält zu Beginn $80\,\text{mg}$ eines Stoffes mit der Halbwertszeit $T_H=8$ Tage. Es gilt $N(t)=80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$ ($t$ in…
Eine radioaktive Probe enthält zu Beginn $80\,\text{mg}$ eines Stoffes mit der Halbwertszeit $T_H=8$ Tage. Es gilt $N(t)=80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$ ($t$ in Tagen, $N$ in mg).
- a) Erkläre die Bedeutung der Zahlen $80$ und $8$ im Term.
- b) Berechne die Menge nach 24 Tagen.
- c) Berechne die Menge nach 12 Tagen.
Die Einwohnerzahl einer Stadt in NRW wurde jährlich erfasst: | Jahr $t$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---|---| | Einwohner | 20.000 | 21.000 | 22.050 | 23.153 |…
Die Einwohnerzahl einer Stadt in NRW wurde jährlich erfasst:
| Jahr $t$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Einwohner | 20.000 | 21.000 | 22.050 | 23.153 | 24.310 |
- a) Untersuche, ob die Entwicklung eher linear oder eher exponentiell verläuft. Begründe deine Entscheidung durch Rechnung.
- b) Gib einen passenden Funktionsterm an.
- c) Berechne mit dem Modell die Einwohnerzahl nach 10 Jahren.
- d) Beurteile, wie zuverlässig diese Prognose für einen langen Zeitraum ist.
Auf einem Teich mit der Fläche $400\,\text{m}^2$ breiten sich Algen aus. Zu Beginn bedecken sie $5\,\text{m}^2$. Im ersten Modell wächst die Fläche pro Woche um…
Auf einem Teich mit der Fläche $400\,\text{m}^2$ breiten sich Algen aus. Zu Beginn bedecken sie $5\,\text{m}^2$. Im ersten Modell wächst die Fläche pro Woche um $40\,\%$, also $A(t)=5\cdot 1{,}4^t$ ($t$ in Wochen).
- a) Bestimme, nach wie vielen Wochen der Teich vollständig bedeckt wäre.
- b) Berechne die Verdopplungszeit.
- c) Im zweiten Modell wächst die Fläche linear mit $A_L(t)=5+2t$. Berechne die bedeckte Fläche beider Modelle nach 10 Wochen.
- d) Beurteile, welches Modell für die ersten Wochen besser geeignet ist, und nenne eine Grenze des exponentiellen Modells.
Abkühlung und Sinusmodelle
Abkühlung: Ein Kaffee nähert sich der Raumtemperatur an. Nicht die Temperatur selbst, sondern der Unterschied $D(t)$ zur Umgebung nimmt exponentiell ab: $D(t)=70\cdot0{,}92^t$. Die $70$ ist der Anfangsunterschied ($90-20$ Kelvin), $0{,}92$ bedeutet eine Abnahme um 8 % pro Minute. Die Temperatur ist $T(t)=20+D(t)$.
Langfristig geht $D(t)\to0$, die Temperatur nähert sich $20\,^\circ\text{C}$ (Raumtemperatur), erreicht sie aber nie ganz.
Sinusmodelle beschreiben periodische Vorgänge: $L(t)=a\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{T}\,t\right)$ mit Amplitude $|a|$ und Periode $T$. Beim Biorhythmus ist $a=100$ und $T=28$ Tage. Achte darauf, dass der Taschenrechner auf RAD steht.
Nullstellen von $\sin\left(\frac{2\pi}{28}t\right)=0$: Das Argument muss $0$, $\pi$ oder $2\pi$ sein, also $t=0$, $t=14$, $t=28$. Und $L(7)=100\cdot\sin\frac{\pi}{2}=100$.
Der Biorhythmus der Leistungsfähigkeit wird in einem einfachen Modell durch $L(t)=100\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{28}\cdot t\right)$ beschrieben ($t$ in Tagen, $L$ in…
Der Biorhythmus der Leistungsfähigkeit wird in einem einfachen Modell durch $L(t)=100\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{28}\cdot t\right)$ beschrieben ($t$ in Tagen, $L$ in Prozentpunkten, Taschenrechner im Bogenmaß).
- a) Gib Amplitude und Periode an.
- b) Berechne $L(7)$ und $L(10)$.
- c) Bestimme alle Zeitpunkte mit $0\le t\le 28$, an denen $L(t)=0$ gilt.
- d) Beurteile, ob das Modell die Wirklichkeit gut beschreibt.
