Anwendungen der Trigonometrie

Der Erdäquator hat einen Umfang von ungefähr $40\,030\text{ km}$ ($2\pi R$, mit $R \approx 6371\text{ km}$). Ein Kartografieteam muss herausfinden, auf welchem Breitenkreis der Nordhalbkugel der Radius des Breitenkreises genau halb so groß ist wie der Erdradius ($r = \frac{R}{2}$).

1. a) Stelle eine trigonometrische Gleichung auf, die die Breite $\alpha$ mit dieser geometrischen Bedingung verknüpft, ausgehend von der Formel $r = R\cdot\cos\alpha$, und kürze dabei den Radius $R$.
2. b) Leite ohne Taschenrechner begründet her, auf welcher exakten Breite $\alpha$ dies geschieht, und erinnere dich dazu an die Werte der trigonometrischen Verhältnisse der besonderen Winkel ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$).
3. c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Gesamtlänge dieses Breitenkreises und dem Umfang des Äquators? Begründe deine Antwort, ohne die genauen Kilometer zu berechnen.

Für ein Schulprojekt sollst du berechnen, wie lang der Breitenkreis der Breite $40^\circ$ N ist. Der Erdradius beträgt $R \approx 6\,371$ km. Berechne:

1. a) Den Radius des Kreises, den dieser Breitenkreis bildet (verwende den Ausdruck $r = R \cdot \cos(\text{Breitengrad})$ und begründe ihn am rechtwinkligen Dreieck der Abbildung).
2. b) Die gesamte Länge (den Umfang) dieses Breitenkreises.

Die Stadt Madrid liegt ungefähr auf einer Breite von $\alpha = 40^\circ\text{ N}$. Aufgrund der Erdrotation beschreibt jede Person in Madrid alle $24\text{ Stunden}$ einen vollständigen Kreis entlang ihres Breitenkreises. Als mittlerer Erdradius gilt $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Schätze vor dem Rechnen mit dem Taschenrechner: Am Äquator (wo der Erdumfang etwa $40\,000\text{ km}$ beträgt) ist die Bahngeschwindigkeit etwa $1670\text{ km/h}$. Mit $\cos 45^\circ \approx 0,71$ im Hinterkopf: Schätze qualitativ ab, ob die Bahngeschwindigkeit der Rotation in Madrid größer oder kleiner als $1150\text{ km/h}$ sein wird. Erkläre deine Überlegung.
2. b) Berechne genau den Radius $r$ des Breitenkreises von Madrid, die Länge dieses Breitenkreises und die tatsächliche Bahngeschwindigkeit in $\text{km/h}$, mit der sich die Stadt durch den Raum bewegt (verwende $\cos 40^\circ \approx 0,766$).
3. c) Prüfe, ob der erhaltene Wert deine anfängliche Schätzung bestätigt, und interpretiere, was mit dieser Bahngeschwindigkeit geschähe, wenn wir uns zum Nordpol bewegten ($90^\circ\text{ N}$).

Für eine Arbeit in Geografie und Mathematik möchte Sergio die Strecke berechnen, die ein ozeanografisches Forschungsschiff zurücklegt, das auf dem Breitenkreis $60^\circ\text{ N}$ zwischen zwei Wetterbojen fährt, die auf der Länge $10^\circ\text{ O}$ und $40^\circ\text{ O}$ liegen. Sergio geht in seinem Heft folgendermaßen vor:

$$\Delta = 40^\circ - 10^\circ = 30^\circ = 30\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$$ $$\text{Entfernung} = 6371\cdot\frac{\pi}{6} \approx 3335,82\text{ km}$$

1. a) Erkläre begründet, welchen begrifflichen Fehler Sergio gemacht hat und für welchen Kreis der Erde sein Zahlenergebnis gültig wäre.
2. b) Korrigiere seine Lösung, indem du die vollständige Formel angibst, die er hätte verwenden müssen, und berechne die tatsächlich vom Schiff zurückgelegte Strecke (nimm $R = 6371\text{ km}$ und verwende den exakten Wert $\cos 60^\circ = 0,5$).

Zwei Städte, A und B, liegen auf demselben Breitenkreis der Breite $45^\circ \text{ N}$. Die Stadt A hat die Länge $20^\circ \text{ E}$ und die Stadt B die Länge $70^\circ \text{ E}$.

Der Erdradius beträgt ungefähr $6371 \text{ km}$:

1. Berechne den Radius des Breitenkreises $45^\circ \text{ N}$ (Denke daran: Der Radius eines Breitenkreises der Breite $\alpha$ berechnet sich als $r = R \cdot \cos \alpha$; für $45^\circ$ verwende den exakten Wert $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

