Winkelmaße: Grad- und Bogenmaß

Ein Winkel misst genau $3$ Radiant. Begründen Sie ohne Taschenrechner, ob dieser Winkel größer, kleiner oder gleich einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) ist, und bestimmen Sie, in welchem Quadranten er liegt.

Geben Sie die folgenden Winkel, die im Gradmaß angegeben sind, im Bogenmaß als vollständig gekürzte Brüche von $\pi$ an: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ und $330^\circ$.

Rechnen Sie die folgenden im Bogenmaß angegebenen Winkel ins Gradmaß um: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ und $\frac{11\pi}{3}$.

Berechnen Sie die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks und geben Sie die Größe jedes Innenwinkels im Bogenmaß als Bruch von $\pi$ an.

Die drei Winkel eines Dreiecks bilden eine arithmetische Folge. Der größte Winkel misst $80^\circ$. Bestimmen Sie die Größe der drei Winkel im Bogenmaß (als Brüche von $\pi$).

Reduzieren Sie die folgenden Winkel auf die erste Umdrehung (bestimmen Sie also den äquivalenten Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$) und geben Sie an, in welchem Quadranten der Endschenkel jeweils liegt: $1250^\circ$ und $2460^\circ$.

Bestimmen Sie für die folgenden negativen Winkel den äquivalenten positiven Winkel in der ersten Umdrehung (zwischen $0$ und $2\pi$ rad): $-\frac{\pi}{4}$ und $-\frac{13\pi}{6}$.

Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel, der zu einem Kreisbogen der Länge $12$ cm gehört, wenn der Radius des Kreises $4$ cm beträgt. Geben Sie das Ergebnis sowohl im Bogenmaß als auch im Gradmaß an.

Bestimmen Sie die Länge des Bogens, den das untere Ende eines Pendels der Länge $60$ cm beschreibt, wenn es um einen Winkel von $\frac{\pi}{8}$ Radiant ausschwingt.

Ein landwirtschaftlicher Bewässerungsregner deckt einen Kreissektor ab. Der Wasserstrahl reicht maximal $18$ Meter weit und der Regnerkopf überstreicht einen Winkel von $140^\circ$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des gesamten bewässerten Geländes und die Länge des äußeren Bogens, den das Wasser beschreibt.

Auf einer kreisförmigen Trainingsbahn mit dem Radius $50\text{ m}$ läuft ein Athlet einen Bogen, der zu einem Mittelpunktswinkel von $2,4\text{ rad}$ gehört.

1. a) Schätzen Sie vor dem Rechnen: Ein Radiant ist der Mittelpunktswinkel, dessen Bogen genau so lang ist wie der Radius. Begründen Sie ohne Taschenrechner, ob die vom Athleten zurückgelegte Strecke $100\text{ m}$ überschreitet und ob sie größer oder kleiner als $150\text{ m}$ ist.
2. b) Verwenden Sie, dass $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (fast $60^\circ$) gilt, und schätzen Sie im Kopf den ungefähren Wert des Winkels im Gradmaß.
3. c) Berechnen Sie nun genau die Länge des zurückgelegten Bogens und den exakten Wert des Winkels im Gradmaß (auf zwei Nachkommastellen gerundet). Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihren Schätzungen und beurteilen Sie begründet, ob Ihre erste Näherung zutreffend war.

Eine Schallplatte dreht sich auf einem Plattenspieler mit $33$ Umdrehungen pro Minute (U/min). Berechnen Sie ihre Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde und bestimmen Sie den Winkel im Bogenmaß, den ein Punkt am Rand in $2,5$ Sekunden überstreicht.

Berechnen Sie den kleineren Winkel, im Gradmaß und im Bogenmaß, den die Zeiger einer analogen Uhr (Stunden- und Minutenzeiger) genau um 16:20 Uhr einschließen.

Zwei Städte, A und B, liegen auf demselben Längenkreis der Erde. Die Breite von Stadt A beträgt $41^\circ$ Nord und die Breite von Stadt B $28^\circ$ Süd. Nehmen Sie an, die Erde sei eine perfekte Kugel mit einem mittleren Radius von $6371$ km, und berechnen Sie die kürzeste Entfernung auf der Erdoberfläche zwischen beiden Städten.

Es soll ein Kinderspielbereich in Form eines Kreissektors gebaut werden, der vollständig umzäunt wird (die beiden geraden Ränder entlang der Radien und der gekrümmte Rand des Bogens), wobei genau $36\text{ m}$ Metallzaun verwendet werden.

1. a) Stellen Sie den Flächeninhalt $A$ des Kreissektors ausschließlich in Abhängigkeit vom Radius $r$ dar, indem Sie den Winkel $\theta$ (im Bogenmaß) mithilfe der Bedingung für den Gesamtumfang des Zauns eliminieren.
2. b) Wird der Radius des Bereichs auf $r = 9\text{ m}$ festgelegt, bestimmen Sie den Mittelpunktswinkel $\theta$ des Sektors (im Bogenmaß und im Gradmaß). Welchen exakten Bruchteil der gesamten Kreisfläche stellt dieser Bereich dar?
3. c) Lösen Sie die Umkehraufgabe: Muss der Mittelpunktswinkel zwingend $\theta = 2\text{ rad}$ betragen, wie groß muss dann der Radius sein, damit genau die $36\text{ m}$ Zaun verbraucht werden? Zeigen Sie, dass bei diesem Mittelpunktswinkel die Länge des gekrümmten Bogens stets gleich der Summe der beiden geraden Radien ist, unabhängig von der verfügbaren Gesamtlänge des Zauns.

Das Getriebe einer Industriemaschine besteht aus zwei Riemenscheiben, die durch einen gespannten Riemen verbunden sind. Die Antriebsscheibe hat einen Radius von $15$ cm und die getriebene Scheibe einen Radius von $45$ cm. Dreht sich die Antriebsscheibe um einen Winkel von $\frac{7\pi}{2}$ Radiant, berechnen Sie, um wie viele Radiant sich die getriebene Scheibe dreht und wie viele vollständige Umdrehungen sie macht.

Der Radius der Räder eines Autos beträgt $32$ cm. Fährt das Fahrzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit von $90$ km/h, berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Räder in Radiant pro Sekunde. Bestimmen Sie anschließend den Gesamtwinkel, den ein Rad auf einer Fahrt von $15$ Minuten durchläuft, und rechnen Sie ihn in die Anzahl vollständiger Umdrehungen um.