Ein Kaffee hat anfangs eine Temperatur von $90\,^\circ\text{C}$ bei einer Raumtemperatur von $20\,^\circ\text{C}$. Der Temperaturunterschied zur Umgebung nimmt…
Ein Kaffee hat anfangs eine Temperatur von $90\,^\circ\text{C}$ bei einer Raumtemperatur von $20\,^\circ\text{C}$. Der Temperaturunterschied zur Umgebung nimmt näherungsweise nach $D(t)=70\cdot 0{,}92^t$ ab ($t$ in Minuten, $D$ in Kelvin).
- a) Erkläre die Bedeutung der Zahlen $70$ und $0{,}92$ im Sachzusammenhang.
- b) Berechne den Temperaturunterschied und die Kaffeetemperatur nach 10 Minuten.
- c) Bestimme, nach wie vielen Minuten der Kaffee nur noch $40\,^\circ\text{C}$ hat.
- d) Erläutere, welcher Temperatur sich der Kaffee langfristig nähert.
Geometrische Modelle und Modellkritik
Auch Körper werden modelliert: Dosen als Zylinder, Wassertürme als Zylinder mit Halbkugel. Die Formeln:
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Zylinder: $V=\pi r^2h$, $O=2\pi r^2+2\pi rh$
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Kugel: $V=\frac43\pi r^3$, also Halbkugel $\frac23\pi r^3$
Beim Wasserturm ($r=4\,\text{m}$, Zylinderhöhe $6\,\text{m}$, Halbkugel): $V=\pi\cdot16\cdot6+\frac23\pi\cdot64\approx301{,}6+134{,}0\approx435{,}6\,\text{m}^3$. Verbrauch: $800\cdot300\,\ell=240\,000\,\ell=240\,\text{m}^3$ pro Tag, der Speicher reicht also etwa $1{,}8$ Tage. Für $150\,\text{m}^3$ im Zylinder gilt $\pi\cdot16\cdot h=150$, also $h\approx2{,}98\,\text{m}$.
Modellkritik („Beurteile …“): Nenne konkret, was das Modell vereinfacht, und sage, welche Folge das hat. Typische Antworten:
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Dose: Blechdicke, Falze und Verschnitt werden ignoriert.
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Wasserturm: Wände haben Dicke, Rohre und Technik nehmen Platz weg, der Verbrauch schwankt.
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Bevölkerung, Algen: Wachstum kann nicht unbegrenzt exponentiell sein.
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Biorhythmus: Die Leistungsfähigkeit schwankt nicht so regelmäßig, das Modell ist wissenschaftlich nicht belegt.
Ein Hersteller produziert zylinderförmige Konservendosen mit dem Volumen $500\,\text{cm}^3$. a) Berechne für den Radius $r=4\,\text{cm}$ die Höhe der Dose und ihren…
Ein Hersteller produziert zylinderförmige Konservendosen mit dem Volumen $500\,\text{cm}^3$.
- a) Berechne für den Radius $r=4\,\text{cm}$ die Höhe der Dose und ihren Oberflächeninhalt.
- b) Berechne für den Radius $r=5\,\text{cm}$ die Höhe der Dose und ihren Oberflächeninhalt.
- c) Vergleiche beide Dosen im Hinblick auf den Materialverbrauch und nenne eine Vereinfachung, die das Modell enthält.
Ein Wasserturm besteht aus einem zylinderförmigen Behälter mit dem Radius $4\,\text{m}$ und der Höhe $6\,\text{m}$, auf den eine Halbkugel mit demselben Radius…
Ein Wasserturm besteht aus einem zylinderförmigen Behälter mit dem Radius $4\,\text{m}$ und der Höhe $6\,\text{m}$, auf den eine Halbkugel mit demselben Radius aufgesetzt ist. Der gesamte Innenraum dient als Wasserspeicher.
- a) Berechne das Fassungsvermögen in $\text{m}^3$.
- b) Ein Stadtteil hat 800 Haushalte, die zusammen täglich $300\,\ell$ pro Haushalt verbrauchen. Berechne, wie lange der gefüllte Speicher reicht.
- c) Der Behälter ist nur bis zu einer Höhe $h$ im zylindrischen Teil gefüllt und enthält $150\,\text{m}^3$. Bestimme $h$.
- d) Nenne zwei Vereinfachungen des Modells und beurteile ihren Einfluss auf das Ergebnis aus a).
Auf einen Blick
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