2. Bestimme die Entfernung in Kilometern zwischen beiden Städten entlang des Bogens des Breitenkreises.

An der Küste der Region Valencia liegt Castellón de la Plana auf dem Nullmeridian ($0^\circ$) und auf einer Breite von $40^\circ\text{ N}$. Auf den Balearen liegt das Westende von Menorca praktisch auf demselben Breitenkreis ($40^\circ\text{ N}$) und auf einer Länge von $3,8^\circ\text{ E}$. Parallel dazu führt eine Seepatrouille im Kanarischen Archipel eine Überwachung zwischen zwei Punkten durch, die sich ebenfalls um $3,8^\circ$ in der Länge unterscheiden, aber auf dem Breitenkreis $28^\circ\text{ N}$ liegen. Verwende für den Erdradius $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Stelle die allgemeine Formel auf, mit der man die Entfernung auf einem Breitenkreis in Kilometern aus dem Erdradius $R$, der Breite $\alpha$ und dem Längenunterschied in Grad $\Delta^\circ$ berechnen kann.
2. b) Berechne die Entfernung der Strecke Castellón–Menorca in Kilometern, wenn man auf dem Breitenkreis $40^\circ\text{ N}$ fährt (verwende $\cos 40^\circ \approx 0,7660$).
3. c) Berechne die Entfernung, die das Patrouillenboot auf den Kanaren auf dem Breitenkreis $28^\circ\text{ N}$ zurücklegt (verwende $\cos 28^\circ \approx 0,8829$).
4. d) Obwohl beide Routen denselben Längenwinkel überspannen ($3,8^\circ$), sind die Entfernungen auf See nicht gleich. Begründe diesen Unterschied mathematisch anhand des Verhaltens der Funktion $\cos\alpha$ zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ und untersuche, was das für die See- und Luftfahrt bedeutet.

Zwei Polarforschungsstationen liegen auf dem Breitenkreis $75^\circ\text{ N}$ an einander gegenüberliegenden Punkten: die Station Alfa auf der Länge $0^\circ$ (Nullmeridian) und die Station Beta auf der Länge $180^\circ$. Um Nachschub zwischen beiden zu transportieren, muss ein Flugteam zwischen zwei möglichen Flugrouten über die Erdoberfläche wählen (nimm $R = 6371\text{ km}$):

• Route 1 (Route entlang des Breitenkreises): Entlang des Breitenkreises $75^\circ\text{ N}$ von Alfa nach Beta fliegen (halber Breitenkreis).

• Route 2 (Polarroute): Auf dem Nullmeridian nach Norden bis zum Nordpol ($90^\circ\text{ N}$) fliegen und weiter auf dem Meridian $180^\circ$ absteigen, bis man Beta erreicht.

1. a) Modelliere die Länge von Route 1 mathematisch mithilfe des Radius des Breitenkreises $r = R\cdot\cos(75^\circ)$ und berechne ihre Entfernung in Kilometern (verwende $\cos 75^\circ \approx 0,2588$).
2. b) Modelliere die Länge von Route 2 mathematisch und berücksichtige dabei, dass Meridiane Großkreise mit dem Radius $R$ bilden. Leite her, wie viele Grad Meridianbogen insgesamt durchflogen werden, und berechne die Entfernung in Kilometern.
3. c) Vergleiche beide Ergebnisse: Welche Route ist kürzer und wie viele Kilometer spart man? Begründe anhand dieser Rechnung, warum viele kommerzielle interkontinentale Routen der Nordhalbkugel in der Nähe des Pols fliegen, statt eine feste Breite beizubehalten.

Herausforderung zum Thema. Wie beeinflusst der Wind den Flug einer Rettungsdrohne? Du analysierst die Bedingungen in deiner Umgebung anhand offizieller Daten des Deutschen Wetterdienstes (DWD).

Phase 1. Rufe die Website des DWD auf und sammle für deine nächstgelegene Station zu drei Tageszeiten die Windrichtung $r$ (von Norden im Uhrzeigersinn gemessen) und die Windgeschwindigkeit ($v$ in km/h). Wandle jede Richtung in den orientierten Winkel $\alpha = 90^\circ - r$ um (addiere $360^\circ$, falls er negativ ausfällt), sodass $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ von Osten im Gegenuhrzeigersinn gemessen wird.

Phase 2. Trage in GeoGebra oder in deinem Heft jeden Winkel am Einheitskreis ein. Reduziere jeden Winkel auf den ersten Quadranten, leite die Vorzeichen von $\sin\alpha$ und $\cos\alpha$ je nach Quadrant her und überprüfe numerisch den trigonometrischen Pythagoras $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ mit zwei Nachkommastellen (z. B. $0,99 \approx 1$).

Phase 3. Zerlege die Windgeschwindigkeit trigonometrisch in ihre Ost-West-Komponente ($v_x = v \cdot \cos\alpha$) und Nord-Süd-Komponente ($v_y = v \cdot \sin\alpha$).

Phase 4. Gib einen kurzen Bericht ab (eine Seite) mit der Datentabelle, den Darstellungen am Einheitskreis und einem begründeten Fazit, zu welcher der drei Tageszeiten die geringste seitliche Abdrift für eine feste Nord-Süd-Flugbahn auftritt.

Bewertet wird:

• Sorgfalt bei der Reduktion auf den ersten Quadranten und geometrische Begründung der Vorzeichen.

• Korrekte Anwendung des trigonometrischen Pythagoras und der trigonometrischen Verhältnisse mit realen Daten.

• Klarheit des Berichts, Genauigkeit der Berechnungen und Angemessenheit der abschließenden Empfehlung.