Stochastische Unabhängigkeit

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments. Bekannt sind $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Bestimme rechnerisch, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

In einem Zufallsexperiment sind die Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig. Wenn $P(C) = 0,6$ und $P(D) = 0,3$ gilt, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zugleich eintreten, also $P(C \cap D)$.

Eine faire Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf „Kopf“ und im zweiten „Zahl“ zu erhalten, unter der Annahme, dass die Würfe stochastisch unabhängig sind.

Zwei Ereignisse $M$ und $N$ sind unvereinbar (schließen sich gegenseitig aus) und haben beide eine Wahrscheinlichkeit größer als null. Können sie stochastisch unabhängig sein? Begründe deine Antwort mithilfe der mathematischen Definition der stochastischen Unabhängigkeit.

In einer statistischen Studie zu Lesegewohnheiten wurden $200$ Personen befragt. Die Ergebnisse zeigen, dass $120$ regelmäßig lesen und $80$ nicht. Außerdem haben $90$ der Befragten einen Hochschulabschluss, von denen $54$ regelmäßig lesen. Überprüfe rechnerisch, ob die Ereignisse „regelmäßig lesen“ und „einen Hochschulabschluss haben“ in dieser Stichprobe stochastisch unabhängig sind.

Gegeben sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ derselben Ergebnismenge mit $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ und $P(A \cup B) = 0,8$. Zeige rechnerisch, dass die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig sind, und berechne anschließend die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$.

Zwei Maschinen, $M_1$ und $M_2$, füllen in einer Fabrik Milchprodukte ab und arbeiten unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit, dass Maschine $M_1$ an einem Produktionstag ausfällt, beträgt $0,05$, die von Maschine $M_2$ beträgt $0,08$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag mindestens eine der beiden Maschinen ausfällt.

Seien $A$ und $B$ zwei stochastisch unabhängige Ereignisse eines Zufallsexperiments. Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung $P(A \cup B) = 0,88$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit von $A$ gleich $P(A) = 0,6$ ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$.

In einem Haus wird ein redundantes Sicherheitssystem mit zwei unabhängigen Sensoren $A$ und $B$ installiert. Der Hersteller garantiert, dass Sensor $A$ einen Einbrecher mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(A) = 0,8$ erkennt. Die Sicherheitsvorschrift verlangt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Alarm (d. h. dass mindestens einer der beiden Sensoren auslöst, $P(A \cup B)$) genau $0,96$ beträgt. Beide Geräte arbeiten unabhängig voneinander. Stelle die passende Gleichung anhand der Formel für die Vereinigung auf und bestimme, welche Erkennungswahrscheinlichkeit $P(B)$ Sensor $B$ mindestens haben muss, um diese Vorschrift zu erfüllen.

In einem Krankenhaus wird ein Patient zwei unabhängigen diagnostischen Tests auf eine Atemwegsallergie unterzogen. Test $X$ liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,15$ ein falsch negatives Ergebnis (er erkennt die Allergie nicht, obwohl der Patient sie hat). Test $Y$ liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,10$ ein falsch negatives Ergebnis. Der untersuchte Patient ist tatsächlich allergisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der beiden Tests seine Allergie erkennt?

Eine hochmoderne Banksicherheitsanlage besteht aus drei Bewegungsmeldern, die völlig unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeiten, dass der jeweilige Melder einen Eindringling im Tresorraum erkennt, betragen $0,90$, $0,85$ bzw. $0,95$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Anlage einen Eindringling erkennt (d. h. mindestens ein Melder löst aus).

Zeige rechnerisch: Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann sind auch ihre Gegenereignisse $\overline{A}$ und $\overline{B}$ stochastisch unabhängig. Verwende dazu die algebraischen Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit und die Definition der stochastischen Unabhängigkeit.